un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la Exemples a) La formule de Taylor-Young pour la fonction sin(x) `a l'ordre 2n +
MHT chap
on aimerait bien la remplacer par une fonction plus simple, par exemple une fonction polynômiale La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes 1 LA REGLE DE L' f(a + h) = polynôme en h de degré n + reste
Taylor
Première preuve Preuve de 1) On fait une récurrence sur k Soit Hk la propriété : pour tout polynôme P, P(k)(0) = kak, où ak est le coefficient de degré k de P
Formule Taylor
L'approximation de Taylor d'ordre 2, ou polynôme de Taylor d'ordre 2 Exemple Exemple Le polynôme de Taylor `a l'ordre 3 de x ↦→ x4 en 1 est x ↦→ 1 + 4(x − 1) Ecrivez la même formule avec n := 4, et sans les points de suspension
taylorn
n est le polynôme de degré n qui approche le mieux f (x) autour Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste intégral qui donne Exemple 2
ch dl
Les formules de Taylor permettent d'approcher des fonctions transcendantes par des polynômes Elles permettent d'approcher des irrationnels par des rationnels ( exemple e) Théorème : formule de Taylor pour les polynômes P(X)=∑ k=0
Formules de Taylor
1 Formule de Taylor avec reste intégral Montrer qu'une fonction de classe C∞ sur IR est une fonction polynôme si, Penser par exemple `a la fonction
formulesdetaylor
Exemple 6 Déterminer le polynôme de Taylor d'ordre 3 au voisinage de a = 0 associé à f(x) = sinx Solution : D'après la formule de Taylor on a : P(x) = f(0) + f'(0 )
chap
Taylor-Lagrange est nul On retrouve ainsi la formule de Taylor pour les polynômes Exercice VI 4 Ch6-Exercice4 Montrer que la formule de Mac-Laurin est une
MT ch cor