P{X ⩾ a} ⩽ 1 a E(X) ∀a > 0 Inégalité de Jensen On rappelle qu'une fonction ϕ : R → R est convexe si ϕ(tx + (1 −
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autrement dit on peut indifféremment se servir d'une inégalité stricte ou large dans la probabilité P(Xn − X > ε) pour caractériser la convergence en probabilité
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2 4 3 Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev 48 3 déterminer la probabilité d'un év`enement revient `a calculer son cardinal : on
LM Poly
Variables aléatoires, Inégalités et Lois de K Question: Comment calculer la probabilité de gagner 1€? K On appellera loi de X la donnée de la probabilité
L cours
Probabilité conditionnelle, indépendance Variable aléatoire ▻ Loi d'une v a , espérance, variance shortname (shortinst) L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
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Probabilité= fonction permettant de « mesurer » la chance de réalisation d'un évènement de P(Ω) Inégalité de markov ➢ Inégalité de Bienaymé Tchebychev
cours
Map 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire PC 4 - Année 2015 Lucas Gerin Inégalités, Vecteurs aléatoires EXERCICE 1 -Inégalité de
PC Inegalites VecteursAleatoires
Inégalité de concentration pour Su N,Cl 13 Références 14 1 Introduction Partons d'un des résultats les plus connus de la théorie des probabilités LA LOI
Redice
Variables aléatoires Inégalités et. Lois de probabilité. Massih-Reza Amini. Université Grenoble Alpes (UGA). Laboratoire d'Informatique de Grenoble (LIG)
Inégalités en analyse et en probabilités – Leçon 244. Rappels de théorie. Inégalité de Cauchy–Schwarz. Soit E un espace vectoriel sur K o`u K désigne soit
Correction Exercices Chapitre 13 - Convergences et approximations en probabilité. 13.1 En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev montrer que pour
TD 3 - Inégalité de Bienaymé-Tchebichev - Convergence en probabilité. Corrigés. Rappels : • Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire
Utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. ? Cadre trois : on doit minorer P(a<X<b) : Calculer E(X).
Probabilité de . Valeur de . Probabilité Et on a ainsi la loi de probabilité de : ... Méthode : Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
voit ainsi interagir inégalités fonctionnelles théorie des semigroupes
Soit µ une loi de probabilité sur ?. On suppose que µ(?) > 0 pour tout ? ? ?. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans ? et de loi µ.
Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev loi des grands nombres l'inégalité de Markov
Les inégalités sur des probabilités sont d'usage constant; elles permettent L'inégalité de Markov n'a bien entendu d'intérêt que si X est intégrable et.
I Convergence en probabilité 170 A Inégalité de Markov 170 B Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 171 C Inégalité de Jensen 171 D Convergence en probabilité 172 E Loi des grands nombres 175 II Convergence en loi 177 A Définition 177 B Lien avec la convergence en probabilité 177 C Propriété 177 D Théorème de Slutsky 178
Remarque 10 5 – Souvent on reconnaît qu’il faut se servir de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev grâce aux valeurs absolues présentes dans la probabilité 3 –Loi faible des grands nombres Théorème 10 6 – Loi faible des grands nombres Soit (Xn)n2N? une suite de variables aléatoires indépendantes ayant chacune la même
de probabilité P 2 1 Inégalité de Markov Si X est une variable aléatoire à valeurs positives et soit a un réel strictement positif alors : P ¡ X >a ¢ 6 E(X) a Interprétation : La probabilité que X prenne des valeurs plus grandes que a est d’autant plus petite que a est grand Propriété 1 Inégalité de Markov
mesure de probabilité µ 9 1 1 Inégalité de Poincaré Dé?nition 9 1 1 Nous dirons que µ véri?e une inégalité de Poincaré de constante C P > 0 pour une famille de fonction A P si pour toute fonction f œ A P Var µ(f) Æ C P ? Rn Òf2dµ où Var µ(f)= s Rn f 2dµ?!s Rn fdµ " 2 Dans l’équation précédente la
D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebytchev 2 01 X105 05 P soit P X 1 05 04 La probabilité qu’une personne présente un taux critique est inférieure ou égale à 04 Exercice : Déterminer à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev le minorant que le nombre de piles soit compris
n de réalisation de l’événement A au cours des n premières expériences converge en probabilité vers p = P(A) (la convergence est même presque sûre d’après la loi forte) Ainsi la fréquence statistique de réalisation d’un événement tend vers la probabilité de cet événement
Quels sont les inégalités classiques en théorie des probabilités ?
I –Inégalités classiques en théorie des probabilités 1 –IInégalité de Markov Proposition 10.1 – Inégalité de Markov SoitXune variable aléatoirepositive(discrète ou à densité) admettant une espérance. Alors pour tout réelastrictement positif, on a P(X>a)6 E(X)
Quel est le membre de droite de l’inégalité ?
Cettenouvelle quantité, provenant de la théorie de l’information, n’est qu’une nouvelle formulation del’energie de Dirichlet d’une fonction après avoir procédé à un changement de variable (en remplaçant parÔf) dans une inégalité de Sobolev logarithmique. Ce faisant, le membre de droite de l’inégalité
Quels sont les conséquences de l’inégalité de Sobolev logarithmique ?
Nous allons voir dans la section suivante les conséquences d’une telle inégalité vis à vis de laconcentration de la mesure. L’inégalité de Sobolev logarithmique étant plus forte que celle de Poincaré, il est naturel des’attendre à obtenir des propriétés de concentration plus fortes.
Comment écrire l’inégalité de concentration ?
On utilise l’inégalité de concentration déduite de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette inégalité s’écrit : P? ?Mn? m?? a??. On peut écrire0? P?? M?m?? a??. Cette notion, historiquement, apparaît dans les premiers travaux de Jacques Bernoulli (1654-1703). On lance 100 fois une pièce équilibrée de monnaie.
Variables aléatoires Inégalités et Lois de probabilité