à u et u colinéaire à v ; dans le second u est nul donc colinéaire à v Définition 2 Si u et v sont deux vecteurs avec u non nul, alors les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que v = ku On dit alors que : le vecteur v est colinéaire au vecteur u »
1) Définition Deux vecteurs non nuls, , & et , & sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel Å non nul tel que , & = , & Exemple : Remarque : • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction • Le vecteur nul 0 , & est colinéaire à tous les vecteurs Exemples :
a Définition : Soit D une droite du plan P qui est rapporté au repère A et B sont deux points de P Tout vecteur non nul u est colinéaire avec le vecteur AB est appelé vecteur directeur de la droite La droite est appelée la droite passant par A ( ou B ) a pour vecteur directeur u La droite est notée par :
) , qui est bien colinéaire à ⃗u(−b;a) 4) Droites parallèles et équation cartésienne Deux droites d’équations a x + b y + c = 0 et a’ x + b’ y + c’ = 0 sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c’est à dire lorsque : a b’ - a’ b = 0 C) Décomposition d’un vecteur 1) Définition
est colinéaire à R 1 et si Q⃗ 2 est colinéaire à R 2, alors les plans P et Q sont parallèles Définition Les vecteurs ⃗ , ⃗ et ⃗⃗⃗ sont coplanaires si et seulement si ∃( ; )∈ℝ Û ⃗⃗⃗ = ⃗ + ⃗ De même :
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Le vecteur est colinéaire au vecteur → W → V Si le vecteur a pour composantes (a, b, c) tel que : ; le vecteur s’écrirait : → V → → → → = + + V a e a e a e 1 1 2 2 3 3 → W 1 1 2 2 3 3 → → → → = + + λ λ λ W a e a e a e La multiplication d’un vecteur par un scalaire vérifie les propriétés suivantes :
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déterminer un vecteur unitaire colinéaire à un vecteur donné déterminer si un vecteur est ou pas combinaison linéaire de vecteurs donnés; si oui, déterminer cette combinaison linéaire voir la fiche résumé de 1re sur les systèmes 3x3 : http://edugemath ch/1re/ch5-degres-0-1/ma1-
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Montrer que, pour tout n e N, le polynôme Hn est colinéaire au polynôme Qn introduit à la question 2 (pour la structure d'espace vectoriel de R[XI) Établir, pour tout n G N* , l'existence d'un nombre réel an tel que H'n(x) = pour tout réel x On précisera la valeur de an
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c La vitesse limite, par définition, est une vitesse constante : vcte a F o o 00¦ 1 2 2 33 221 2 0 1002 10 2 14 10 0 38 WA v eau sphère eau x FFFF Mg V g C Av gg Rv UU S ¦ A est la section de la sphère De là on peut calculer la valeur de la vitesse limite v: 33221 2 3 2 1 32 2 (1002 10 2 14) 10 0 38 (10 2 14 1002) 10 0 38 3 14 0 8 gRv g v S
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