26 Continuit¶e des fonctions convexes Th¶eor µeme Soit f: › Rune fonction convexe ouµ › est un ouvert convexe de Rn (n > 1) Alors f est continue sur ›, elle est m^eme lipschitzienne sur les compacts de › Preuve On commence par deux lemmes Lemme 1 Sous les hypothµeses pr¶ec¶edentes, si f est born¶ee sur › alors elle est
Continuité et dérivabilité des fonctions (j) Fonctions convexes Soit I un intervalle de R et f: I → R une fonction On dit que f est convexe si et seulement si pour tout (x,y) ∈ I2 et pour tout t ∈ [0,1] on a f(tx+(1−t)y) ≤ tf(x)+(1−t)f(y) (?) Graphiquement, la convexité de f veut dire que la courbe représentative C f est au
FONCTIONS CONVEXES 3 1 Notations et définitions préliminaires L’étude des fonctions convexes montrera que celles ci sont continues sur tout l’intérieur de leur domaine de définition et qu’elles sont presque partout différentiables Une propriété suffisante pour étudier les fonctions convexes est la semi-continuité inférieure :
Dérivation, continuité et convexité Les savoir-faire 70 Connaître et utiliser les dérivées des fonctions composées 71 Etudier et utiliser la convexité d’une fonction 72 Etudier une suite définie par une relation de récurrence 73 Connaître et utiliser le TVI I Compléments de dérivation 1 Fonctions composées
2 2 Continuité et lipschitzité des fonctions convexes Pour parler de continuité et a fortiori de Lipschitzité, on supposera dans cette section que Eest un espace vectoriel normé Dé nition 10 Une fonction f: ER est localement lipschitzienne sur un ouvert de Esi tout point de admet un voisinage sur lequel fest lipschitizienne, c'est-à
Fonctions convexes 1 Pr´eliminaire : limites d’une fonction monotone Dans l’´etude de la d´erivabilit´e des fonctions convexes, les limites de fonctions monotones jouent un role essentiel On sait que toute fonction monotone sur un intervalle ouvert I poss`ede en chaque point de I une limite a droite et une limite a gauche finies
Fonctions convexes Prendera due piccioni con una fava : L’objectif cet ´episode est double1 D’une part, on cherchera a se familiariser avec la notion de fonction (r´eelle) convexe, et a en d´ecouvrir tout un tas de propri´et´es hautement sympathiques C’est pourquoi cet ´episode pourra
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 3 Pour x≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe
—Caractérisation des fonctins convexes 2 Propriété des fonctions convexes —Prop : Existence de limite à droite et à gauche —Prop : Comportement en +¥ —Prop :Fonction réciproque — Dev 1 : Continuité des fonctions convexes sur Rn III Applications 1 Suites récurrentes linéaires[2] —Carctérsation des suites récurrentes
toriels normes,¶ la convergence des fonctions convexes composees¶ au sens d'Attouch-Wets Nous ap-pliquons ce resultat¶ de stabilite¶pouretudier¶ la continuite¶des multiplicateurs de Lagrange associes¶ aµ une famille de problemesµ de minimisation convexes avec contraintes et aussi la continuite¶des operations¶ inf-convolution et
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Fonctions : continuité et convexité
I 2 Continuité des fonctions usuelles Propriété (admise) Les fonctions polynômes sont continues sur R La fonction exponentielle est continue sur R La fonction racine carrée est continue sur [0; +∞[ Toutes les fonctions obtenues par sommes, produits, quotients et compositions des fonctions de références sont continues sur chacun des intervalles ou elles sont définies I 3
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26 Continuit¶e des fonctions convexes
26 Continuit¶e des fonctions convexes Th¶eor µeme Soit f: › Rune fonction convexe ouµ › est un ouvert convexe de Rn (n > 1) Alors f est continue sur ›, elle est m^eme lipschitzienne sur les compacts de › Preuve On commence par deux lemmes Lemme 1 Sous les hypothµeses pr¶ec¶edentes, si f est born¶ee sur › alors elle est lipschitzienne
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Continuité & Convexité Terminale option maths complémentaire
La continuité Notion de continuité Propriétés Théorème des valeurs intermédiaires La convexité Fonctions convexes & concaves Quelques exemples : Soit f(x)=x² ; f est convexe sur IR Soit g(x)=1/x ; g est convexe sur IR+* et concave sur IR-* Soit h(x)=√x ; h est concave sur IR+ Point d’inflexion Applications Soit f une fonction cléfime sur un intervalle I de R Dire que f
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Continuité et dérivabilité des fonctions (j) Fonctions
Continuité et dérivabilité des fonctions (j) Fonctions convexes Soit I un intervalle de R et f: I → R une fonction On dit que f est convexe si et seulement si pour tout (x,y) ∈ I2 et pour tout t ∈ [0,1] on a f(tx+(1−t)y) ≤ tf(x)+(1−t)f(y) (?) Graphiquement, la convexité de f
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Dérivation, continuité et convexité
Propriété : continuité et dérivabilité Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a un réel appartenant à I et (u n) une suite à valeurs dans I Si (u n) converge vers a, alors la suite (f(u n) converge vers f(a) Propriété : continuité et suites convergentes
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Fonctions convexes - quentinmrgtfr
2 2 Continuité et lipschitzité des fonctions convexes Pour parler de continuité et a fortiori de Lipschitzité, on supposera dans cette section que Eest un espace vectoriel normé Dé nition 10 Une fonction f: ER est localement lipschitzienne sur un ouvert de Esi tout point de admet un voisinage sur lequel fest lipschitizienne, c'est-à-dire 8x 0 2
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Fonctions convexes 1 Dimension 1
convexe pour qu’elle ait un sens (les intervalles sont les convexes de R) Définition 7 Soit Cune partie convexe de Rd Une fonction f: CR est dite convexe si f( x+ (1 )y) f(x) + (1 )f(y); 8x;y2C;8 2[0;1]: Théorème 8 (Continuité) Les fonctions convexes sont continues en tout point de l’intérieur de leur domaine de définition Page 5/9
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FONCTIONS CONVEXES - Informatique
FONCTIONS CONVEXES 3 1 Notations et définitions préliminaires L’étude des fonctions convexes montrera que celles ci sont continues sur tout l’intérieur de leur domaine de définition et qu’elles sont presque partout différentiables Une propriété suffisante pour étudier les fonctions convexes est la semi-continuité inférieure :
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Fonctions convexes - Claude Bernard University Lyon 1
356 33 FONCTIONS CONVEXES fonction f est convexe sur I si et seulement si, pour tout (a,b) ∈ I, f v´erifie : f(a+b 2) ≤ f(a)+f(b) 2 Toute fonction convexe satisfait ´evidemment cette derni`ere condition mais la r´eciproque est fausse : il existe des fonctions non continues sur un intervalle ouvert I Taille du fichier : 170KB
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Terminale ES-L – Chapitre IV – Convexité
VI- Convexité des fonctions usuelles (Vous pouvez vous entraîner à le démontrer en dérivant deux fois ces fonctions et en étudiant le signe de leur dérivée seconde) La fonction carré est convexe sur La fonction cube est concave sur ] ∞;0 ] et convexe sur [0;+∞[L'origine du repère
Si f et g sont deux fonctions convexes, alors f + g est une fonction convexe premier théor`eme assez fort 3, qui nous dit que la convexité implique la continuité
convexite
Ainsi, une fonction est convexe si et seulement si la courbe Cf est située restent bornés quand ? tend vers 0, ce qui montre la continuité à droite de f
notes convexite
CONTINUITE ET CONVEXITE Méthode : Etudier la continuité d'une fonction La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est
FonctionsTESL
Le but de ce petit probl`eme est d'étudier les fonctions convexes résultats sur la dérivabilité et la continuité) On dit que f est une fonction convexe sur I si
DM Convexite
suffisante pour étudier les fonctions convexes est la semi-continuité inférieure : Définition 3 1 Soit une fonction f : C ?? R, où C est un ouvert de IRn f est dite
chap