[PDF] Couples assortis de groupes localement compacts exemples









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représentations ordinaires) de Colmez (les représentations absolument cristallines sont de hauteur fi- nie) et de Bloch et Kato (si r 0 


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table ronde IMJ PRG


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3 jan 2022 · Je remercie les doctorants de l'IMJ en particulier Peiyi (崔沛仪) Mahya et Grace de leur amitié qui me rendent heureuse tous les jours
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Transformations pentagonales 2 Couples assortis de groupes quantiques 3 Exemples de couples assortis de groupes Georges Skandalis (Univ P7/ IMJ-PRG)
skandalismcd


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M BARCENA PETISCO Jon Asier LJLL 1/2 P6 M BERNOU Armand LPMA 1/2 P6 M BOULVARD Pierre-Marie IMJ-PRG P7 M CADAS Arnaud DI ENS
Classement conseil ED


Frédéric Hélein - Société mathématique de France

Professeur à l'Université Denis Diderot et chercheur à l'IMJ-PRG (UMR CNRS 7586) né le 22 avril 1963 à Versailles marié deux enfants
helein cv


216889[PDF] Couples assortis de groupes localement compacts exemples

Couples assortis de groupes localement compacts,

exemples. (travail en commun avec S. Baaj)

Georges Skandalis

Universite Paris-Diderot

Institut de Mathematiques de Jussieu-Paris Rive Gauche

Journee Marie-Claude David

Orsay, 4 fevrier 2019

Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 1 / 10

Sommaire

1Groupes quantiques localement compacts

1Objet dual d'un groupe

2Groupes quantiques localement compacts

3Unitaires multiplicatifs

2Couples assortis

1Transformations pentagonales

2Couples assortis de groupes quantiques

3Exemples de couples assortis de groupes

Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 1 / 10

1. Groupes quantiques localement compacts

1.1 Objet dual d'un groupeDualite de Pontrjagyn

SoitGun groupe localement compactcommutatif.L'algebre de convolution surGest l'algebre de fonctions sur le groupe dualbG.Le groupe dual

bG: groupe des caracteres,i.e.morphismesG!U(1).C'est un groupe localement compact. Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 2 / 10

1.1 Objet dual d'un groupenon commutatif

SiGn'est pas commutatif,son espace dual va ^etre unespace lo calement compact non commutatif:uneC-algebre.Theoreme (Gel'fand) TouteC-algebre commutative estegale aunC0(X) ouXest un espace topologique localement compact.SiGn'est pas commutatif,bGn'est pas un espace ordinaire...Les fonctions continuessurbGforment uneC-algebre non commutative :C(G).Denition L'objet dual d'un groupe non commutatifGest (une bonne completion

de) l'algebre de convolution des fonctions surG: saC-algebreC(G).Remarque.En fait, plusieurs choix :C(G);Cr(G), algebre de von

NeumannLGdeG.Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 3 / 10

1.2 Groupequantiquelocalement compact?

Objets generalisant a la fois les groupes et les duaux de groupes.Deux reponses equivalentes :

Jones, ..., MCD :

Inclusions irr eductiblesde p rofondeur2 !Kac, Vainerman, Enock-Schwarz, Kustermans-Vaes. C -algebreA(espace localement compact).Le produit est donne par une structure de cogebre: application - coassociative:A!A

A. SiGgroupe localement compact et

A=C0(G),(f)(x;y) =f(xy).Compatibilite:A!A

Amorphisme d'algebres.compatible.

Element neutre, inverse, mesure de Haar...Unitaire fondamental. Positivite de la mesure de Haarh:Adevientun espace de Hilbert

H=L2(A;h).Invariance deh:L'op erateurV(x

y) =(x)(1 y) est unitaire.Co-associativite de:V12V13V23=V23V12(agissant surH H H).Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 4 / 10

1.3 Unitaires multiplicatifs (Baaj-S)

Remarque

L'unitaire fondamentalVpermet de retrouver (A;).Aest l'adherence def(! id)(V);!2 L(H)get(x) =V(x

1)V.Denition

Ununitaire multiplicatifest un unitaireV2 L(H

H) tel que

V

12V13V23=V23V12.SiVest un unitaire multiplicatif, on a deux algebres

A= adherence def(!

id)(V);!2 L(H)getbA= adherence def(id !)(V);!2 L(H)g.Co-produit(x) =V(x

1)Vet^(^x) =V(1

^x)V.Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 5 / 10

Unitaires multiplicatifs$groupes quantiques?

SoitV2 L(H

H) est un unitaire multiplicatif :V12V13V23=V23V12.Questions.

1A;bA C-algebres?2Peut-on les qualier de

groupes quantiques?Theoreme SiAest commutative (V13V23=V23V13), alorsVest l'unitaire multiplicatif d'un groupe.OK aussi si dim(H)<1.On doit ajouter des conditions plus analytiques...Baaj-S :R egularite.Bonne dualit eC.

Woronowicz :

Manageable. A p riori+ g eneral.Bonne dualit evon

Neumann. Retrouve dans la theorie de Kustermans-Vaes. Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 6 / 10

2. Couples assortis. 2.1 Transformations pentagonales

Bijection bi-mesurablev:XX!XXou (X;) espace de Lebesgue avecv23v13v12=v12v23.AlorsV:7!D1=2vunitaire multiplicatif (Dderivee de Radon-Nikodym).Exemple : Couple assorti : deux groupes (Magid). SoitGun groupe localement compacts etG0;G1deux sous-groupes fermes tels que l'applicationG0G1!Gdonnee par (x0;x1)7!x0x1soit

une transformation bimesurable.On ecritx=p0(x)p1(x).On obtient une transformation pentagone en posant

v(x;y) = (xp0(p1(x)1y);p1(x)1y):Theoreme (Baaj-S) Avec susamment de regularite, c'est essentiellement le seul exemple. Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 7 / 10

2.2 Couples assortis d'unitaires multiplicatifs

Generalisation.

Couples a ssortisd'unitaires multiplicatifs : X;Yet :A B!B

Aqui lestord.

Cas des groupes(x1;x0) = (p0(x1x0);p1(x1x0)).

Action a droite deG0surG1'G0nGet action a gauche deG1sur G

0'G=G1.

M-C David :Couple assorti de systemes de Kac et inclusions de facteurs de typeII1(JFA-1998).Le point de vue : un groupe n'est compris que lorsqu'on le voit agir!!

Inclusion irreductible de profondeur 2

de facteurs (von Neumann). $

produit croiseKKoC,Cgroupe quantique.On suppose queCest un produit tordu deAetB.On obtient des facteursinterm ediairesM=KoAetN=KoB.Alors le biproduit croise correspond aux inclusionsKA2NetKBM.Theoreme

MCD Conditions surK;A;B;Let construction du reste (;G...).Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 8 / 10

2.3 Exemples de couples assortis de groupes

G

0groupe ni.G=S(G0) etG1=S(G0n feg).G=GLn(R) etG0=O(n), (ouG=GLn(C) etG0=U(n)))

G

1=AN(matrices triangulaires superieures avec coecients

diagonaux reels positifs).G

0=LetG1=U. AlorsG0G1est un ouvert dense co-negligeableG=ax+b.G0=ax=fg2G;g(0) = 0g,

G

1=a(x1) + 1 =fg2G;g(1) = 1g.Baaj-S-VaesAanneau localement compact;

A

1=f(x;y)2AA;xy= 1ggroupe localement compact.

PosonsG=fa b

0 1 ;a2A1;b2Ag. Posons G

1=fg2G;g(1) = 1g. On aG1\G0=feg.

PourAbien choisi,A1n'est pas ouvert, mais conegligeable dansA.Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 9 / 10

Transformation pentagonale tres irreguliere

Issu de l'exempleax+b:

v(x;y) = (xy+x+y;x+ 1x y) bi mesurable surRRdansRR.

IciAetbAsont desC-algebres - et on a un groupe quantique.Dieomorphisme deR+R+. Ici, rien ne va plus...(on peut aussi prendre

Q +...).FinMerci!

Prote bien de ta retraite Marie-Claude!

Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 10 / 10

Couples assortis de groupes localement compacts,

exemples. (travail en commun avec S. Baaj)

Georges Skandalis

Universite Paris-Diderot

Institut de Mathematiques de Jussieu-Paris Rive Gauche

Journee Marie-Claude David

Orsay, 4 fevrier 2019

Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 1 / 10

Sommaire

1Groupes quantiques localement compacts

1Objet dual d'un groupe

2Groupes quantiques localement compacts

3Unitaires multiplicatifs

2Couples assortis

1Transformations pentagonales

2Couples assortis de groupes quantiques

3Exemples de couples assortis de groupes

Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 1 / 10

1. Groupes quantiques localement compacts

1.1 Objet dual d'un groupeDualite de Pontrjagyn

SoitGun groupe localement compactcommutatif.L'algebre de convolution surGest l'algebre de fonctions sur le groupe dualbG.Le groupe dual

bG: groupe des caracteres,i.e.morphismesG!U(1).C'est un groupe localement compact. Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 2 / 10

1.1 Objet dual d'un groupenon commutatif

SiGn'est pas commutatif,son espace dual va ^etre unespace lo calement compact non commutatif:uneC-algebre.Theoreme (Gel'fand) TouteC-algebre commutative estegale aunC0(X) ouXest un espace topologique localement compact.SiGn'est pas commutatif,bGn'est pas un espace ordinaire...Les fonctions continuessurbGforment uneC-algebre non commutative :C(G).Denition L'objet dual d'un groupe non commutatifGest (une bonne completion

de) l'algebre de convolution des fonctions surG: saC-algebreC(G).Remarque.En fait, plusieurs choix :C(G);Cr(G), algebre de von

NeumannLGdeG.Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 3 / 10

1.2 Groupequantiquelocalement compact?

Objets generalisant a la fois les groupes et les duaux de groupes.Deux reponses equivalentes :

Jones, ..., MCD :

Inclusions irr eductiblesde p rofondeur2 !Kac, Vainerman, Enock-Schwarz, Kustermans-Vaes. C -algebreA(espace localement compact).Le produit est donne par une structure de cogebre: application - coassociative:A!A

A. SiGgroupe localement compact et

A=C0(G),(f)(x;y) =f(xy).Compatibilite:A!A

Amorphisme d'algebres.compatible.

Element neutre, inverse, mesure de Haar...Unitaire fondamental. Positivite de la mesure de Haarh:Adevientun espace de Hilbert

H=L2(A;h).Invariance deh:L'op erateurV(x

y) =(x)(1 y) est unitaire.Co-associativite de:V12V13V23=V23V12(agissant surH H H).Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 4 / 10

1.3 Unitaires multiplicatifs (Baaj-S)

Remarque

L'unitaire fondamentalVpermet de retrouver (A;).Aest l'adherence def(! id)(V);!2 L(H)get(x) =V(x

1)V.Denition

Ununitaire multiplicatifest un unitaireV2 L(H

H) tel que

V

12V13V23=V23V12.SiVest un unitaire multiplicatif, on a deux algebres

A= adherence def(!

id)(V);!2 L(H)getbA= adherence def(id !)(V);!2 L(H)g.Co-produit(x) =V(x

1)Vet^(^x) =V(1

^x)V.Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 5 / 10

Unitaires multiplicatifs$groupes quantiques?

SoitV2 L(H

H) est un unitaire multiplicatif :V12V13V23=V23V12.Questions.

1A;bA C-algebres?2Peut-on les qualier de

groupes quantiques?Theoreme SiAest commutative (V13V23=V23V13), alorsVest l'unitaire multiplicatif d'un groupe.OK aussi si dim(H)<1.On doit ajouter des conditions plus analytiques...Baaj-S :R egularite.Bonne dualit eC.

Woronowicz :

Manageable. A p riori+ g eneral.Bonne dualit evon

Neumann. Retrouve dans la theorie de Kustermans-Vaes. Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 6 / 10

2. Couples assortis. 2.1 Transformations pentagonales

Bijection bi-mesurablev:XX!XXou (X;) espace de Lebesgue avecv23v13v12=v12v23.AlorsV:7!D1=2vunitaire multiplicatif (Dderivee de Radon-Nikodym).Exemple : Couple assorti : deux groupes (Magid). SoitGun groupe localement compacts etG0;G1deux sous-groupes fermes tels que l'applicationG0G1!Gdonnee par (x0;x1)7!x0x1soit

une transformation bimesurable.On ecritx=p0(x)p1(x).On obtient une transformation pentagone en posant

v(x;y) = (xp0(p1(x)1y);p1(x)1y):Theoreme (Baaj-S) Avec susamment de regularite, c'est essentiellement le seul exemple. Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 7 / 10

2.2 Couples assortis d'unitaires multiplicatifs

Generalisation.

Couples a ssortisd'unitaires multiplicatifs : X;Yet :A B!B

Aqui lestord.

Cas des groupes(x1;x0) = (p0(x1x0);p1(x1x0)).

Action a droite deG0surG1'G0nGet action a gauche deG1sur G

0'G=G1.

M-C David :Couple assorti de systemes de Kac et inclusions de facteurs de typeII1(JFA-1998).Le point de vue : un groupe n'est compris que lorsqu'on le voit agir!!

Inclusion irreductible de profondeur 2

de facteurs (von Neumann). $

produit croiseKKoC,Cgroupe quantique.On suppose queCest un produit tordu deAetB.On obtient des facteursinterm ediairesM=KoAetN=KoB.Alors le biproduit croise correspond aux inclusionsKA2NetKBM.Theoreme

MCD Conditions surK;A;B;Let construction du reste (;G...).Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 8 / 10

2.3 Exemples de couples assortis de groupes

G

0groupe ni.G=S(G0) etG1=S(G0n feg).G=GLn(R) etG0=O(n), (ouG=GLn(C) etG0=U(n)))

G

1=AN(matrices triangulaires superieures avec coecients

diagonaux reels positifs).G

0=LetG1=U. AlorsG0G1est un ouvert dense co-negligeableG=ax+b.G0=ax=fg2G;g(0) = 0g,

G

1=a(x1) + 1 =fg2G;g(1) = 1g.Baaj-S-VaesAanneau localement compact;

A

1=f(x;y)2AA;xy= 1ggroupe localement compact.

PosonsG=fa b

0 1 ;a2A1;b2Ag. Posons G

1=fg2G;g(1) = 1g. On aG1\G0=feg.

PourAbien choisi,A1n'est pas ouvert, mais conegligeable dansA.Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 9 / 10

Transformation pentagonale tres irreguliere

Issu de l'exempleax+b:

v(x;y) = (xy+x+y;x+ 1x y) bi mesurable surRRdansRR.

IciAetbAsont desC-algebres - et on a un groupe quantique.Dieomorphisme deR+R+. Ici, rien ne va plus...(on peut aussi prendre

Q +...).FinMerci!

Prote bien de ta retraite Marie-Claude!

Georges Skandalis (Univ. P7/ IMJ-PRG)Couples assortisJournee MC David, 4/2/19 10 / 10
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