ParitØ d’une fonction Centre et axe de symØtrie d’une courbe On considŁre une fonction f dØfinie sur Df Fonction paire On dit que la fonction f est paire si l’ensemble Df est centrØ en 0 (c’est-à-dire que si x Df, alors Œ x Df) et si pour tout x de Df, f(Œ x) = f(x)
©pa2011 3205nh53 Centre de symétrie doc/1111 Centre de symétrie de la courbe représentative d’une fonction Cf admet le point Ω(a, b) comme centre de symétrie si et seulement si quel que soit le point M de coordonnées (x, y) appartenant à C f, son symétrique M’ par rapport à Ω est encore un point de C f
Un point d’inflexion d’une courbe Cf change de concavité en ce point Si f s’annule en changeant de signe Alors la courbe Cf admet un point d’inflexion d’abscisse Si f s’annule sans changer de signe Alors la courbe Cf admet un point d’inflexion d’abscisse : 0628481487-Centre de symétrie-Point d’inflexion: x a est un axe de
Centre de symétrie d’une courbe Théorème o I A B f(a-h) f(a+h) b a-h a a+h Soit C la courbe représentative d’une fonction f définie sur un ensemble D I (a, b) est le centre de symétrie de C ssi : Pour tout h tel que a+h ∈ D , 1 a-h ∈ D 2 f(a-h) + f(a+h) 2 = b Exemple
II) ELEMENTS DE SYMETRIE Soit f une fonction définie sur un ensemble D et (C f)sa courbe représentative dans un repère orthonormé Oi j;; Centre de symétrie Le point A(a ;b)est centre de symétrie de la courbe (C f)si pour tout x D , alors (2a x) D et f(2a x) f(x) 2b Axe de symétrie
symétrie a la courbe 2)Si une fonction est impaire alors Le point O 0;0 est un centre symétrie la courbe VI)Etude d’asymptotes et de branches infinies L´étude des branches infinies a pour objectif de comprendre en détails le comportement de la courbe de la fonction La premièrechose à faire est de calculer les limites aux bornes du
Centre de symétrie 1)Sur votre calculatrice tracer la fonction f définie par f(x) = 2x 1 x + 1 2)Le graphique permet de conjecturer un centre de symétrie Quelles sont ses coordon-nées? 3)Démontrer cette conjecture Exercice 3 : Axe de symétrie 1)Sur votre calculatrice tracer la fonction f définie par f(x) = 4 x2 4x
Une fonction numérique f d’ensemble de définition D f est dite impaire si, et seulement si ∀x ε Df, (–x) ε Df; f (–x) = – f (x) L’origine du repère est centre de symétrie pour la courbe (C f) de f dans un repère cartésien 3 Axe de symétrie d’une représentation graphique :
de la fonction cube est en-dessous de ses tangentes : la fonction cube est concave sur R Sur R+, la courbe représentative de la fonction cube est au-dessus de ses tangentes : la fonction cube est convexe sur R+ La fonction cube change de convexité au point d'abscisse 0 On dit que c'est un point d'in- exion
Fonction impaire : Soit f une fonction définie sur ℝ La fonction f est dite impaire ssi ∀x∈ℝ,f(−x)=−f(x) Conséquence graphique : L’origine du repère est un centre de symétrie pour la courbe représentative de la fonction f II 2 Fonction périodique
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ParitØ d’une fonction Centre et axe de symØtrie d’une courbe
Centre de symØtrie Si la fonction f vØrifie: pour tout x de Df tel que a Œ x et a + x Df, f( a Œ x) + f(a + x) = 2b, alors le point de coordonnØes (a; b) est un centre de symØtrie de la courbe reprØsentative de f Exemple: f(x) = 2 x 1 x 3 Son ensemble de dØfinition est \{3}; de plus la fonction f
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Centre de symétrie de la courbe représentative d’une fonction
Centre de symétrie de la courbe représentative d’une fonction Cf admet le point Ω(a, b) comme centre de symétrie si et seulement si quel que soit le point M de coordonnées (x, y) appartenant à C f, son symétrique M’ par rapport à Ω est encore un point de C f Il est commode de noter a − h l’abscisse de M, h représentant la différence d’abscisses entre Ω et M
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Niveau: première Fiche méthode : centre de symétrie
Niveau: première Fiche méthode : centre de symétrie F Demoulin Exemple Soit f la fonction définie sur R−{1} par f (x) = x2 −4 2(x−1) Montrer que le point A(1;1) est centre desymétrie deCf Oncommencepar vérifierque(2−x)∈Df f estdéfinie surR−{1} Si x ∈Df,alors x =1, d’où2−x =1, soit (2−x)∈Df Onmontre ensuite que f (x)+f (2−x)=2
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Centre de symétrie d’une courbe Théorème
I (a, b) est le centre de symétrie de C ssi : Pour tout h tel que a+h ∈ D , 1 a-h ∈ D 2 f(a-h) + f(a+h) 2 = b Exemple Soit C la courbe représentant la fonction f définie sur IR –{2} par f(x) = x²-x x-2 dans un repère (O; i;→ j)→ Montrons que le point I (2 ; 3) est centre de symétrie de
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Axe de symétrie-Centre de symétrie-Point d’inflexion
Concavité et point d’inflexion d’une courbe Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe représentative sur cet intervalle, est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes Si x I f x 0 Alors la courbe Cf est convexe sur l’intervalle Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe représentative sur cet intervalle, est entièrement située au-dessous
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DM3 : représentation graphique d’une suite ; centre de
DM3 : représentation graphique d’une suite ; centre de symétrie Exercice 1 Première partie Soit (Oi j;,) GG un repère du plan Soit la fonction f définie par 1 3 x fx x + = − et soit (H) la courbe représentant la fonction f dans ce repère Prouver que le point I(3; 1)− est centre de symétrie de la courbe (H) Deuxième partie On admet qu'on définit une suite u en prenant u0 =0
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ETUDE DES FONCTIONS - AlloSchool
Le point Ω( , ) est un centre de symétrie de la courbe ???? si et seulement si : a) (∀???? ∈ ????)(2 − ???? ∈ ????) b) (∀???? ∈ ????)(????(2 − ????) = 2 − ????(????)) Remarques : 1)Si une fonction est paire alors l’axe (Oy) Est un axe symétrie a la courbe 2)Si une fonction est impaire alors Le point O 0;0 est un centre symétrie la courbe
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Exercices
Centre de symétrie 1)Sur votre calculatrice tracer la fonction f définie par f(x) = 2x 1 x + 1 2)Le graphique permet de conjecturer un centre de symétrie Quelles sont ses coordon- nées? 3)Démontrer cette conjecture Exercice 3 : Axe de symétrie 1)Sur votre calculatrice tracer la fonction f définie par f(x) = 4 x2 4x 2)Le graphique permet de conjecturer un axe de symétrie Quel est
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Dans ce cas, la courbe représentative de la fonction f admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie Exemple: f(x) = x² – 3 Son ensemble de définition est
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