RELATION D’ORDRE Exemple de construction mathématique Guillaume CONNAN Lycée Jean PERRIN Septembre 2006 RELATION D’ORDRE Le but du jeu RELATION D’ORDRE
En effet, d´efinissons par exemple la relation S par xSy ⇔ yRx Alors la relation T devient la relation d’´egalit´e sur E (c’est bien une relation d’ordre, mais qui n’est totale que si E se r´eduit a un seul ´el´ement ) 2 La relation U peut ne pas ˆetre une relation d’ordre
On appelle relation binaire tout triplet R = exemple 3 Relations d’ordre Définition3 0 1 Onappellerelationd’ordretouterelationbinaire
Relations d’ordre Cechapitretraitedesrelationsd’ordre Apr`esdesrappelsdenotionsabord´ees l’an dernier, on s’int´eresse plus particuli`erement aux “ordres bien fond´es” qui permettent de g´en´eraliser le principe de r´ecurrence 1 1 Ordre et ordre strict D´efinition (relation binaire) Soit E un ensemble Une relation binaire
Relations d’ordre Nous allons discuter dans ce chapitre d’un type particulier de relation, les relations d’ordre De telles relations apparaissent dans des domaines varies des math´ ematiques Elles ont´ ´egalement un grand nombre de propri et´ es´ combinatoires tr`es int ´eressantes que nous allons voir 4 1
Relations d’ordre D enombrement Plus grand el ement Borne Sup erieure 1 Relations d’ordre 1 1 Relations d’ordre Ensembles ordonn es D e nition Soit E un ensemble muni d’une relation binaire R On dit que R est une relation d’ordre sur E ou que (E;R) est un ensemble ordonn e si et seulement si R poss ede les propri et es
•La relation 6 sur RR est une relation d’ordre partielle Par exemple, les fonctions sinus et cosinus ne sont pas comparables : on n’a ni sin 6 cos ni cos 6 sin •La relation de divisibilité sur N est une relation d’ordre partielle car 2 et 3 sont incomparables pour cette relation : on n’a ni 23 ni 32
3 RELATION D’ORDRE Exemples : • Les relations 6, >sur R sont des relations d’ordre tandis que < et > ne le sont pas par manque de réflexivité • La relation de divisibilité est une relation d’ordre sur N∗ (mais pas sur Z∗) :
Relation d’ordre Definition:´ Une relation sur X ∼ qui est reflexive´ , antisymetrique et´ transitive est appelee une relation d’ordre ´ On dit alors que X est partiellement ordonnee´ et on note ≤ a` la place de ∼ Si (x,y) ∈ X2, x et y seront comparables si x ≤ y ou y ≤ x
Attention En identiflant 1 £1 matrice et nombre r¶eel, on retrouve les relations d’ordre usuelles sur IR Dµes que n‚2 cependant, la relation •n’est plus une relation d’ordre complet :¶etan t donn¶ees deux n£nmatrices sym¶etriques S1 et S2, on n’a pas n¶ecessairement : S1 •S2 ou : S2 •S1 Contre-exemple 2 2 n= 2, S1
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1 Relations d’ordre
Exemples Par exemple, si (E; ) = (R; ) et si A = [0;1[, B = Z, C = [1;2], alors tout r eel x 1 est majorant de A, tout r eel x < 0 est minorant de A, il n’y a ni minorant, ni majorant de B, tout r eel x > 2 est majorant de C, tout r eel x < 1 est minorant de C
Exercices de Math´ematiques Relations d’ordre
1 R est une relation d’ordre partiel sur IR2 Par exemple les couples (0,1) et (1,0) ne sont pas comparables 2 S est une relation d’ordre total sur IR2: c’est l’ordre lexicographique La r´eflexivit´e est ´evidente : ∀(x,y) ∈ IR2,(x,y)S(x,y) Si ˆ (x,y)S(x0,y0) (x 0,y )S(x,y) alors n´ecessairement x = x0 et y = y0: S est antisym´etrique Page 3 Jean-Michel Ferrard www klubprepa net
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Relations d’ordre - Page d'Igor Kortchemski
Une relation d’ordre sur X est une relation 6 satisfaisant les trois propri et es suivantes : (R e exivit e) 8x 2X; x 6 x; (Transitivit e) 8x; y; z 2X; (x 6 y et y 6 z) )x 6 z; (Antisym etrie) 8x; y 2X; (x 6 y et y 6 x) )x = y On dit que la relation 6 est totale si elle v eri e de plus la propri et e suivante : 8x; y 2X; x 6 y ou y 6 x
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VIII Relations d’ordre et d’équivalence
lesrelationsd’ordre Définition3 0 4 Soit4 unerelationd’ordresurE 1 Onditquex,y ∈E sontdesélémentscom-parablessix 4 y ouy 4 x 2 Onditque4 estunerelationd’ordretotale (ouquecetordreesttotal)sitousleséléments deE sontcomparablesdeuxàdeux Sinonla relationestditepartielle(oul’ordreestdit partiel) Exemple3 0 5 — On définit la relation
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Relations d’ordre - IGM
Relations d’ordre Cechapitretraitedesrelationsd’ordre Apr`esdesrappelsdenotionsabord´ees l’an dernier, on s’int´eresse plus particuli`erement aux “ordres bien fond´es” qui permettent de g´en´eraliser le principe de r´ecurrence 1 1 Ordre et ordre strict D´efinition (relation binaire) Soit E Taille du fichier : 97KB
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Chapitre 4 Relations d’ordre
Exemple 4 2 1 L’ensemble Z muni de l’ordre naturel est totalement ordonn´e 2 L’ensemble N est partiellement ordonn´e par la relation de divisibilit e On note ce poset par´ (N,) 3 L’ensemble Z n’est pas partiellement ordonne par rapport´ `a la divisibilit e Soit´ a un el´ ´ement non nul Alors a divise −a, et −a divise a Mais a n’est pas egal´ a` −a, et donc la propri´et e d’antisym´ ´etrie n’est pas valide
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RELATION D'ORDRE Exemple de construction mathématique
RELATION D’ORDRE Exemple de construction mathématique Guillaume CONNAN Lycée Jean PERRIN Septembre 2006 RELATION D’ORDRE
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Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre
3 RELATION D’ORDRE Exemples : • Les relations 6, >sur R sont des relations d’ordre tandis que < et > ne le sont pas par manque de réflexivité • La relation de divisibilité est une relation d’ordre sur N∗ (mais pas sur Z∗) : – ∀n ∈ N∗, nn donc est réflexive – nn′ et n′n ∃k,k ′∈N∗
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Relation binaire, relation d'ordre, treillis
Relation d’ordre Definition:´ Si X est fini, son diagramme de Hasse est le graphe oriente´ dont les sommets sont les el´ ements de´ X et les aretesˆ represent´ ees du bas vers le haut sont les couples´ (x,y) ou y couvre x Exemple: X = {a,b,c,d,e,f} et a ≤ b, a ≤ c, b ≤ d, c ≤ d, d ≤ e, d ≤ f
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Partie IV : Relations binaires, applications
Exemple 55/137 E Relations d’ordre, ensembles ordonnés E 1 Définitions Unerelation d’ordresur un ensembleE est une relation réflexive, antisymétrique et transitive On dit alors queE estun ensemble ordonné Une relation d’ordre surE esttotalesi pour tout
Soit R une relation binaire définie sur E R est une relation d'ordre lorsque : Exemple : En reprenant les relations binaires précédentes : =≥≤ ,, sont des
Exemples d'ordre ordres sur les parties d'un ensemble Soit E un ensemble l' inclusion, notée ⊆, est une relation d'ordre sur l'ensemble des parties P(E) qui
Slide Relation
Montrer que est une relation d'ordre partiel sur Pour trouver un contre- exemple il faut qu'il y ait au moins deux cases cochées en jaune autre que celle
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges relations binaires
relation d'ordre strict) quand elle est irréflexive et transitive Définition arête entre x et y Exemple : Le diagramme de Hasse pour l'ordre ⊂ sur E = {1,2,3} est :
L
Exemples L'inégalité ≤ est une relation sur N, Z ou R Le parallélisme et l' orthogonalité sont des relations sur l'ensemble des droites du plan ou de l' espace
relations
Par analogie avec l'exemple 1 3, on note souvent un ordre par ≤ au lieu de R 1 5 Définition Une relation d'ordre ≤ sur un ensemble E est totale si ∀x, y ∈ E,
Ch. Relations
20 août 2017 · Par exemple si 勿 est la relation < sur R : si l'on a x < y on n'a pas y < x Exemples : Les relations que l'on utilise couramment en mathématiques •
bis relation binaire
Exemples : 1 Aucun des ensembles N, Z, Q et R n'admet de plus grand élément Parmi eux seul N possède un plus petit
ordre
La liste est dite ordonnée parce que l'ordre des éléments est important (cela Par exemple, 〈13,4〉 est un couple Exemples de relations binaires 1
acetates
Ainsi se donner une relation binaire ? sur E
Exemples : Quel que soit l'ensemble la relation d'égalité = est réflexive. Sur N? la relation a divise b
Définition. Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réflexive symétrique et transitive. Exemples
relation d'ordre strict) quand elle est irréflexive et transitive. exemple. 1.6 Diagramme de Hasse d'un ensemble ordonné.
Aug 20 2017 Par exemple si ? est la relation < sur R : si l'on a x < y on n'a pas y < x. Exemples : Les relations que l'on utilise couramment en ...
préférence soit une relation d'ordre. Par exemple soient trois types de sucreries : UOH - Psychométrie et Statistique en L1 https://uohpsy.univ-tlse2.fr/
http://jl.baril.u-bourgogne.fr/courstreillis.pdf
Exemple Vous connaissez depuis toujours certaines relations binaires : Exemple La relation de divisibilité
Sep 22 2021 — L'égalité est l'exemple le plus courant de relation binaire. — Soit f : R ? R. On peut définir pour tous x
Exemples - Dans l’ensemble des nombres r eels l’in egalit e large x y est une relation d’ordre - Dans l’ensemble des nombres naturels la relation a divise b not ee ajb est une relation d’ordre - Dans l’ensemble des parties d’un ensemble la relation A ˆB est une relation d’ordre Remarques
Relations d’ordre Ce chapitre traite des relations d’ordre Apr`es des rappels de notions abord´ees l’an dernier on s’int´eresse plus particuli`erement aux “ordres bien fond´es” qui permettent de g´en´eraliser le principe de r´ecurrence I 1 Ordre et ordre strict D´e?nition (relation binaire) Soit E un ensemble
Il y a de nombreux exemples d’ensembles partiellements ordonnes que vous connaissez d´ ej´ `a En voici une petite liste : Exemple 4 2 1 L’ensemble Z muni de l’ordre naturel est totalement ordonn´e 2 L’ensemble N est partiellement ordonn´e par la relation de divisibilit e On note ce poset par´ (N) 3
3 RELATION D’ORDRE Exemples : • Les relations 6 >sur R sont des relations d’ordre tandis que < et > ne le sont pas par manque de ré?exivité • La relation de divisibilité est une relation d’ordre sur N? (mais pas sur Z?) : – ?n ? N? nn donc est ré?exive – nn? et n?n ?kk ??N?
D´e?nition (ordre) Une relation binaire est un ordre (ou une relation d’ordre) quand elle est r´e?exive antisym´etrique et transitive D´e?nition (ensemble ordonn´e) Soit E un ensemble et une relation d’ordre sur E On dit que (E ) est un ensemble ordonn´e
Comment définir une relation d’ordre?
Relation d’ordre De?nition:´ Une relation sur X ? qui est re?exive´ , antisymetrique et´ transitive est appelee une relation d’ordre.´ On dit alors que X est partiellement ordonnee´ et on note ? a` la place de ?. Si (x,y) ? X2, x et y seront comparables si x ? y ou y ? x.
Comment savoir si une relation d’ordre est totale ?
Cette page a pour but de présenter les relations d’ordre à l’aide d’une partie cours et de quelques exercices corrigés. Une relation ? sur un ensemble E est une relation d’ordre sur E si elle vérifie ces trois propriété : Si pour tout couple, on a x ? y ou y ? x, on dit que le relation d’ordre est totale.
Comment définir une relation d’ordre sur un ensemble ?
Une relation ? sur un ensemble E est une relation d’ordre sur E si elle vérifie ces trois propriété : Si pour tout couple, on a x ? y ou y ? x, on dit que le relation d’ordre est totale. On définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des entiers naturels par Elle est bien réflexive. On a bien : D’où x = y.
Comment calculer les relations d’ordre et d’équivalence ?
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation surZ aRb ? a ?b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence. Solution:On véri?e les 3 conditions : — Ré?exivité : Soit x ?Z. On veut prouver xRx, c’est à dire x? est un multiple de 5.On a x ? x = 0 = 5 ×0.
Chapitre3 : Relations dordre