La fonction logarithme népérien









Fonctions logarithmes népérien et décimal

La fonction logarithme népérien notée ln
TS courslogarithme


La fonction logarithme décimal

La fonction logarithme décimal. Propriétés analytiques. Pour x strictement positif log(x) = ln(x) ln(10). (avec ln(10) = 2
LogarithmeDecimal


CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME

FONCTION. LOGARITHME DECIMAL. 1. Fonction népérien (logarithme d'une fonction composée). Théorème. Si u 
cours chap


FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

fonction logarithme décimale notée log est définie par : log(x) = lnx ln10. Conséquences : a) y = lnx avec x > 0 ⇔ x = ey b) ln1= 0 ; lne = 1 ; ln.
LogTS





FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL. En 1614 un mathématicien écossais
LogTT


FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1)

Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui mais il faut comprendre qu'à cette époque
LogT


LOGARITHME NEPERIEN

On note a = ln b ce qui se lit logarithme népérien de b . On appelle fonction logarithme décimal et on note log la fonction définie sur ] 0 ...
ln


La fonction logarithme népérien

3 déc. 2014 5.2.1 Nombre de chiffres dans l'écriture décimale . ... Définition 1 : On appelle fonction logarithme népérien notée ln la fonction.
Cours fonction logarithme neperien





Fonction Logarithme Népérien - Bamako

1- Définition : la fonction logarithme népérien notée ln ou Log est la primitive de la fonction x ֏ On définit le logarithme décimal noté log par : log.
courloga


Formulaire : La fonction logarithme népérien

Formulaire : La fonction logarithme népérien. • Fonction continue et dérivable sur ]0;+∞[ Propriétés de la fonction logarithme décimal. • log(10) = 1.
Formulaire logarithme


212840 La fonction logarithme népérien DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07

La fonction logarithme népérien

Table des matières

1 La fonction logarithme népérien2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4

2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4

3 Étude de la fonction logarithme népérien6

3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Applications9

4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Le logarithme décimal11

5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12

5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Avant propos

La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre.

1 La fonction logarithme népérien

1.1 Définition

Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition.

1.2 Représentation

Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O

1.3 Variation de la fonction logarithme

Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs eta•lna=lnb?a=b

•lna=0?a=1

•lna

•lna<0?0

•lna>0?a>1

Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation.

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Exemples :

•Résoudre ln(2-2x) =1.

On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1

On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e

2 On a 2-e

2<1 car2-e2? -0,36.

On conclut alors :S=?2-e

2?

•Résoudre ln(2x+1)<-1

On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2

On a alors :x>-1

2et 2x+1

On a :

e-1-1

2=1-e2e? -0,32 donc-12

On conclut par :S=?

-1

2;1-e2e?

2 Propriétés de la fonction logarithme népérien

2.1 Relation fonctionnelle

Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e DERNIÈRE IMPRESSION LE3 décembre 2014 à 10:07

La fonction logarithme népérien

Table des matières

1 La fonction logarithme népérien2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Variation de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Propriétés de la fonction logarithme népérien4

2.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée. . . . . . . . . . . . . . 4

3 Étude de la fonction logarithme népérien6

3.1 Dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Limite en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.5 Dérivée de la fonction lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Applications9

4.1 Approximation de e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Le logarithme décimal11

5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.1 Nombre de chiffres dans l"écriture décimale. . . . . . . . . 12

5.2.2 En chimie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.3 En acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2.4 Papier semi-logarithmique et logarithmique. . . . . . . . . 14

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Avant propos

La création de la fonction logarithme népérien est, à l"origine,antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l"étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII esiècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifierles longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonc- tion qui transforme le produit en somme. C"est à dire quef(ab) =f(a)+f(b).Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite "de logarithmes» qui per- mettait d"effectuer les conversions nécessaires. C"est cette fonction, qui fait écho à la fonction exponentielle, qui est l"objet de ce chapitre.

1 La fonction logarithme népérien

1.1 Définition

Définition 1 :On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de]0;+∞[surRtelle que : x=ey?y=lnx On dit que la fonction ln est lafonction réciproquede la fonction exponentielle. Remarque :Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonc- tion continue, strictement croissante à valeur dans]0;+∞[, donc d"après le théo- rème des valeurs intermédiaires l"équationx=ey, d"inconueyavecx?]0;+∞[, admet une unique solution lnx. ConséquenceOn a les relations suivantes : ln1=0 et lne=1 ainsi que : ?x?R, lnex=xet?x?]0;+∞[,elnx=x ?Faire attention aux ensembles de définition.

1.2 Représentation

Théorème 1 :Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. Démonstration :On noteClnetCexples courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Soit M(x;y)un point deClnavecx?]0;+∞[ety?R, doncy=lnx. On a alors x=ey, donc le point M"(y,x)est un point deCexp. Les courbesClnetCexpsont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d"équationy=x. 12345
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2-3 e e y=lnx y=ex xyyx M" M O

1.3 Variation de la fonction logarithme

Théorème 2 :La fonction ln est strictement croissante surR?+ Démonstration :Soit deux réelsaetbstrictement positifs eta•lna=lnb?a=b

•lna=0?a=1

•lna

•lna<0?0

•lna>0?a>1

Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation.

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Exemples :

•Résoudre ln(2-2x) =1.

On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1

On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e

2 On a 2-e

2<1 car2-e2? -0,36.

On conclut alors :S=?2-e

2?

•Résoudre ln(2x+1)<-1

On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2

On a alors :x>-1

2et 2x+1

On a :

e-1-1

2=1-e2e? -0,32 donc-12

On conclut par :S=?

-1

2;1-e2e?

2 Propriétés de la fonction logarithme népérien

2.1 Relation fonctionnelle

Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e
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  1. relation logarithme décimal et népérien