FLOATING POINT Representation for non-integral numbers Including very small and very large numbers Like scientific notation –2 34 × 1056 +0 002 × 10–4 +987 02 × 109
The bias value 127 = (01111111) 2 is added to the actual exponent 126 = (01111110) 2 n (01111111) 2 = 127 (before it is stored) to produce a positive number, exponent bias, between 1 and 254 This allows to reserve the exponent bias (00000000) 2 to represent 0 and subnormals: zero exponent bias indicates that the hidden bit is 0
exponent bits (k=7), and eight fraction bits (n=8) The exponent bias is 27-1 - 1 = 63 Fill in the table that follows for each of the numbers given, with the following instructions for each column: Hex: the four hexadecimal digits describing the encoded form M: the value of the significand
•Exponent represented in excess or bias notation •N-bits typically can represent signed numbers from –2 N–1 to 2–1 •But in IEEE 754, they represent exponents from –2N–1+2 to 2N–1–1 •And they represent those as unsigned with an implicit 2N–1–1 added •Implicit added quantity is called the bias •Actual exponent is E
Exponent The e field represents the exponent as a biased number – It contains the actual exponent plus 127 for single precision, or the actual exponent plus 1023 in double precision – This converts all single-precision exponents from -126to +127 into unsigned numbers from 1 to 254, and all double-precision exponents from -
– 3) Encode resulting binary/shift offset (E) using bias representation Add bias and convert to unsigned binary If the exponent cannot be represented, result is zero or infinity 2 75 (dec) → 10 11 (bin) → 1 011 x 21 (bin) → 0 1000 011 Bias = 24-1 – 1 = 7 Exp: 1 + 7 = 8 Example (4-bit exp, 3-bit frac): Note: bias = 2n-1-1 (where n is the
• Exponent bias = 7F H = 127 Thus, in order to get the true exponent as defined by the offset binary representation, the offset of 127 has to be subtracted from the stored exponent The stored exponents 00 H and FF H are interpreted specially Exponent Significand zero Significand non-zero Equation 00 H zero, −0 subnormal numbers
The exponent field needs to represent both positive and negative exponents A bias is added to the actual exponent in order to get the stored exponent For IEEE single-precision floats, this value is 127 Thus, an exponent of zero means that 127 is stored in the exponent field A stored value of 200 indicates an exponent of (200-127), or 73
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Arithmétique flottante et propagation d’erreurs
Signe Exposant biaisé Partie fractionnaire Format IEEE 754 (s,e,f) ⇒biais = 2e−1−1 Algorithmiquenumérique—Master1MIAGe—2007/2008—v 1–p 28
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Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
En général, l'exposant est représenté de façon biaisée: une constante, le biais, doit être soustrait de la valeur dans le champ pour obtenir la vraie valeur de l'exposant: champ exposant = exposant + biais Typiquement, la valeur du biais est 2k-1-1, où k est le nombre de bits du champ de l'exposantTaille du fichier : 654KB
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TD pour la partie 1 du cours d'AO
- un exposant biaisé, représentant une puissance de 2, codé sur 8 bits (23 à 30); - un bit pour le signe de la mantisse (0 si m >= 0, 1 si m < 0) Donner, sous la forme ±a * 2b (a et b décimaux), la valeur qui correspond aux 32 bits suivants (sous forme octale): 27632000000 6 La représentation des nombres réels correspond à celle décrite précédemment, sauf que le premier bit
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AMARTIN
L’exposant biaisé prend28 = 256 valeurs, dans l’intervalle[[0,255]] L’exposant («réel») prend donc a priorisesvaleursdans[[−127,128]] Maisleplusgrandexposantbiaisé,28 −1 = 255,estréservépourles nombresspéciaux(±∞etNaN) Leplusgrandexposanteffectifestdonce= 254−127 = 127
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Cours
Comme la mantisse de xcompte moins de 23 chiffres et que son exposant est compris entre −126et 127, on en déduit que xest un flottant normalisé Son exposant biaisé sera E=7+127=134 Il ne reste plus qu’à écrire E en binaire : E=134=128+4+2=27 +22 +21 =10000110 2 On en déduit
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Architecture des ordinateurs Corrigé du TD 2
exposant biaisé = 100000112 = 13110 exposant : 10000011 01111111 = 1002 = 410 la mantisse est normalisée : 0 11001001001100110011001 0:11001001001100110011001 10 100
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2 ÉcriturenormaliséenormeIEEE754
Plutôt que d’adopter, pour le codage de cet exposant, pouvant être négatif, la méthode du complément à 2 comme vu dans le chapitre précédent, le choix a été fait de biaiser cet exposant en lui ajoutant 27 −1 =127, revenant donc ainsi à coder un entier positif Bne pas oublier de«débiaiser» audécodage
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Devoir architecture Novembre 2007 correction
SM Exposant Mantisse (1bit) biaisé (23bits) (8bits) Signe Mantisse SM = 0 car positif Exposant biaisé = 01111111 2 = 2 0+2 1+2 2+2 3+2 4+2 5+2 6 = 127 10 Exposant biaisé = Exposant +127 Exposant = Exposant biaisé-127 = 127-127 = 0 Donc le nbre réel est le
1 bit pour le signe (1:négatif, 0:positif) • 8 bits pour l'exposant signé: représentation biaisée + 1 23 bit l ti d l f 1 XX X • 23 bits pour la mantisse de la forme 1,XX
cours
les exposants biaisés et le bit implicite Codage biaisé de l'exposant sur 4 bits : un bit de signe, un exposant biaisé de 3 bits et une mantisse de 3 bits,
NL CM
utilise des exposants biaisés : si on a N bits pour représenter l'exposant, 1 pour une représentation 32 bits : 1 bit de signe, exposant sur 8 bits biaisé `a 127
chap
1 bit p bits k bits •Pour la représentation de l'exposant on utilise : 1) Le complément à deux 2) Exposant décalé ou biaisé Représentation en virgule flottante
CM
Représentation de l'exposant et de son signe • L'exposant est translatée de manière à toujours coder en interne une valeur positive • Avec 2 digits réservés au
notes floats
En général, l'exposant est représenté de façon biaisée: une constante, le biais, doit être soustrait de la valeur dans le champ pour obtenir la vraie valeur de
.Reels
exposant 01010101010101010101010 ︸ ︷︷ ︸ mantisse • le bit de signe est 1 : le nombre est négatif • l'exposant biaisé est 10000010 correspondant à
chap
278 = 1'0001'01102 = 0,1000'1011'02 * 29 Signe de la mantisse: 0 (bit 31); la mantisse est donc positive Exposant réel: 9; biais: 128 Exposant biaisé: 9 + 128 =
ao tdcorr
Exposant Partie fractionnaire mantisse 1 bit w bits p-1 bits ○ Se souvenir que la partie l'exposant est encodé en utilisant une représentation biaisée E + E
ISN Rep num seq nombres reels IREM
Codage biaisé de l'exposant sur 4 bits : le biais est 24-1. = 8 l'exposant biaisé est −5 + 8 = 310
• Exposant – 8 bits (excentrement-127). • Mantisse – 23 bits. • Format binaire. • Normalisation : 1.MMMM… • Bit caché s к. M. 1. M. 2 … M. 23 signe exposent.
négatifs à des exposants positifs en rajoutons à l'exposant la valeur 2p -1. Exposant Biaisé = Exposant réel + Biais. L' exposant décalé ( biaisé ). Page 55
format suivant avec l'exposant biaisé: signe exposant mantisse. Pour les valeurs 45.125 et –12.0625 donnez: a. la représentation de chaque opérande b. l
o Exposant sur 8 bits biaisé à 127 => 3 + 127 = 130 => 10000010 o Pseudo mantisse sur 23 bits : 000 1010 00000000 00000000. Signe Exposant biaisé. Pseudo
Exposant biaisé = 14. Exposant réel = Exposant biaisé – Biais. Exposant réel = 14 – 16 = -2. Donc on trouve le même résultat que la première opération. Page 7
un exposant biaisé de 50 (2 digits) et 5 digits pour la mantisse. • Notation flottante normalisée. ⊲ 0.99520 × 101. • Chiffre Positif exposant de 50 + 1 = 51.
Exposant réel = exposant biaisé - biais = 124 -128 = -4. Le nombre sous la Signe de la mantisse: 0 (bit 31); la mantisse est donc positive. Exposant réel: 9; ...
exposant biaisé et 7 bits pour la ... X3 ‒ X4 selon la norme IEEE 754 en simple précision (32 bits : 1 bit pour le signe 8 bits pour l'exposant biaisé et 23 bits ...
exposant biaisé = 5 + 127 = 132 = 10000100 signe positif. 0. 10000100. 00111001000000000000000 soit (421C8000)16. (125 50)10 = 1
les exposants biaisés et le bit implicite. G. Koepfler. Numération et Logique un bit de signe un exposant biaisé de 3 bits et une mantisse de 3 bits
Position du point décimalMantisse. Exposant. Signe de l'exposant. Base. Base de système du nombre! Avec 2 digits réservés au codage de l'exposant.
Simple précision (norme IEEE 754): 32 bits. • 1 bit pour le signe (1:négatif 0:positif). • 8 bits pour l'exposant signé: représentation biaisée + 1.
Exposant. Mantisse normalisée. 1 bit p bits k bits. •Pour la représentation de l'exposant on utilise : 1) Le complément à deux. 2) Exposant décalé ou biaisé.
o Exposant sur 8 bits biaisé à 127 => 3 + 127 = 130 => 10000010 o Pseudo mantisse sur 23 bits : 000 1010 00000000 00000000. Signe Exposant biaisé.
En base 2 on utilise des exposants biaisés : si on a N bits pour représenter l'exposant on ajoute 2N-1 ? 1 `a l'exposant. Tout exposant entre ?2N-1 +1 et 2N-
exposant. 01010101010101010101010. ?. ??. ? mantisse. • le bit de signe est 1 : le nombre est négatif. • l'exposant biaisé est 10000010 correspondant à
exposant mantisse format simple précision Représentation “biaisée” de l'exposant ... Lorsqu'on ajoute deux exposants il faut rajouter le biais.
0 et 255 sont des valeurs réservées. • 254 valeurs possibles ? le biais est donc de 127. 10. Précision. Taille. Signe. Exposant biaisé. Mantisse. Simple.
14 nov. 1998 L'exposant biaisé est 01111111 = 127 donc l'exposant vaut 0. La mantisse normalisée est 1.10000000000000000000000 .
Représentation de l'exposant et de son signe • L'exposant est translatée de manière à toujours coder en interne une valeur positive
Exposant biaisé : exemple de codage On veut représenter les nombres en virgule flottante sur une machine suivant le format signe mantisse exposant mantisse
0 et 255 sont des valeurs réservées • 254 valeurs possibles ? le biais est donc de 127 10 Précision Taille Signe Exposant biaisé Mantisse Simple
o Exposant sur 8 bits biaisé à 127 => 3 + 127 = 130 => 10000010 o Pseudo mantisse sur 23 bits : 000 1010 00000000 00000000 Signe Exposant biaisé
Exposant Signe mantisse 1 bit p bits k bits •Pour la représentation de l'exposant on utilise : • Le complément à deux • Exposant décalé ou biaisé
Simple précision (norme IEEE 754): 32 bits • 1 bit pour le signe (1:négatif 0:positif) • 8 bits pour l'exposant signé: représentation biaisée + 1
Exposant biaisé (Eb) • placé avant la mantisse pour simplifier la comparaison • Codé sur p bits et biaisé pour être positif (ajout de 2p-1-1)
o Exposant sur 8 bits biaisé à 127 => 3 + 127 = 130 => 10000010 o Pseudo mantisse sur 23 bits : 0001010 00000000 00000000 Signe Exposant biaisé
Exposant biaisé (Eb) placé avant la mantisse pour simplifier la comparaison Codé sur p bits et biaisé (Eb=exposant réel+biais avec biais=(2º/2)-1) donc
Représentation “biaisée” de l'exposant Avantages Pas de "bit de signe" 1- Comparaison de nombres: nombres en virgule flottante ? entiers
Comment calculer l'exposant biaisé ?
La norme IEEE-754 décrit les formats à virgule flottante, un moyen de représenter des nombres réels dans le matériel. Il existe au moins cinq formats internes pour les nombres à virgule flottante qui peuvent être représentés dans le matériel ciblé par le compilateur MSVC. Le compilateur n'en utilise que deux.Comment fonctionne la norme IEEE 754 ?
Les nombres sont dits flottants parce que la place de la virgule n'est pas fixe. Contrairement à ce que pourrait dicter l'intuition, il ne s'agit pas d'écrire les nombres avec un bit de signe, onze bits pour la partie entière et les cinquante deux bits restants pour la partie décimale.C'est quoi un flottant en informatique ?
Définition actuelle à partir de la notation scientifique
Plus concrètement, la mantisse est le nombre obtenu en dépla?nt la virgule après le premier chiffre significatif et en supprimant le signe.
Représentation de nombres réels
Représentation des nombres flottants
Chapitre 2 : Représentation de linformation
Correction du Travaux Dirigés N°2