montrer que si m et n sont des entiers qui ne sont pas premiers entre eux, les groupes µ mn et µ m ×µ n ne sont pas isomorphes Exercice 13 Soit n et d deux entiers tels que d divise n On d´efinit une application f : µ n → µ d qui a s associe sn/d Montrer que f est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est µ n/d
Entier naturel k tel que n = 2 k Exemple : 6 = 2 x 3 k =3 donc 6 est nombre pair Définition2: on dit qu’un nombre impair s’il existe un entier naturel k tel est un nombre pairque n = 2 k+1 Exemple : 11 = 2 x 5+1 k =5 donc 11 est nombre impair Exercice : a et b 2 2 2 Montrer que si a est pair et b impair alors la somme est un nombre impair
E n’est pas un espace vectoriel, on peut montrer que 0 ∈/ E, ou qu’il existe a et b dans E avec a + b non dans E, ou en montrant qu’il existe a ∈ E avec λa /∈ E pour un certain λ ∈ R Exercice 1 Montrez que les espaces suivants ne sont pas des espaces vectoriels :
1) Montrer que l’équation f xn ( ) = 0 admet une unique solution réelle noyée un et que cette solution est strictement positive 2) Montrer que pourn ‡3, on a 1 ln£ £u nn ( ) 3) Montrer que pour tout nstrictement positif, ln ln(u u nn n)+ = ( ) 4) Montrer que n ln( ) n u n fi+¥: 5) Donner un équivalent de u nn-ln( ) lorsque ntend vers+¥
Montrer que n k=1 1 p k tend vers +1quand n1 Solution On ommencce arp montrer que P n = Q n k=1 1 1 1 pk tend vers 1 En e et, en tronquant la somme in nie et en développant le prduit,o on trouve P n 1 + :::+ 1 n La série de terme général ln 1 1 1 pk diverge donc, et on montre que ourp kassez grand, ec terme général est inférieur ou
(f) Soit z2Z[i] tel que N(z) est un nombre premier Montrer que zest irréductible dans Z[i] Supposons que z= w 1w 2, où w 1;w 2 2Z[i], et montrons que w 1 ou w 2 est inversible Par la question 3b, N(z) = N(w 1)N(w 2): Puisque N(z) est premier, ceci implique que soit N(w 1) = 1 soit N(w 2) = 1, et on applique la question 3d pour conclure
n − 1 Montrer par l’absurde que a admet un diviseur premier de la forme 4k +3 (d) Montrer que ceci est impossible et donc que X est infini 3 Une autre preuve du petit th´eor`eme de Fermat (a) Soit p un nombre premier et i ∈ N compris entre 1 et p − 1 Montrer que p divise le coefficient binomial Ci p = p i(p−i)
(a)Montrer que le réel detAest une racine d’un polynome de R 3[X] que l’on déterminera (b)En déduire que si A est inversible, alors n est pair Dans la suite, on suppose que n = 3 et on note F = ker(f2 + Id E) (c)Montrer que R3 = ker(f) ⊕F (d)Montrer que F est stable par f, et que l’endomorphisme g:= f F induit par f sur F
Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé Exercice no 1 Montrons par récurrence que : ∀n∈ N, 2n >n • Pour n=0, 20 =1>0 L’inégalité à démontrer est donc vraie quand n=0
Montrer que la famille ((5,4,1),(1,2,0)) est libre et la compléter en une base de R3 2 Dans Mn(R), on note A le sous-espace des matrices antisymétriques et S le sous-espace des matrices symétriques Rappeler la définition des éléments de ces deux espaces Montrer que A et S sont supplémentaires dans Mn(R) 3 Soit P 2K[X] de degré n
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Nombres premiers entre eux - XMaths
Démontrer que si n ∈ IN *, les entiers n et 2 n + 1 sont premiers entre eux Exercice 05 (voir réponses et correction ) Soit n ∈ IN * On pose a = 8 n + 3 et b = 3 n + 1 Déterminer une relation entre a et b, indépendante de n En déduire que pour tout n ∈ IN *, a et b sont premiers entre eux
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Correction devoir maison Exercice 1 - LeWebPédagogique
Exercice 1 : 1)Si n est un nombre entier, comment exprimer l'entier qui suit n ? On le note n + 1 2)Démontrer que deux nombres entiers consécutifs sont premiers entre eux Soit n un entier naturel tel que n > 0 On considère donc n et n + 1 deux entiers consécutifs n + 1 > n donc PGCD ( n + 1 ; n ) = PGCD ( n ; n + 1 – n ) = PGCD ( n ; 1 ) = 1
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DM PTSI - bagbouton
Montrer que n et 2 n + 1 sont premiers entre eux On pose a = 1 Calculer 2a— et en déduire les valeurs possibles de 6 2 Démontrer que a et sont multiples de 5 si et seulement si (n — 2) est multiple de 5 On considère les nombres a et b définis par a — n3+2n2—3n 2112— n— I Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par (n — 1)
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Contrôle de mathématiques
Proposition 1 : Pour tout entier naturel n non nul, n et 2n+ 1 sont premiers entre eux Proposition vraie : en e et, on a (2)n+(1)(2n+1) = 1, donc d’après le théorème de Bezout, les entiers naturels n et 2n+ 1 sont premiers entre eux Proposition 2 : L’ensemble des couples d’entiers relatifs (x;y) solutions de
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Feuille 5 : Arithm´etique - Claude Bernard University Lyon 1
1 Montrer par r´ecurrence que pour tout n 2 N et k 2 N⇥ on a : 22 n+k 1= 22 1 · kY1 i=0 22 i +1 2 On pose Fn =22 n +1 Montrer que pour m 6= n, Fn et Fm sont premiers entre eux 3 En d´eduire qu’il y a une infinit´e de nombres premiers Exercice 21 Donner la valeur en base dix des nombres suivants : 1 (110101001)2; 2 (110101001)3; 3 (1367)8; 4 (1402)5
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351 - Annales sur le PGCD - ChingAtome
En déduire que les entiers an et an+1 sont premiers entre eux Exercice 3741 1 Montrer que, pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x: (x 1) (1+x+x2 + +xk 1) = xk 1 Dans toute la suite de l’exercice, on consière un nombre entier a supérieur ou égal à 2 2 a Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n: n = dk
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Exo7 - Exercices de mathématiques
n +1 (nombres de FERMAT) Montrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux Correction H [005301] Exercice 12 *** Soit (u n) n2N la suite définie par u 0 =0, u 1 =1 et 8n2N; u n+2 =u n+1 +u n (suite de FIBONACCI) 1 Montrer que 8n2N; u n+1u n 1 u2n =( 1)n et en déduire que 8n2N; u n ^u n+1 =1 2 Montrer que 8n2N; 8m2N; u m+n =u mu n+1 +u m 1uTaille du fichier : 219KB
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Arithmétique dans Z - Exo7
1 Montrer par récurrence que 8n2N;8k >1 on a : 22 n+k 1 = 22 1 k 1 Õ i=0 (22n+i +1): 2 On pose F n =22 n +1 Montrer que pour m6=n, F n et F m sont premiers entre eux 3 En déduire qu’il y a une infinité de nombres premiers Indication H Correction H Vidéo [000341] Exercice 18 Soit X l’ensemble des nombres premiers de la forme 4k+3 avec k 2N 1 Montrer que X est non vide Taille du fichier : 186KB
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PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
On a bien D =1 Exemple : : Montrer que (2n +1)et (3n +2)sont premiers entre eux ∀n ∈ N Il s’agit de trouver des coefficients u et v pour que u(2n +1)+v(3n +2)=1 −3(2n +1)+2(3n +2)=−6n −3+6n +4 =1 ∀n ∈ N, il existe u =−3 et v =2 tel que u(2n +1)+v(3n +2)=1 Les entiers (2n +1)et (3n +2)sont Taille du fichier : 92KB
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I7 Anneaux de polynˆomes
I 5 12 que A = Z[j] est un anneau euclidien et que ses unit´es sont {±1,±j,±j2} On a aussi vu que θ = i √ 3 est premier dans A Supposons qu’il existe des ´el´ements non nuls x,y,z dans A tels que x3 +y3 = z3 (i) Montrer que l’on peut supposer x,y,z premiers entre eux, ce que l’on suppose dans la suite (ii) Montrer que θ = i √
c) Démontrer que les nombres a et b sont multiples de 5 si et seulement si n - 2 est multiple de 5 3 Montrer que 2n+ 1 et n sont premiers entre eux 2 On pose c
TS sp C A cialit C A Premier contact Exercices corrig C A s de type BAC
Démontrer que les entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs u et v tels que 1 au bv + = 2 En déduire que si ( )2 2
Solution compl C A te de l exercice B
Les entiers suivants sont-ils premiers entre eux ? 12 et 15 ; 34 et 39 ; 78 et 126 ; 245 et 515 ; 13 et 12813 Exercice 02 (voir réponses et correction) Démontrer
TSpreucours
Exercice 1 : /7 On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux On pose S = x + y et P = xy 1) a) Démontrer que x et S sont premiers
IE nombres premiers entre eux Bezout Fermat
Ainsi, montrer qu'un entier d divise pgcd(a, b) revient à prouver qu'il divise à la fois Avec la décomposition primaire Montrer que a et b sont premiers entre eux
Methodo Arithmetique
Ils sont dits premiers entre eux deux `a deux si i = j implique pgcd(ai,aj)=1 Des entiers Pour le montrer, prouvons d'abord par récurrence sur n ≥ 1 que n−1
new.pgcd
Énoncer puis démontrer le théorème de Gauss Voir le cours D'après le théorème de Bezout, 14k + 3 et 5k + 1 sont premier entre eux 3) Deux entiers positifs
ctrle PGCD PPCM corrige
Deux nombres sont donc premiers entre eux s'ils n'ont d'autres diviseurs communs Démontrer, en utilisant le théorème de Bezout, la propriété : « le PGCD de
nombres premiers entre eux
nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux" 2) Soient a ≥ 2,n ≥ 1 Montrer que si an + 1 est premier alors a est pair et n est une
TD CAPES
1°) a) On peut décomposer 363 et 484 en produit de facteurs premiers. On obtient : 363 = 3 x 112 Bézout les entiers n et n + 1 sont premiers entre eux.
(22n+i. +1). 2. On pose Fn = 22n. +1. Montrer que pour m = n Fn et Fm sont premiers entre eux. 3. En déduire qu'il y a une infinité de nombres premiers.
Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair +1. Montrer que pour m = n
un multiple de 5. 3) Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux. 4) a). Déterminer suivant les valeurs de n et en fonction de n le PGCD de a et b.
On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Démontrer que pour tout entier naturel n 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre ...
précédents : Exercice : On définit le n-i`eme nombre de Fermat par la formule Fn = 22n + 1. Montrer que les Fn sont deux `a deux premiers entre eux.
Mais a et n sont premiers entre eux. Donc par le lemme de Gauss n doit diviser x ? y
Exercice 11 ***IT. Pour n ? N on pose Fn = 22n. +1 (nombres de FERMAT). Montrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux. Correction ?.
2)Démontrer que deux nombres entiers consécutifs sont premiers entre eux. Soit n un entier naturel tel que n > 0. On considère donc n et n + 1 deux entiers
(d) nXn+1 ?(n+1)Xn +1 et Xn ?nX +n?1 (n ? N?) 1. Montrer que si A et B sont deux polynômes à coefficients dans Q alors le quotient et le reste de ...
Démontrer que pour tout entier naturel n 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre eux D'après le théorème de Bézout avec les coefficients 5 et -2 on peut
Montrer que l'on peut se ramener au cas où x?y?z = 1 Montrer alors que dans ce cas x y et z sont de plus deux à deux premiers entre eux 2 On suppose
Un nombre naturel p est premier si p ? 2 et les seuls diviseurs (positifs) de p sont 1 et p Un nombre naturel n est composé si n ? 2 et n n'est pas premier
Montrer que 59 et 27 sont premiers entre eux puis déterminer un couple d'entiers relatifs (xy) tels que 59x + 27y = 1
17 103 04 Nombres premiers nombres premiers entre eux Montrer qu'il existe p ? N et n0n1 np ? {12} uniques tels que n = ?p
Par conséquent les nombres 1223 et 717 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 (et -1) On dit que ces deux nombres sont premiers entre eux La fraction 1223
Si m = n en déduire que Fn et Fm sont premiers entre eux Exercice 23 1 Montrer qu'aucun des entiers n!+2 n! + n n'est un nombre premier
précédents : Exercice : On définit le n-i`eme nombre de Fermat par la formule Fn = 22n + 1 Montrer que les Fn sont deux `a deux premiers entre eux
22 juil 2015 · Définition 1 : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exacte- ment deux diviseurs : 1 et lui-même Conséquence : • 1 n'est pas un
(b) Montrer que pour tout entier pair a ? 2 les entiers un = a2n +1 sont deux `a deux premiers entre eux 7 Montrer que pour tout n ? 0 Fn divise 2Fn
Comment montrer que n et n 1 sont premiers entre eux ?
En effet, on peut écrire (n + 1) x 1 - n x 1 = 1, donc d'après le théorème de Bézout, les entiers n et n + 1 sont premiers entre eux. On a donc PGCD(n ; n+1) = 1 = (n + 1) - n.Comment démontrer que deux nombres sont premiers entre eux ?
On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leurs seuls diviseurs communs sont 1 et ?1. Autrement dit, a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD(a;b)=1.Comment savoir si deux polynômes sont premiers entre eux ?
On dit que deux polynômes non tous deux nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.- Pour démontrer qu'un nombre n n'est pas premier, on lui trouve un diviseur autre que 1 et lui-même (voir cet exercice). Pour déterminer tous les diviseurs d'un entier n , on peut écrire le développement en produit de facteurs premiers de n .
CORRECTION Exercice 3 spécialité