Soit Kun compact d’un espace m etrique E Alors toute fonction f: KR est born ee et atteint ses bornes Proposition Soit f: EF une fonction Alors : 1 l’image r eciproque par fd’un ouvert de F est un ouvert de E; 2 l’image r eciproque par fd’un ferm e de F est un ferm e de E; 3 l’image directe par fd’un compact de Eest un
1 Montrer que si Aest compact et B ferm´e dans E alors A+B est ferm´e dans E 2 Montrer que si Aet B sont compactes alors A+B l’est aussi 3 Soient A= R×{0}et B = {(x,y ) ∈R2 xy = 1 } Montrer que A et B sont des ferm´es de R2 mais que A+B n’en est pas un Exercice 12 Soit ( E, k k) un espace vectoriel norm´e et X⊂E une partie
1 4Topologie: ouvert,fermé,compact Chapitre1 3) OnditqueFestunfermé deRn siC RnFestouvert 4) On dit que U est borné, s’il existe une boule qui contient tout les élémentsdeU,c’est-à-dire
• Normalement Ouvert et Normalement Fermé selon modèles SMART-T – MOTEUR THERMIQUE LINEAIRE COMPACT FR0P-0267-0506R1-FR03 2 REFERENCES Table 1 Moteurs
F fermé,F⊃A F Proposition 7 Soit Aune partie d’un espace topologique a) Aest un ouvert contenu dans A b) Si Uest un ouvert et U⊂ A, alors U⊂ A Autrement dit, Aest le plus grand ouvert contenu dans A a’) Aest un fermé contenant A b’) Si F est un fermé et F⊃ A, alors F⊃ A Autrement dit, Aest le plus petit fermé
Or tout ouvert non vide contient un ensemble de la forme aZ + b, qui est en bijection avecZ etdoncinfini Exercice3 Vraisoufaux? (a)Unespacetopologiqueestdiscret(i e chaqueU⊆Xestouvert)sietseulementsichaque singleton{x}⊆Xestouvert (b)PourunespacetopologiquefiniX,sitoutsingleton{x}⊆Xestfermé(i e X\{x}⊆X
ouvert) contenant x et qui soit contenu dans Non, et e d’une manière forte En effet, pour tout x € , il suffit de considérer la boule ]x-r ; x+r[ intersecte Par conséquent, n’est pas ouvert Plus préisément, = intérieur de ≠ Ø Fermé ? est-il ouvert ? On fixe x il y a 2 cas : (1) x < 0 On peut prendre comme boule
D e nition 1 1 2 Soit Eun espace vectoriel sur K = R ou C Une norme sur Eest une application jj:jj: ER+ v eri ant les propri et es suivante : (1) jjxjj= 0 si et seulement si x= 0
1 Ouvert, fermé, compact 1 1 Espace 1 2 Ouverts, fermés Définition Pour tout On appelle boule fermée de centre x0 et de rayon r l'ensemble ¯ B(x0,r) = {x
Cours
Un recouvrement ouvert d'une partie A de X est une famille (Vj)j∈J d'ouverts dont la Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée
ch compacite
4 1 2 Recouvrement d'ouverts, intersections de fermés 35 3 4 1 3 Quelques propriétés des compacts et caractérisations des compacts
TopoL
Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses suites ont Définition 3 3 1 On appelle recouvrement ouvert de A toute collection d'ou-
M Chap
On appelle B(a, r) = {x ∈ Rn / x − a < r} la boule ouverte de centre a et de X ⊂ Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel
VAR Cours et
Preuve Supposons que f est continue sur X et donnons-nous un ouvert U de Y Soit x ∈ f −1(U) Si X est compact et Y ⊂ X est fermé, alors Y est compact
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1 3 Ensembles ouverts et ensembles fermés 10 3 1 Définition avec les ouverts et les fermés 3 2 1 Image directe d'un compact
topo copie
10 mar 2008 · Vous pouvez vérifier que chacun de ces trois ensembles est ouvert en utilisant des N'étant pas fermé A n'est pas compact non plus Notons
corrige
ce qui est fermé car par (T3) ⋃i∈I Ui est ouvert 1 2 Espaces normés Un espace topologique X est compact si tout recouvrement ouvert de X admet un sous-
poly
1 6 Ouvert, fermé et voisinage fines que celle d'intervalles ouvert, fermé, semi- ouvert k vit dans l'intervalle I1, dont on sait qu'il est compact d'apres le
coursTopo
Par conséquent f ?1(U) est un ouvert de X. Inversement
un fermé puis un compact. Exercice 3 : Exemples d'ouverts et de fermés. Parmi les ensembles suivants
Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses Définition 3.3.1 On appelle recouvrement ouvert de A toute collection d'ou-.
non vide et que tout ouvert ? qui contient K contient tous les Kn à partir d'un 1. Montrer que si A est compact et B est fermé alors A+B est fermé.
2 oct. 2015 et donc SX(0 1) est un ouvert non vide de X (en particulier il n'est ... On sait déjà que tout compact est fermé et borné (dans un espace ...
On appelle norme de x (ou longueur) x = ?x x?1/2 et la distance entre deux vecteurs d(x
Un recouvrement ouvert d'une partie A de X est une famille (Vj)j?J d'ouverts dont la Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée.
Les ensembles A B sont-ils ouverts? fermés? compacts? Déterminer leur intérieur
Un ensemble F ? X est fermé si son complémentaire. Fc est ouvert c.-à.-d. si Fc ? T . Exemple 9. ? et X sont à la fois ouverts et fermés. Proposition
Cours 2 : continuité et compacité