Exercice 12 [ 02771 ] [correction] SoitEl’ensembledessuites(a n) n>0 deC tellesquelasérie P a nconverge Si a= (a n) n>0 appartientàE,onpose kak= +X∞ n=0 a n a)Montrerquek kestunenormesurE b)Soit F= (a∈E/ X+∞ n=0 a n= 1) L’ensembleFest-ilouvert?fermé?borné? Exercice 13 [ 03021 ] [correction] SoientEunespacevectorielnormé
Exercice 1 Montrer en utilisant la d´efinition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] a,b [, a
2 On montre facilement que B est fermé, et donc que B = B D’autre part, B= ∅ En effet, si (x;y) 2 B, il existe une suite (xn;yn) qui n’est pas dans B et qui converge vers x, par exemple xn = x+ 1 n et yn = y, on a xnyn = 1+ y n ̸= 1 puisque y ̸= 0 3 On remarque d’abord que cet ensemble est ouvert (le plus facile est de dire qu
d’ouvert (par exemple on dira "Uest un ouvert" au lieu de "Uest un ouvert de R") 2 Dans R, les intervalles ouverts sont des ouverts et les intervalles ferm es sont des ferm es Plus g en eralement, dans tout espace m etrique E, toute boule ouverte est une partie ouverte et toute boule ferm ee est une partie ferm ee Proposition Soit Iun
Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union d´enombrable d’intervalles ouverts deux a deux disjoints (Indication : si x∈ Oouvert, consid´erer J x = ∪ des intervalles ouverts, ⊂ Oet 3 x) D´ecrire de mˆeme les ouverts de Rn Exercice 3 On va montrer que l’ensemble Ddes r´eels de la forme p+ q √ 2 ou` pet qd´ecrivent Z
Donc est ouvert équivalemment est fermé un fermé de Fr( = \ = ensemble des points contenus dans une boule qui rencontre à la fois et son complémentaire Comme est fermé, = On a aussi vérifié que ≠ Ø Donc Fr( = \Ø = E = Un€N* [0, 1- + = *0,0+ u *0, ½+ u [0,2/3] 0 ½
ouvert contenu dans A (au sens de la relation d’inclusion): O ⊂ A et O ouvert ⇒ O ⊂ ˚A En particulier A est ouvert si et seulement si A = int(A) Fronti`ere Si A ⊂ E, on appelle ”fronti`ere de A”, et on note Fr(A) ou ∂A l’ensemble des points x ∈ E tels que tout ouvert O de E contenant x v´erifie: O ∩A 6= ∅ et O ∩Ac
La note totale de l’exercice sera 0 au minimum Q1 : Il existe un espace m´etrique contenant 15 ouverts et 17 ferm´es NON Un ensemble O est ouvert ssi son compl´ementaire est ferm´e Ainsi il y a toujours autant d’ouverts que de ferm´es Q2 : Toute suite convergence dans un espace m´etrique est born´ee OUI x n → x signifie que d(x
En effet, A est ouvert dans R donc a fortiori dans E Pour la mˆeme raison, son compl´ementaire B = E \A =]0,+∞[ est ouvert dans E, donc A est ferm´e dans E Exercice 17 Soit E un sous-ensemble de R On suppose qu’il existe trois r´eels a < c < b tels que
Exercice 7 On note X = l¥ l’espace des suites réelles bornées, et Y = c 0 l’espace des suites réelles tendant vers 0, tous deux munis de la métrique (à vérifier) d(x;y) = sup n jx(n) y(n)j Montrer que Y est fermé dans X Montrer que l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang est dense dans Y mais pas dans X
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Feuille d'exercices 5 : topologie des evn
Exercice 1 Pour chaque ensemble, dire s'il est ouvert, fermé, borné : (i) f(x;y) 2R2: x= yg, (ii) f(x;y) 2R2: xy>0g, (iii) f(x;y;z) 2R3: xy>zg Exercice 2 Soient Set T deux parties dans Rn Étant donné X dans Rn, on note X ou X l'intérieur de X, i e la réunion de tous les ouverts inclus dans X, et X la adhérence de X, i e l'ensemble formé par toutes les aleursv d'adhérence de
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Analyse 2 : Suites et séries numériques
Exercice 1 15 (on imitera l’exemple qui suit la définition 1 6 2 de la page 17 ) Soit b2R 1 Montrer (en utilisant la définition d’un ensemble ouvert) que l’intervalle ]•,b[ est ouvert 2 En déduire que l’intervalle [b,+•[ est fermé 3 Montrer que l’intervalle [b,+•[ n’est pas ouvert 4 En déduire que l’intervalle
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Fonctions et topologie élémentaire de Rn
Exploiter le fait que le complémentaire d’un ouvert est fermé et que le complémentaire d’un fermé est ouvert Indication pourl’exercice5 N Distinguer la partie triviale de l’exercice de la partie non triviale Dans cet exercice, le seul point délicat est pour le paramètre t proche de 0 2 Correction del’exercice1 N 1 Le graphe est bien un paraboloïde de révolution ayant l
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Exercices de licence - univ-lillefr
Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union d´enombrable d’intervalles ouverts deux a deux disjoints (Indication : si x∈ Oouvert, consid´erer J x = ∪ des intervalles ouverts, ⊂ Oet 3 x) D´ecrire de mˆeme les ouverts de Rn Exercice 3 On va montrer que l’ensemble Ddes r´eels de la forme p+ q √ 2 ou` pet qd´ecrivent Z, est dense dans R 1 Remarquer que Dest stable par Taille du fichier : 899KB
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Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques Espaces
un ensemble fermé et borné La bornitude de Kmontre qu’il existe R>0 tel que K ˆ[ R;R] La question précédente montre que [ R;R] est un compact Par hypothèse Kest fermé dans R et donc c’est aussi un fermé de [ R;R] (car K= K\[ R;R]) D’après la PropositionI 12, on déduit que Kest lui-même compact Exercice 3 Soit (X;d) un espace métrique et (x n) nune suite d’éléments de Taille du fichier : 256KB
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1 Ouvert, ferm e, compact - École Polytechnique
1 Ouvert, ferm e, compact 1 1 Espace m etriques D e nition (distance, espace m etrique) Soit Eun ensemble On dit qu’une application d: E ER+ est une distance sur Esi dv eri e les trois propri et es suivantes : (i) Propri et e de s eparation : 8x;y2E;d(x;y) = 0 )x= y (ii) Propri et e de sym etrie : 8x;y2E;d(x;y) = d(y;x) (iii) In egalit e triangulaire : 8x;y;z2E;d(x;z) d(x;y) + d(y;z Taille du fichier : 172KB
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Topologie
Exercice 12 [ 02771 ] [correction] SoitEl’ensembledessuites(a n) n>0 deC tellesquelasérie P a nconverge Si a= (a n) n>0 appartientàE,onpose kak= +X∞ n=0 a n a)Montrerquek kestunenormesurE b)Soit F= (a∈E/ X+∞ n=0 a n= 1) L’ensembleFest-ilouvert?fermé?borné? Exercice 13 [ 03021 ] [correction] SoientEunespacevectorielnormé
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Corrigé de la feuille d’exercices no5
2 On montre facilement que B est fermé, et donc que B = B D’autre part, B= ∅ En effet, si (x;y) 2 B, il existe une suite (xn;yn) qui n’est pas dans B et qui converge vers x, par exemple xn = x+ 1 n et yn = y, on a xnyn = 1+ y n ̸= 1 puisque y ̸= 0 3 On remarque d’abord que cet ensemble
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1 Espaces m´etriques 1 Distance, boules, ouverts, ferm´es
Proposition 1 4 Soit (E,d) un espace m´etrique 1 Si pour tout i ∈ I, F i est un ferm´e, alors T i∈I F i est encore un ferm´e 2 Si F 1,··· ,F n sont des ferm´es, alors S n p=1 F p est encore un ouvert Voisinages On dit qu’un sous-ensemble A de E est un voisinage de a ∈ E s’il existe un ouvert O de
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TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE - Université Paris-Saclay
En effet, A est ouvert dans R donc a fortiori dans E Pour la mˆeme raison, son compl´ementaire B = E \A =]0,+∞[ est ouvert dans E, donc A est ferm´e dans E Exercice 17 Soit E un sous-ensemble de R On suppose qu’il existe trois r´eels a < c < b tels que
Ouvert ? En d'autres termes si x € existe-il une boule ouverte (équivalent un voisinage
L'ensemble {(x y) ? R2 : x + 3y2 ? 1} est ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 4. 1. Montrer que toute boule ouverte (fermée) est un ouvert (fermé).
https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/2M216/216-TD2x-2018.pdf
L'ensemble {1/n n ? N?} n'est ni ouvert ni fermé dans R. 7. Si F est un sous-espace vectoriel de Rn contenant une boule ouverte
La note totale de l'exercice sera 0 au minimum. Q1 : Il existe un espace métrique contenant 15 ouverts et 17 fermés. NON. Un ensemble O est ouvert ssi son
L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 12 [ 03021 ] [Correction]. Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un.
Exercice 1. Parmi les ensembles suivants lesquels sont ouverts
L'ensemble {(x y) ? R2 : x + 3y2 ? 1} est ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 4. 1. Montrer que toute boule ouverte (fermée) est un ouvert (fermé).
L'ensemble F est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 13 [ 03021 ] [correction]. Soient E un espace vectoriel normé F un sous-espace fermé de E et G un.
Feuille d’exercices n o4 Topologie des espaces vectoriels norm ´es I Ouverts ferm´es Exercice 1 Montrer en utilisant la d´e?nition d’un ouvert et d’un ferm´e que : 1 Tout ouvert de Rn est une r´eunion de boules ouvertes 2 L’ensemble ] ab [ a
X(0;1) est un ouvert non vide de X(en particulier il n’est pas d’intérieur vide) Exercice 2 (Compacts de R) On munit R de sa métrique usuelle dé?nie par la valeur absolue 1 On veut montrer que tout intervalle fermé borné [a;b] ˆR est compact On considère donc un recouvre-ment de [a;b] par une famille (U i) i2Id’ouverts de R
Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union dénombrable d’intervalles ouverts deux à deux disjoints (Indication : si x 2O ouvert considérer J x qui est l’union des intervalles ouverts inclus dans O et contenant x) Énoncer un résultat similaire pour les ouverts de Rn Indication H Correction H [002341] Exercice 3
Quelle est la différence entre ouvert et fermé?
Propriétés : Une réunion d’ouverts est un ouvert. Une intersection d’un nombre fini d’ouverts est un ouvert. Partie fermée (ou fermé) Une partie D de est un fermé de si son complémentaire D est un ouvert.
Comment montrer qu'un ensemble est fermé ?
Précisément, pour montrer que X est fermé, il suffit de montrer que toute suite (xn) d'éléments de X qui converge (donc qui a une limite ? ? E) a sa limite dans X 2. B) On montre que X est une intersection (quelconque) de parties fermées ou une union finie de fermés . Comment montrer qu'un ensemble n'est pas borné ?
Comment savoir si un intervalle est ouvert ou fermé?
•Si I est un intervalle ouvert de , alors ( )?1f I est un ouvert de 2. •Si I est un intervalle fermé de , alors ( )?1f I est un fermé de 2.
Comment organiser une journée portes ouvertes à la ferme?
La première date à fixer est celle de la journée portes ouvertes à la ferme. Il faut éviter de l’organiser le même jour qu’un événement majeur risquant de diminuer la fréquentation. Pour une meilleure organisation, il vaut mieux s’y prendre longtemps à l’avance (6 mois avant).
Exercice 4 (fiche 2) Etablir si les ensembles sont ouverts fermés