FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
c) Si on pose y = ex alors x = ln y = lnex d) Si on pose y = lnx
LogTS
BLUE'LOG X-SERIES
CARACTÉRISTIQUES TECHNIQUES. Tension d'alimentation. Puissance absorbée. BLUE'LOG X-SERIES. N° d'art. : 532.001 X-1000. N° d'art. : 532.003 X-3000.
DB blueLog X Serie fr
Exponentielle et logarithme
ex p. (x. ) e. Fonction exponentielle f(x) = exp(x) = ex définie sur R à valeurs dans ]0; ex = 0+ lim x→+∞ ex = +∞. Fonction logarithme f(x) = ln(x).
exponentielle et logarithme
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
x " lnx. Exemple : L'équation ex = 5 admet une unique solution. log(36 x 62) = log(36) + log(62) ≈ 15563 + 1
LogTESL
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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln(.
formulaire
Sur les entiers inférieurs à x ayant plus de log(x) diviseurs
Sur les entiers inférieurs à x ayant plus de log(x) diviseurs. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux tome 6
BLUE'LOG X-SERIES
23 fév. 2017 Série blue'Log X. ②. Rail DIN. ③. Verrouillage ouvert (position : basse). ④. Bord supérieur du rail DIN. ⑤. Appuyer sur l'appareil.
DDN SSA blueLog X Serie fr
Equations logarithmiques et exponentielles log x et a sont des
log a x et a x sont des fonctions injectives: (1) x = y ó a x x = log a y. Pour ce faire il est souvent utile d'utiliser les propriétés des fonctions ...
eqlog
LOGARITHME NEPERIEN
On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à un réel x La fonction logarithme décimal étant définie par log x = k × ln x avec k = 1 ln 10.
ln
ln x = logex =
log x = log10x. NATURAL LOGARITHM. For all positive numbers x ln x = logex. CHANGE-OF-BASE THEOREM. For any positive real numbers x
notes .
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frFONCTION LOGARITHME NEPERIEN En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la fina lité d'un trava il de 20 ans , Neper présente un outil permetta nt de simplifier le s calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ; 1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper. Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises. L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addi tion (paragra phe II). Ceci peut paraît re dérisoire aujourd'hui, ma is il faut comprendre qu'à cette é poque, les calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans
0;+∞
. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a de0;+∞
l'équation e x =a admet une unique solution dans ℝ.2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDéfinition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation
e x =a . On la note lna . La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ][ ln:0;+∞→ x!lnxRemarques : - Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation
y=x. - Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log est définie par :
log(x)= lnx ln10Conséquences : a)
y=lnxavecx>0⇔x=e y b) ln1=0 lne=1 ln 1 e =-1 c) Pour tout x, lne x =x d) Pour tout x strictement positif, e lnx =xDémonstrations : a) Par définition b) - Car
e 0 =1 - Car e 1 =e - Car e -1 1 e c) Si on pose y=e x , alors x=lny=lne x d) Si on pose y=lnx , alors x=e y =e lnxII. Propriété de la fonction logarithme népérien 1) Relation fonctionnelle Théorème : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : ()lnlnln xyxy ×=+
3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDémonstration :
e ln(x×y) =x×y=e lnx ×e lny =e lnx+lnyDonc ()lnlnln xyxy ×=+
Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36 x 62, appliquerait cette formule, soit : log(36 x 62) = log(36) + log(62) ≈ 1,5563 + 1,7924 (voir table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : log(36 x 62) ≈ 3,3487 En cherchant dans la table, le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36 x 62 = 2232. 2) Conséquences Corollaires : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : a)
ln 1 x =-lnx b) ln x y =lnx-lny c) lnx= 1 2 lnx d) lnx n =nlnx avec n entier relatif Démonstrations : a) 11 lnlnln ln1 0xx xx b) 11 lnlnln lnlnln x xxxy yyy c) ()2lnlnl nlnlnxxxxxx=+=×=
d) On démontre ce résultat par récurrence. L'initialisation est triviale. La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ()
1 lnlnln lnln ln(1 )ln nnn xxxxxnxxnx4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Simplifier une expression Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4 ()()
ln35 ln3 5A=-++B=3ln2+ln5-2ln3
C=lne 2 -ln 2 e ln35 ln3 5 ln35 35 ln95 ln4 A=-++B=3ln2+ln5-2ln3
=ln2 3 +ln5-ln3 2 =ln 2 3 ×5 3 2 =ln 409 C=lne 2 -ln 2 e =2lne-ln2+lne
1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frFONCTION LOGARITHME NEPERIEN En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la fina lité d'un trava il de 20 ans , Neper présente un outil permetta nt de simplifier le s calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ; 1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper. Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises. L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addi tion (paragra phe II). Ceci peut paraît re dérisoire aujourd'hui, ma is il faut comprendre qu'à cette é poque, les calculatrices n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes. I. Définition La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans
0;+∞
. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a de0;+∞
l'équation e x =a admet une unique solution dans ℝ.2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDéfinition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation
e x =a . On la note lna . La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ][ ln:0;+∞→ x!lnxRemarques : - Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. - Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation
y=x. - Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log est définie par :
log(x)= lnx ln10Conséquences : a)
y=lnxavecx>0⇔x=e y b) ln1=0 lne=1 ln 1 e =-1 c) Pour tout x, lne x =x d) Pour tout x strictement positif, e lnx =xDémonstrations : a) Par définition b) - Car
e 0 =1 - Car e 1 =e - Car e -1 1 e c) Si on pose y=e x , alors x=lny=lne x d) Si on pose y=lnx , alors x=e y =e lnxII. Propriété de la fonction logarithme népérien 1) Relation fonctionnelle Théorème : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : ()lnlnln xyxy ×=+
3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDémonstration :
e ln(x×y) =x×y=e lnx ×e lny =e lnx+lnyDonc ()lnlnln xyxy ×=+
Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi, celui qui aurait à effectuer 36 x 62, appliquerait cette formule, soit : log(36 x 62) = log(36) + log(62) ≈ 1,5563 + 1,7924 (voir table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : log(36 x 62) ≈ 3,3487 En cherchant dans la table, le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36 x 62 = 2232. 2) Conséquences Corollaires : Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : a)
ln 1 x =-lnx b) ln x y =lnx-lny c) lnx= 1 2 lnx d) lnx n =nlnx avec n entier relatif Démonstrations : a) 11 lnlnln ln1 0xx xx b) 11 lnlnln lnlnln x xxxy yyy c) ()2lnlnl nlnlnxxxxxx=+=×=
d) On démontre ce résultat par récurrence. L'initialisation est triviale. La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ()
1 lnlnln lnln ln(1 )ln nnn xxxxxnxxnx4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Simplifier une expression Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4 ()()
ln35 ln3 5A=-++B=3ln2+ln5-2ln3
C=lne 2 -ln 2 e ln35 ln3 5 ln35 35 ln95 ln4 A=-++B=3ln2+ln5-2ln3
=ln2 3 +ln5-ln3 2 =ln 2 3 ×5 3 2 =ln 409 C=lne 2 -ln 2 e =2lne-ln2+lne
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