Mathématiques pour l'économie et la gestion
Cours & exercices corrigés. Skander Belhaj. LICENCE 1. SCIENCES DE GESTION. SCIENCES ÉCONOMIQUES. INFORMATIQUE APPLIQUÉE À LA GESTION. Analyse et algèbre
Statistiques descriptives et exercices
1. Quel type est la variable statistique étudiée. 2. Déterminer le tableau statistique en fonction des effectifs des fréquences
chekroun statistiques
Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
Faculté des Sciences d'Agadir (STU 3). 2015. M. NEMICHE. Exercices. Corrigés Correction de l'exercice 1. ... Examen Statistique et Probabilités (1) .
NemicheStu
Exercices et problèmes de statistique et probabilités
Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page i — #1 1. 1.2 Axiomes du calcul des probabilités . ... Corrigés des exercices .
Feuilletage
Réviser son bac
dans le cadre d'un problème scientifique) et partie 2 exercice 2 (pratiquer une Tout-en-un : les sujets corrigés et commentés des 6 dernières années.
passerelle-2007.pdf
SUJETS • CORRIGÉS. BAC +2 admission en 1re année d'ESC. BAC +3/4 L'académie des sciences met en garde contre la toxicité du cannabis. (septembre 2003).
passerelle
Sujet et Corrigé Olympiades Nationales de Maths 2019
composition. Exercices nationaux. Les candidats traitent deux exercices. Ceux de la série S traitent les exercices numéros 1 (Triangles
mathematiques olympiades s epreuve nationale sujet corrige
Mathématiques financières EXERCICES CORRIGES
Soit 100 000 acquis au terme d'un placement de 10 années au taux annuel de t% sa valeur actuelle étant de 64 392
Excorr
Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est
EC .
livre-algebre-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
La première année d'études supérieures pose les bases des mathématiques. toutes les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés.
livre algebre
Exercices Corriges
Matrices
Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :A= 2 1
2 1! ; B= 1 2 24!C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C
A; D=0
B @11 1 1 0 10 1 01
CA; E= 11 1
1 0 1!
Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)
On considere les matrices a coecients reels :
A= 1 1
1 1!B= 431
2 1 1!
C= 1 2
12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :A= 1 3
2 4!B= 431
2 1 1!
C= 43 2 1!1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.
2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.
Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :A= 4 3
1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :
A= 22 0
4 22!2M2;3(R); B=0
B @1 1 1 2 131C
A2M3;2(R); C= 11
1 2!2M2;2(R)
Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D2(2); T3;2(3); T2;1(2):
2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).
3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.
Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!2M2;2(R)et N= 23
46!2M2;2(R):
Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)
1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser
son inverse :A= 1 2
3 4!2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!2M2;2(R):
2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :M= 2 1
3 2!2M2;2(R):
Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)
SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.Exercice 14{SoitM=0
B @2 4 1 2 5 11 2 11
C A.1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice
M1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.
22) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).
4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.
5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee
dans le cours.Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)
1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 20 4 61
CA2M3;3(R):
Quelle est la valeur deM1?
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :
2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 10 2 31
CA2M3;3(R):
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.
Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :
M=0 B @1 01 2 3 40 1 11
C A:1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.
2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme
produit de matrices elementaires.3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :
(m)2 6 4x 1x3=m2x1+ 3x2+ 4x3= 1
+x2+x3= 2m: 3Correction de l'exercice 1 :
Le lecteur veriera que :
AB= 0 0
0 0! ; BA= 6 3 126!CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C
A; DC=0
B @123 2 0 21 0 11
CA; AE= 12 3
12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.Correction de l'exercice 2 :
On trouve :
AB= 22 0
22 0!Exercices Corriges
Matrices
Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :A= 2 1
2 1! ; B= 1 2 24!C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C
A; D=0
B @11 1 1 0 10 1 01
CA; E= 11 1
1 0 1!
Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)
On considere les matrices a coecients reels :
A= 1 1
1 1!B= 431
2 1 1!
C= 1 2
12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :A= 1 3
2 4!B= 431
2 1 1!
C= 43 2 1!1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.
2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.
Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :A= 4 3
1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :
A= 22 0
4 22!2M2;3(R); B=0
B @1 1 1 2 131C
A2M3;2(R); C= 11
1 2!2M2;2(R)
Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D2(2); T3;2(3); T2;1(2):
2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).
3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.
Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!2M2;2(R)et N= 23
46!2M2;2(R):
Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)
1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser
son inverse :A= 1 2
3 4!2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!2M2;2(R):
2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :M= 2 1
3 2!2M2;2(R):
Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)
SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.Exercice 14{SoitM=0
B @2 4 1 2 5 11 2 11
C A.1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice
M1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.
22) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).
4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.
5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee
dans le cours.Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)
1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 20 4 61
CA2M3;3(R):
Quelle est la valeur deM1?
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :
2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 10 2 31
CA2M3;3(R):
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.
Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :
M=0 B @1 01 2 3 40 1 11
C A:1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.
2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme
produit de matrices elementaires.3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :
(m)2 6 4x 1x3=m2x1+ 3x2+ 4x3= 1
+x2+x3= 2m: 3Correction de l'exercice 1 :
Le lecteur veriera que :
AB= 0 0
0 0! ; BA= 6 3 126!CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C