Nous abordons dans ce chapitre les probl`emes de trigonalisation et diagonalisation des ma-trices Nous montrons que toute matrice a coefficients complexes est trigonalisable, c’est-` a-dire` semblable `a une matrice triangulaire sup erieure On pr´ esente quelques cons´ ´equences th ´eoriques importantes de ce r´esultat
Trigonalisation d’une matrice 3x3 On note Soit la matrice : 1) Déterminer le polynôme caractéristique de et en déduire qu’il est scindé avec une racine simple donc que est trigonalisable dans 2) En déduire une matrice nilpotente telle que
Diagonalisation, trigonalisation Diagonalisation de matrices • le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres de la matrice et en déterminer des bases • sauf théorème préliminaire (polynôme annulateur scindé à racines simples, matrice symétrique
3 1 Crit ere de trigonalisation des matrices carr ees r eeles Si toute matrice carr ee complexe est trigonalisable, ceci n’est pas vrai pour les matrices r eelles Ceci signi e qu’il n’existe pas toujours une matrice triangulaire r eelle semblable a la matrice r eele donn ee, la matrice de passage devant ^etre aussi r eelle
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s’écrit A =PMP−1, ou bien P−1AP =M , avec P une matrice inversible Exemple A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plus
2) Une matrice est toujours trigonalisable dans 3) Comme , le polynôme caractéristique de est scindé dans de sorte que est trigonalisable dans et qu’elle est aussi déomposale en lo s de Jordan dans e même espae 4) Trigonalisation
Created Date: 8/15/2016 11:06:21 AM
teurs propres est de dimension 1 donc il n’existe pas de base de vecteur propres La matrice n’est donc pas diagonalisable (ii)Première étape : valeurs propres Le polynôme caractéristique de M 2 est det(M 2 I) = 6 8 4 6 = (6 )(6 ) + 32 = 36 + 2 + 32 = 2 4 = ( 2)( + 2): Les deux valeurs propres de M 2 sont donc 1 = 2 et 2 = 2
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Trigonalisation d une matrice 3x3 - laurentgry-sciencesfr
Trigonalisation d’une matrice 3x3 On note Soit la matrice : 1) Déterminer le polynôme caractéristique de et en déduire qu’il est scindé avec une racine simple donc que est trigonalisable dans 2) En déduire une matrice nilpotente telle que
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Fiche technique 5 - Diagonalisation, trigonalisation
• Si la matrice est considérée comme matrice complexe, elle est donc toujours trigonalisable •, on verra les différentes situations pouvant se présenter pour une matrice 3 ×3 Dans les exemples ci-dessous, on continuera à noter A la matrice étudiée et u l’endomorphismeTaille du fichier : 79KB
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Trigonalisation et diagonalisation des matrices
7 1 4 Theor´ eme (Th` eor´ `eme de trigonalisation) — Une matrice A de M n(K) est trigonalisable dans M n(K) si, et seulement si, son polynome caractˆ eristique´ p A est scinde´ sur K Preuve La condition est n´ecessaire Si A est une matrice trigonalisable, par d´efinition, elle est semblable a une matrice triangulaire sup` erieure :´ t = 2 6 6 6 4 1Taille du fichier : 298KB
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L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II
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U C B L Licence Sciences, Technologies, Santé
1 Trigonalisation des matrices 1 2 Diagonalisation des matrices 9 3 Une obstruction au caractère diagonalisable 12 4 Caractérisation des matrices diagonalisables 15 5 Matrices diagonalisables : premières applications
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Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc §1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition, multiplication, puissance, polynôme déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre, rang, résolution d’un système etc Taille du fichier : 479KB
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CORRECTION DU TD 3 - TSE
2) Une matrice est toujours trigonalisable dans 3) Comme , le polynôme caractéristique de de sorte que est scindé dans est trigonalisable dans et qu’elle est aussi déomposale en lo s de Jordan dans e même espae 4) Trigonalisation
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Sujets de l’année 2006-2007 1 Devoir à la maison
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Cours Diagonalisation
Une matrice A ´etant diagonalis´ee A = P ·D ·P¨−1, les relations l’utilisant se transforment Et la relation obtenue est plus facile a r´esoudre du fait des coefficients nuls dans D Exemples : Transformer A·M = M ·A par le changement de matrice N = P−1 ·M ·P Transformer l’´equation A·M = M par le changement de matrice M = P ·N Taille du fichier : 76KB
Trigonalisation des matrices carrées 1 Matrices trigonalisables 1 1 Matrices triangulaires Définition 1 Soit T ∈ Mn(K) une matrice carrée `a coefficients dans
L Maths ch
Diagonalisation, trigonalisation Diagonalisation de matrices • le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres
fiche technique diagonalisation trigonalisation
4) Trigonalisation Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, nous commençons par calculer les
correction du td
matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donnée On suppose que
jordan
Une matrice A est trigonalisable si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont réelles Pratique de la trigonalisation Soit A ∈ Mn(R) une matrice de
Coursdiagonalisation
Trigonalisation d'une matrice 3x3 On note de matrice dans la base canonique de est triangulaire supérieure et déterminer la matrice de passage de la base
exotrigonal
2 4 Crit`eres de diagonalisation 2 5 Méthode de diagonalisation – Exemples 3 Trigonalisation 3 1 Matrices triangulaires – endomorphismes trigonalisables
Poly
Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1 3 Donner en le justifiant, mais sans
fic
endomorphismes suivants: écrire sa matrice A dans la base B, déterminer ses e) f5(x1e1 + x2e2 + x3e3) = −(4x1 + 2x3)e1 + x2e2 + (5x1 + x2 + 3x3)e3
L algbilin td diago
Diagonalisation trigonalisation. Diagonalisation de matrices. • Le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces
Trigonalisation des matrices carrées. 1. Matrices trigonalisables Par exemple toute matrice diagonale est triangulaire supérieure. Définition 2.
calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des syst`emes différentiels §1 Trigonalisation des matrices. 7.1.1. Définition.
Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure il suffit de compléter la famille.
Note that if you chose different eigenvectors your matrices will be different. The middle matrix should have entries 3
addition of these matrices multiplication of complex numbers is multiplica- tion of these matrices (!)
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/jordan.pdf
Consider the multiplication of the two “arrow matrices” A with a vector x implemented as a function arrowmatvec(d
Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP?1. 3. Donner en le justifiant mais sans
addition of these matrices multiplication of complex numbers is multiplica- tion of these matrices (!)
Math - The University of Utah
• La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice • Si la matrice est considérée comme matrice complexe elle est donc toujours trigonalisable
Triangularisation jordanisation exponentielle de matrices 1 Triangularisation Triangularisation jordanisation exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ? un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´ee
Trigonalisation Exercice 1[ 00816 ][correction] Montrer qu’une matrice triangulaire inférieure est trigonalisable Exercice 2[ 00817 ][correction] SoitA? Mn(K) On suppose?Ascindé a) Justi?er queAest trigonalisable b) Etablir que pour toutk? N Sp(Ak) = ?k/?? Sp(A) Exercice 3[ 00818 ][correction] SoitA? Mn(Z) de polynôme caractéristique Yn i=1
Matrix inversion of a3×3matrix sigma-matrices11-2009-1 The adjoint and inverse of a matrix In this lea?et we consider how to ?nd the inverse of a3×3matrix Before you work through this lea?etyou will need to know how to ?nd thedeterminantandcofactorsof a3×3matrix
Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales 2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres vecteurs propres etc §1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples? Addition multiplication puissance polynôme
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation