a) Algorithme basé sur la Formule d'interpolation de Lagrange Algorithme 3 lignes fournissent une bonne approximation de toutes les fonctions continues,
MNJPC summary
Preuve : En utilisant la forme de Lagrange du polynôme d'interpolation de f dans une matrice D, Numéros de colonnes 1 2 d + 1 Numéros de lignes 1 a0
chap L
Interpolation polynomiale 1 Interpolation de Lagrange 1 1 Base de Lagrange Soit x0, x1, ,xn n + 1 réels donnés distincts On définit n + 1 polynômes li pour i
X interpolation
linéaire (on pourra effectuer des manipulations de lignes et de colonnes) divisées le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré 3 aux points (−1,
tan interpolation
d'interpolation de Lagrange polynomiale dans un « élément fini de type pseudo- simplicial où le terme général de la z'ième-ligne n'est autre que (a, -xf = (aiA
M AN
Théor`eme 1 2 (formule de Newton) Le polynôme d'interpolation de degré n qui II 13: Polynômes de Lagrange `a points équidistants pour n = 10 et n = 12 0
Numi
5 2 1 Polynôme d'interpolation dans la base de Lagrange Exercices : ligne brisée (fonction continue et affine par morceaux), on a donc des points anguleux,
MT ch ecran
Pour quelle valeur de m le polynôme d'interpolation est unique? Solution : On Lagrange 2 Écrire l'équation de la ligne brisée qui interpole tous les points
MT ch cor
4 Quelques méthodes d'approximation • Interpolation polynomiale – polynômes de degré au plus n • polynômes de Lagrange • différences finies de Newton
interpol
TP noté : Polynômes d'interpolation de Lagrange i-ième polynôme de Lagrange associé à la liste noeuds """ L = [1] lignes de calcul de P et g par
corr DS TP
Calculer les polynômes d'interpolation de Lagrange aux points suivants : Ainsi en développant par rapport à la première ligne
a) Algorithme basé sur la Formule d'interpolation de Lagrange lignes fournissent une bonne approximation de toutes les fonctions continues.
3.1.3 Erreur dans l'interpolation de Lagrange . éléments de la matrice à l'intérieur de la ligne de profil et P est un tableau de pointeurs.
II.2: Fac-similé du calcul de Newton pour le probl`eme de l'interpolation II.13: Polynômes de Lagrange `a points équidistants pour n = 10 et n = 12.
partir de ses racines : si r = [r1···
calculer de mani`ere effective le polynôme d'interpolation p ; il faut en effet résoudre un syst`eme linéaire plein. 2.3 Bases de Lagrange et de Newton.
linéaire (on pourra effectuer des manipulations de lignes et de colonnes). ... le polynôme d'interpolation de Lagrange de degré 3 aux points (?1 ?1)
Première mise en ligne à la version 0.5.0
TP noté : Polynômes d'interpolation de Lagrange i-ième polynôme de Lagrange associé à la liste noeuds """ ... lignes de calcul de P et g par.
10.2.2 Développement suivant une ligne ou une colonne . . . . . . . . 109. 10.3 Applications . 21.4.2 Interpolation de Lagrange .
They are de ned by L n;j(x) = Yn k=0;k6=j x x k x j x k: As the following result indicates the problem of polynomial interpolation can be solved using Lagrange polynomials Theorem Let x 0;x 1;:::;x n be n+ 1 distinct numbers and let f(x) be a function de ned on a domain containing these numbers Then the polynomial de ned by p n(x) = Xn j=0
(c) Le script suivant permet de comparer l’interpolation de Lagrange en utilisant des points équi-distants et les racines des polynômes de Tchebichev sur la fonction f : x 7!1 1+x2 sur l’inter-valle [-55] : n=13; a=-5; b=5; N=1000; t=a+(b-a)*[0:1/(N-1):1]; f=1 /(1+t ^2); x=a+(b-a)*[0:1/(n-1):1]; close all; Lagrange3(fabNx); for k=1:n
INTERPOLATION DE LAGRANGE § 1 INTRODUCTION À L’INTERPOLATION POLYNOMIALE 1 1 Espaces de polynômes Nous rappelons quelques résultats sur les polynômes (ou fonctions polyno-miales) Un monôme de degré k est une fonction de la forme x ? R ? cxk où c ? R? et k ? N Un polynôme est une somme (?nie) de monômes La fonction
Interpolation de Lagrange 1) Premier exemple Pour x ? [0 3?] on pose f(x) = sinx Pour n entier sup´erieur ou ´egal a 1 on introduit (n + 1) points (xj)0?j?n´equidistants de sorte que x0= 0 et xn= 3? On note pnf le polynome de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n tel que (1) pnf (xj) = f(xj) 0 ? j ? n
L’interpolation de Lagrange par morceaux Introduction aux splines 2 III Interpolation de Lagrange-Hermite Dans certains problèmes on est amené à chercher un polynôme qui interpole une fonction f : en des points donnés de f (interpolation de Lagrange) ainsi que les dérivées de f en ces points (pentes données) C’est l
1 3 Estimation de l’erreur dans l’interpolation de Lagrange Avant de donner une estimation de l’erreur nous allons d´emontrer le lemme suivant Lemme 7 – Soit f : [ab] ?? R d´erivable sur [ab] alors si f poss`ede au moins n + 2 z´eros distincts sur [ab] f? poss`ede au moins n+1 z´eros distincts sur [ab]
Quelle est la faiblesse de l’interpolation de Lagrange?
1.3 Des polynˆomes aux splines La faiblesse de l’interpolation de Lagrange, c’est que l’erreur d’interpolation croˆ?t avec N. Cela se traduit exp´erimentalement par de grandes oscillations du polynome d’interpolation, mˆeme si f est tr`es simple. Par exemple (Runge 1901), lorsqu’on interpole la fonction x 7?1/1 + 25x2
Comment faire une interpolation ?
Les deux courbes passent par les points (-1,0), (0,1) et (1,4), mais elles n’y passent pas de la même manière. Pour faire une interpolation, il faut des coordonnées de points dans le plan. L’interpolation renvoie en sortie le polynôme qui passe par ces points. Pour ceux qui veulent des formules, voici la clé de tout le tutoriel !
Quelle est la différence entre le polynôme d’interpolation de Lagrange et la fonction interpolation?
Il est assez naturel de penser que le polynˆome d’interpolation de Lagrange approche d’autant mieux la fonction interpol´ee que le nombre de points d’interpolation est grand. Cette id´ee reste correcte pour une grande classe de fonctions et pour des points d’interpo- lation correctement choisis, mais elle est fausse en g´en´eral.
Comment calculer la convergence de l’interpolation de Lagrange?
Convergence de l’interpolatio de Lagrange Soit Lnle polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonction f(x)= 1 x? , 1 ? x ? 1, aux n+1points distincts x 0,...,xnde l’intervalle [1,1].
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange