Université Pierre et Marie Curie 2017-2018 M. Michel Mémento sur

L'EXPONENTIELLE ET LE LOGARITHME COMPLEXES

Mais d'après la propriété ci-dessus : tout nombre complexe admet une infinité de logarithmes ! On peut néanmoins définir une fonction logarithme complexe par

Chapitre 3 : Analyse complexe - Rennes

Exponentielle complexe et fonctions usuelles associées. 5. Logarithmes complexes. 6. Intégrale le long d'un chemin. 7. Théor`eme et formule de Cauchy.
transp complexe o ley

Une premi`ere approche du logarithme complexe

26 févr. 2005 Le logarithme est une fonction définie `a priori sur R et l'on aimerait savoir si l'on peut l'étendre aux complexes.

Analyse complexe (Notes de cours)

25 avr. 2019 L'exponentielle et le logarithme complexes. 1. La fonction exponentielle complexe. La définition de l'exponentielle `a partir de la série ...
CoursANC

ANALYSE COMPLEXE

2.5 Logarithme complexe. On souhaite maintenant inverser la fonction exponentielle dont nous avons vu qu'elle réalise une surjection de C vers C∗ mais
analysecomplexe

Soit Ω ⊂ C ∗. Un logarithme sur Ω est une fonction continue f : Ω

9 févr. 2009 Autour du logarithme complexe. Corrigé. Soit Ω ⊂ C∗. ... Montrer qu'il n'existe pas de fonction logarithme continue sur le cercle unité.
CorrigeDM Log

Université Pierre et Marie Curie 2017-2018 M. Michel Mémento sur

Mémento sur les logarithmes complexes1. A. Existence des logarithmes. 1. Sans continuité : tout nombre complexe non nul admet un logarithme ; ceci traduit.
MementoLog

Chapitre 3 - Fonctions classiques et logarithme complexe

logarithme complexe. 3.1 Fonctions circulaires et hyperboliques. Exercice 3.1.1 a) Montrer que pour tout z ∈ C on a cos(iz) = ch(z) ; ch(iz) = cos(z)
feuille FVC

note de cours mth2120

2.2.1 Le logarithme népérien complexe. FIGURE 2.1: Partie imaginaire de la fonction logarithmique. La fonction logarithmique est définie comme la fonction

Analyse Complexe 2005-2006

2 Dérivabilité au sens complexe équations de Cauchy-Riemann 9 Le Logarithme complexe ... Revenons au problème de construire un logarithme complexe.
poly burnol

247705

Université Pierre et Marie Curie 2017-2018

M. Michel

Mémento sur les logarithmes complexes

A. Existence des logarithmes

1. Sans continuité : tout nombre complexe non nul admet un logarithme ; ceci traduit

la surjectivité deexp :C!C. Toute applicationfdé...nie sur un ouvertUdeC telle queef=IdUest un logarithme.

2. Avec continuité : il n"existe pas de détermination continue du logarithme sur un

ouvert deCqui contientT

3. Avec holomorphie : tout détermination continue du logarithme sur un ouvert deC

est holomorphe.

4. Pour obtenir la continuité, on cherche des formules.

B. Unicité sous réserve d"existence

1. Siwetw0est un logarithme d"un nombre complexe non nulz,Rew= lnjzj.

2.wetw0sont des logarithmes d"un même nombre complexe non nul si et seulement

siw0w22iZ.

3. SiLetLsont deux déterminations continues du logarithme sur unmêmedomaine

DdeC, il existek2Ztel queL=L+ 2iketReL= ReL= lnjIdDj.

4. SiLest une détermination continue du logarithme sur un ouvertUdeC,Lest

holomorphe surUetL0=1Id U.

5. SiXest une partieXdeCetL:X!Cest une détermination du logarithme,L

réalise une bijection deXsurY=L(X),E= expXYest bijective etLY=E1.

C. Formules locales

1. On primitive surDla série de Taylor dez7!11zen0puis on utilise des homothéties

translations pour obtenir des déterminations holomorphes du logarithme sur tout disque de la formeD(a;jaj),a2C. une fonction continue surCpuisqu"il n"existe pas de détermination continue du logarithme surC.

3. (C1) et (B3) donnent (A3).

D. Formules globales pour la détermination principale

1.Logest l"unique logarithme dé...ni surCnRà valeurs dansR+ ];+[i.1

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2. Formules trigonométriques. Siz2CnR,

Logz= lnjzj+iArgz

oùArg :CnR!];[est donnée par les formules

Arg(z) =

argtan

ImzRezsiRez >0

argcos

RezjzjsiImz >0

argcosRezjzjsiImz <0:

3. Formule intégrale. Siz2CnR,

Logz=Z

[1;z]d

E. Pièges et curiosités des logarithmes

1. En général,Log(ab)6= Loga+ Logblorsquea;b2CnR. D"ailleurs,Logn"est

même pas dé...nie eniialors qu"elle l"est eni.

2. Sia2R,limz!a;Imz>0Logzexiste et vautitandis quelimz!a;Imz<0Logzexiste et vaut

3. SiLest une détermination continue du logarithme sur un ouvertUdeC,A= ImL

est une détermination continue de l"argument surUmais il n"y a aucune raison pour que a prioriA(U)soit contenu dans un intervalle de longueur2. Il y a des exemples oùA(U) =R+.

4. Soit

2C0([0;1];C)un chemin. Il existe une détermination continue du loga-

rithme le long de , c"est à dire une application continue`: [0;1]!Ctelle que =e`.= Im`est une détermination continue de l"argument le long de puisque =j jei. Ceci est en particulier vrai quand paramètre le cercleT( :t7!e2it). Ce n"est pas une contradiction avec (A2) mais cela signi...e dans ce cas que`n"est pas la restriction àTd"une fonction holomorphe au voisinage deT. 2