FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES
3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : Pour une pression de p Pascals s'exerçant sur le tympan avec ... CORRECTION. Exercice n°1.
logarithmes exercicescorriges
Fascicule d'exercices
I. Logarithmes et exponentielles. Exercice 2 : Correction. • Quel est le nombre dont le logarithme est -2 dans la base 4?
melodelima christelle p
Exercices sur le logarithme décimal
Exercices sur le logarithme décimal. 1. Soient a et b Si log b = a avec b ∈ R∗+ alors déterminer: ... Déterminer domf et simplifier f(x) si possible:.
logarithmes
Correction TP de programmation no3 - Fonctions et procédures
Rajoutez un test avec deux appels imbriqués pour vérifier que (32)2 = 81. 4. Modifiez votre programme main pour lancer les tests de cette nouvelle fonction. ¡.
TP corr
Fonction logarithme neperien
2 variations et limites de la fonction logarithme népérien. 6. 2.1 activité . 3 équations et Inéquations avec logarithme népérien. 27. 3.1 activité .
fonction logarithme neperien
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTION LOGARITHME. NEPERIEN (Partie 2). I. Etude de la fonction logarithme népérien.
LogTESL
TD en groupe -Spécialité Terminale - Découverte de la fonction ln
Cette solution est appelée logarithme népérien de et est notée ሺ ሻ. CORRECTION TD - Découvrir la fonction logarithme Népérien.
activite de decouverte de la fonction l n
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Avec la calculatrice il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II.
Texplog
Fonction logarithme népérien
On en déduit donc l'allure de la courbe de la fonction logarithme : 6. Page 7. Cours de mathématiques. ECT1. Nous observons graphiquement sur la figure ci-
ECT Cours Chapitre
Fascicule d'exercices
I. Logarithmes et exponentielles. Exercice 2 : Correction. • Quel est le nombre dont le logarithme est -2 dans la base 4?
melodelima christelle p
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2) I. Etude de la fonction logarithme népérien Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI 1) Continuité et dérivabilité Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur
0;+∞
. - Admis - Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur0;+∞
et (lnx)'= 1 x . Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur0;+∞
. Posons f(x)=e lnx . Alors f'(x)=(lnx)'e lnx =x(lnx)' Comme f(x)=x , on a f'(x)=1 . Donc x(lnx)'=1 et donc (lnx)'= 1 x . Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle0;+∞
f(x)= lnx x f'(x)= 1 x×x-lnx×1
x 2 1-lnx x 22) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur
0;+∞
. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x >0YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 3) Convexité Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur
0;+∞
. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x (lnx)''=- 1 x 2 <0 donc la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante sur0;+∞
et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites aux bornes Propriété :
lim x→+∞ lnx=+∞ et lim x→0 x>0 lnx=-∞On peut justifier ces résultats par symétrie de la courbe représentative de la fonction exponentielle. 5) Tangentes particulières Rappel : Une équation de la tangente à la courbe
C f au point d'abscisse a est : y=f'(a)x-a +f(a) . Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : y= 1 a x-a +lna . - Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est y= 1 1 x-1 +ln1 soit : y=x-1 . - Au point d'abscisse e, l'équation de la tangente est y= 1 e x-e +lne soit : y= 1 e x. 6) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 x 0 +∞
ln'(x) lnxValeurs particulières :
ln1=0 lne=1Méthode : Etudier les variations d'une fonction Vidéo https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y 1) Déterminer les variations de la fonction f définie sur
0;+∞
par f(x)=3-x+2lnx . 2) Etudier la convexité de la fonction f. 1) Sur0;+∞
, on a f'(x)=-1+ 2 x 2-x x . Comme x>0 f'(x) est du signe de 2-x . La fonction f est donc strictement croissante sur 0;2 et strictement décroissante sur2;+∞
. On dresse le tableau de variations :YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4x 0 2 +∞
f'(x) ⎪⎪ + 0 - f(x)1+2ln2
f(2)=3-2+2ln2=1+2ln22) Sur
0;+∞
, on a f''(x)= -1×x-2-x ×1 x 2 -x-2+x x 2 2 x 2 <0 . La fonction f' est donc décroissante sur0;+∞
. On en déduit que la fonction f est concave sur0;+∞
. II. Positions relatives Vidéo https://youtu.be/RA4ygCl3ViE Vidéo https://youtu.be/0hQnOs_hcss Propriété : La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la droite d'équation
y=x . La droite d'équation y=xest au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Démonstration : - On considère la fonction f définie sur
par f(x)=e x -x f'(x)=e x -1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 f'(x)=0 ⇔e x -1=0 ⇔e x =1 ⇔x=0On a également
f(0)=e 0 -0=1>0 . On dresse ainsi le tableau de variations : x -∞0 +∞
f'(x) - 0 + f(x)1 On en déduit que pour tout x de
, on a f(x)=e x -x>0 soit e xYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2) I. Etude de la fonction logarithme népérien Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI 1) Continuité et dérivabilité Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur
0;+∞
. - Admis - Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur0;+∞
et (lnx)'= 1 x . Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur0;+∞
. Posons f(x)=e lnx . Alors f'(x)=(lnx)'e lnx =x(lnx)' Comme f(x)=x , on a f'(x)=1 . Donc x(lnx)'=1 et donc (lnx)'= 1 x . Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle0;+∞
f(x)= lnx x f'(x)= 1 x×x-lnx×1
x 2 1-lnx x 22) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur
0;+∞
. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x >0YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 3) Convexité Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur
0;+∞
. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x (lnx)''=- 1 x 2 <0 donc la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante sur0;+∞
et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites aux bornes Propriété :
lim x→+∞ lnx=+∞ et lim x→0 x>0 lnx=-∞On peut justifier ces résultats par symétrie de la courbe représentative de la fonction exponentielle. 5) Tangentes particulières Rappel : Une équation de la tangente à la courbe
C f au point d'abscisse a est : y=f'(a)x-a +f(a) . Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : y= 1 a x-a +lna . - Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est y= 1 1 x-1 +ln1 soit : y=x-1 . - Au point d'abscisse e, l'équation de la tangente est y= 1 e x-e +lne soit : y= 1 e x. 6) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 x 0 +∞
ln'(x) lnxValeurs particulières :
ln1=0 lne=1Méthode : Etudier les variations d'une fonction Vidéo https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y 1) Déterminer les variations de la fonction f définie sur
0;+∞
par f(x)=3-x+2lnx . 2) Etudier la convexité de la fonction f. 1) Sur0;+∞
, on a f'(x)=-1+ 2 x 2-x x . Comme x>0 f'(x) est du signe de 2-x . La fonction f est donc strictement croissante sur 0;2 et strictement décroissante sur2;+∞
. On dresse le tableau de variations :YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4x 0 2 +∞
f'(x) ⎪⎪ + 0 - f(x)1+2ln2
f(2)=3-2+2ln2=1+2ln22) Sur
0;+∞
, on a f''(x)= -1×x-2-x ×1 x 2 -x-2+x x 2 2 x 2 <0 . La fonction f' est donc décroissante sur0;+∞
. On en déduit que la fonction f est concave sur0;+∞
. II. Positions relatives Vidéo https://youtu.be/RA4ygCl3ViE Vidéo https://youtu.be/0hQnOs_hcss Propriété : La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la droite d'équation
y=x . La droite d'équation y=xest au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Démonstration : - On considère la fonction f définie sur
par f(x)=e x -x f'(x)=e x -1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 f'(x)=0 ⇔e x -1=0 ⇔e x =1 ⇔x=0On a également
f(0)=e 0 -0=1>0 . On dresse ainsi le tableau de variations : x -∞0 +∞
f'(x) - 0 + f(x)1 On en déduit que pour tout x de
, on a f(x)=e x -x>0 soit e x- logarithme courbe
- logarithme cours
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