Correction : conjugué d’un nombre complexe www bossetesmaths com Exercice 1 •−i =i; •2+i =2−i; •3−2i=3+2i; • µ i 2 ¶ =− i 2; •−3−i =−3+i;
Conjugué, module et argument Les nombres complexes (partie 2) I Conjugué d'un nombre complexe : 1 Définition du conjugué : Définition : Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x+iy (x, y réels)
√−1étant un nombre imaginaire, Euler nota ce nombre i et i2=−1 2 Écriture algébrique d'un nombre complexe 2 1 Ensemble des nombres complexes On nomme nombre complexe tout nombrez s'écrivant de la formez=a+bi avec a et b réels L'ensemble des nombres complexes se note C 2 2 Remarque ℝ ⊂ C Tout nombre réel est un nombre complexe
Forme algébrique d'un nombre complexe 11 Égalité de deux complexes 13 Calculer avec les complexes 13 Représentation des nombres complexes 14 Inverse d'un nombre complexe 14 Conjugué d'un complexe 15 Calculer avec les complexes 15 Pourquoi inventer de nouveaux nombres ? Pourquoi vouloir écrire les solutions de l'équation ?
Notation algébrique d’un nombre complexe, partie réelle et partie imaginaire Conjugué d’un nombre complexe On donnera l’interprétation géométrique d’un nombre complexe Notation exponentielle Module, argument Formules d’Euler et de Moivre Brève révision de la trigonométrie Formules donnant cos(a+ b) et sin(a+ b)
Inverse d’un complexe non nul Pour tous réels a et b tels que a+ib ≠ 0, 1 a+ib = a−ib a2+b2 On obtient l’inverse d’un nombre complexe non nul a+ib (où a et b sont des réels) en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction 1 a+ib par a−ib qui est le conjugué du dénominateur Conjugué Soit z ∈ C
• Affixe d’un nombre complexe • Écriture algébrique d’un nombre complexe • Nombre complexe conjugué • Écriture géométrique d’un nombre complexe • Écriture trigonométrique d’un nombre complexe • Argument d’un nombre complexe • Module d’un nombre complexe • Partie imaginaire d’un nombre complexe • Partie
• Affixe d’un nombre complexe • Écriture algébrique d’un nombre complexe • Nombre complexe conjugué • Écriture géométrique d’un nombre complexe • Écriture trigonométrique d’un nombre complexe • Argument d’un nombre complexe • Module d’un nombre complexe • Partie imaginaire d’un nombre complexe
1 1 Dé nition d'un nombre complexe De nition 1 Il existe un nombre i tel que i2 = 1 Un nombre complexe z est un nombre de la forme z = a+ ib avec a 2R et b 2R L'ensemble des nombres complexes est noté C On ne note pas p 1 pour éviter les confusions Sinon, on pourrait être tenté d'écrire par exemple : (p 1)2 = 2 = 1 La partie imaginaire
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NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire, ce qui revient à changer j en -j Sous forme polaire, on change simplement θ en -θ 5 Propriétés importantes a) Soit z un nombre complexe et soit z' son conjugué Alors, z est le conjugué de z' (z)=z
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NOMBRES COMPLEXES - pagesperso-orangefr
def : Soit z un complexe de forme algébrique z=a+bi ; le conjugué de z, noté z/, est le complexe z/ : = a-bi Propriété : le produit z*z : = (a+bi)*(a-bi) = a²+b² est la somme de deux carrés, donc strictement positif Division : pour écrire un quotient sous forme algébrique, on utilise le conjugué
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Nombres complexes
B 2 Conjugué d’un nombre complexe Définition : Pour tout nombre complexe z de la forme a + ib , le conjugué de z est le nombre complexe a – ib noté z Exemples: Le conjugué de z 1 = 5 + 2i est z 1 = 5 – 2i Le conjugué de z 2 = – 4 – 3i est z 2 = – 4 + 3i
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NOMBRES COMPLEXES (Partie 1) - Maths & tiques
II Conjugué d'un nombre complexe Définition : Soit un nombre complexe z=a+ib On appelle nombre complexe conjugué de z, le nombre, noté z, égal à a−ib Exemples : - z=4+5i et z=4−5i - On peut également noter : 7−3i=7+3i; i=−i; 5=5 Remarque : Les points d'affixes z et z sont symétriques par rapport à l'axe des réels Taille du fichier : 2MB
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Les nombres complexes - Logamathsfr
Forme algébrique, conjugué Somme, produit, quotient Équation du second degré à coefficients réels Représentation géométrique Affixe d’un point, d’un vecteur • Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes • Résoudre dans C une équation du second degré à coefficients réels • Représenter un nombre complexe par un point ou un vecteur
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LES NOMBRES COMPLEXES Extrait du programme officiel
nombre complexe Conjugué d’un nombre complexe Somme, produit, quotient de nombres complexes Module et argument d’un nombre complexe : module et argument d’un produit, d’un quotient Écri- ture eiµ ˘ cosµ ¯isinµ Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels Interpré-tation géométrique de z 7z0 avec z0 ˘z ¯b ou z0¡w ˘k(z ¡w) avec k réel
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Utilisation pratique des Nombres Complexes
12- Nombre complexe conjugué: Z* désigne le conjugué du nombre complexe Z Par définition : Z* x yj Z x yj =− =+ x désigne la partie réelle du nombre complexe Z y désigne la partie imaginaire du nombre complexe Z 2 – 3j est le conjugué de 2 + 3j j est le conjugué de –j 5 est le conjugué de 5 Propriétés : arg( )Z* arg()Z Z Z* Z x y Z Z* x y
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Nombres complexes, cours, Terminale, maths expertes
4 Conjugué d'un nombre complexe Dé nition : Pour tout nombre complexe z de forme algébrique z = a + ib avec a et b réels, on appelle onjuguéc de z le nombre noté z et dé ni par z = a ib Remarque : Dans le plan complexe muni d'un repère (O;~u;~v), si M est le point d'a xe z, le
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1 Introduction et définition - Free
Le nombre complexe a−ibs’appelle le conjugué de a+ibet se note z¯ On a donc z¯ = a−ib Exemple : z= 3 − i 2 donc z¯ = 3 + i 2 Utilisation du conjugué pour un quotient : Mettre le nombre complexe z4 = 5i 1+i sous la forme algébrique Pour cela, on utilise le conjugué de 1 +i z4 = 5i 1 +i = 5i(1 −i) (1 +i)(1 −i) donc z4 = 5i−5i2 1 −i2
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RAPPELS SUR LES ENSEMBLES DE NOMBRES
On appelle conjugué du nombre complexe z = x+ i y le nombre complexe qu’on note z x iy Les points M et N d’affixes respectives z et sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses (axe des cosinus) OPERATIONS SUR LES ENSEMBLES DE NOMBRES Somme de 2 nombre complexes Soient Z1 = x1 + i y1 et Z2 = x2 + i y2 deux nombres complexes Le nombre complexe z = z1 + z2 = x1 + i y1 + x2 +
Nombre complexe conjugué, nombre réel et imaginaire pur Evaluer la mesure d'un angle à l'aide d'un quotient de nombres complexes », fiche exercices n°6
cours maths S
Quotient de deux nombres complexes 4 Conclusions Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire, ce qui
chapcomplexes
Pour tout nombre complexe z, z est imaginaire pur si et seulement si z = −z Propriétés de calculs « Le conjugué marche bien avec tout » : Pour tous nombres
ComplexesAlgebrique
Le quotient de z' par z est défini par z' z = z' x II) Conjugué d' un nombre complexe : Le conjugué de z est le nombre complexe de forme algébrique a – bi
complexes
z 2 Cette formule est très pratique pour mettre un quotient de nombres complexes sous forme algébrique : il s'agit alors de multiplier le numérateur et
FicheNbresComplexes
2 2 2 - Inverse et quotient de deux nombres complexes Si deux nombres complexes z et z′ sont conjugués, alors leurs points images respectifs M et M′
complex
z z.. =. . Pour le quotient il vient alors que pour tous nombres complexes z et z'
2.4 Cas d'un produit ou d'un quotient . 4 Applications géométriques des nombres complexes ... Module et argument de l'opposé et du conjugué .
Quotient de deux nombres complexes. 4. Conclusions générales Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie.
Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe. 3) Inverse quotient a) Définition : Conjugué d'un nombre complexe. Soit le nombre complexe.
nombre complexe les propriétés de somme
Le quotient de z' par z est défini par II) Conjugué d' un nombre complexe : ... Le conjugué de z est le nombre complexe de forme algébrique a – bi.
On a un quotient de nombres complexes dont on vaut la forme algébrique : on multiplie par le conjugué du dénominateur. 2. Mettre sous forme algébrique z
http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc14/vtsargumentmodule.pdf
Chapitre 7 Nombres complexes. II Conjugué inverse et quotient d'un nombre complexe. 2.1 Conjugué d'un nombre complexe. Exemple Le conjugué du nombre
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi que nous noterons z
Propriété : le conjugué de l'inverse est égal à l'inverse du conjugué Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués 1 1 z z
Pour diviser le complexe z1 par le complexe z2 on multiplie chacun d'eux par le conjugué de z2 et on écrit le quotient sous la forme a+ bi
I Module et argument d'un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib On appelle module de z le nombre réel positif
Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire ce qui revient à changer j en -j Sous forme polaire on change
L'équation admet donc deux solutions complexes conjugués : z1 = ?b ?i ? 2a et z2 = z1 = ?b +i ? 2a VI Module et argument d'un nombre complexe
Nombre complexe conjugué nombre réel et imaginaire pur Evaluer la mesure d'un angle à l'aide d'un quotient de nombres complexes » fiche exercices n°6
Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants ainsi que de leur conjugués 1 = 1 + (1 + ?2); 2 = ?10 + 2?5 + (
Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur Il est
deux complexes Alors • Module du conjugué : • Module d'un produit : • Module d'un quotient : • Inégalité triangulaire : Complément : Démonstration
Pour calculer le quotient de deux nombres complexes on multiplie son numérateur et son déno- minateur par le conjugué de son dénominateur (On utilise pour le
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Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON