•On veut optimiser une fonction sous des contraintes •Si à l’optimum aucune contrainte n’est active, la solution au-rait pu être trouvée au moyen d’une méthode d’optimisation sans contrainte •Sinon, à l’optimum une ou plusieurs contraintes sont actives •PL : identifier les contraintes actives mène à l’optimum
Optimisation sous contraintes Fabrice Rossi TELECOM ParisTech Décembre 2009/Janvier 2010
Optimisation sous contrainte carrée d’ordre net symétrique correspond la forme quadratique q A: x2 Rn7hAx;xi2R Cette correspondance est bijective vu 2a
Optimisation quadratique •Fonction quadratique = polynôme de degré 2, •On veut min f(x) s c gk(x) ≥ 0, ∀k x ∈ X ⊆ ℜn •Intérêt ? – Modélisation de certains problèmes est déjà de degré 2 (par ex en optimisation stochastique) – Contient la Programmation Linéaire – Mais est bien plus riche
Optimisation en dimension infinie Introduire un multiplicateur pour l’unique contrainte et définir le Lagrangien On a un problème d’optimisation quadratique convexe sous une contrainte linéaire L(x;) = Z 1 0 1 2 (x0(t)2 + x2(t)) + x(t)dt En déduire les conditions d’optimalité :
3 Un probl`eme avec contrainte de type ´egalit´e On veut trouver le parall´el´epip`ede de volume maximal et de surface donn´ee Soint a, b, c les diff´erentes longueurs des cˆot´es On cherche donc `a maximiser la fonction abc sous la contrainte 2(ab+ ac+bc)=S 4 Un probl`eme avec contrainte de type in´egalit´e
1 2 MINIMUM D’UNE FORME QUADRATIQUE SOUS CONTRAINTE AFFINE7 1 2 Minimum d’une forme quadratique sous con-trainte a ne Nous pouvons aussi etudier la minimisation de fsous contrainte a ne (premier cas de contrainte) Pour cela, on cherche a minimiser f(x) sous la contrainte V:x= K ou V est un vecteur non nul de l’espace On note C(x) = V
Résumé d'optimisation sous contraintes Méthode de Lagrange outT comme pour l'optimisation libre, la démarche pour optimiser locale-ment une fonction f(~x) de plusieurs ariablesv sous contraintes ~h(~x) = 0 consiste à 1 chercher les points stationnaires du problème sous contraintes
§ 1 —Optimisation contrainte à deux variables Exercice1 1 On considère la fonction f(x;y) = x2+y24xysoumise à la contrainte x2+y2 = 8 Quels sont les extremums de cette fonctions? Corrigédel’exercice1 1 On doit résoudre un problème d’extremum pour une fonction de deux variables soumise à une contrainte donnée sous forme d
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Séance 4 : Exercices corrigés OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES
Ce problème d’optimisation quadratique sous contraintes linéaires est équivalent au problème ˆ x +Bt = y Bx = c (2) on en déduit BBt = By c et x= y Bt(BBt) 1(By c) ou x= (Id Bt(BBt) 1B)y+ Bt(BBt) 1c Question 3 Optimisation en dimension infinie Introduire un multiplicateur pour l’unique contrainte et Taille du fichier : 91KB
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Optimisation Quadratique Optimisation quadratique avec
•Cette direction permet de vérifier la contrainte tout le long de la recherche linéaire : AT(X k +ρdkm) = ATXk −ρAT(H k − HkA(ATHkA)−1ATHk) = b − ρATHk +ρATH kA(ATHkA)−1ATHk = b •Encore une fois, terminaison quadratique car directions con-juguées •On peut
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Optimisation Quadratique Optimisation quadratique sans
•Terminaison quadratique On dit que la méthode a la pro-priété de terminaison quadratique si elle atteint l’optimum exact en un nombre fini d’opérations •On montre c’est vrai si – arithmétique exacte, – recherche linéaire exacte •En fait Hn+1 = (∇2f)−1 •En fait
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Optimisation sous contraintes
Optimisation sous contrainte Laurent Guillopé Laboratoire de mathématiques Jean Leray Département de mathématiques, UFR Sciences et techniques Université de Nantes www math sciences univ-nantes fr/˜guillope/l3-osc Version: 2 mars 2020
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Mathématiques 2 - CentraleSupelec
4 3 1 Minimisation d’une fonction quadratique convexe sous des contraintes linéaires 75 4 3 2 Fonctions convexes et contraintes linéaires 76 4 4 Optimisation et dualité 76
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Méthodes Numériques : Optimisation
7 3 1 Optimisation quadratique sous contraintes d’égalités linéaires 62 7 3 2 Optimisation quadratique sous contraintes d’inégalités linéaires 64 8 Pénalisation des contraintes 68 8 1 Pénalisation extérieure pour les contraintes d’égalité 68
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Optimisation sous contraintes - Fabrice Rossi
un problème d’optimisation (P) est défini par minimiser sur Rn J(x) avec hi(x) = 0;1 i p gj(x) 0;1 j q rappel de vocabulaire : les h i sont les contraintes d’égalité (notées h(x) = 0) les g j sont les contraintes d’inégalité (notées g(x) 0) l’ensemble des contraintes est C= fx 2Rnjh i(x) = 0;1 i p et g j(x) 0;1 j qgTaille du fichier : 202KB
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FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION
Année 2013/2014 Fonctions de plusieurs variables : optimisation – 3 Si A est point critique de f, alors f(A +H) f(A) = 1 2 q A(H)+o(kHk 2); H 0 où q A désigne la forme quadratique associée à la matrice hessienne r2f(A) En s’appuyant sur ce résultat, on va faire le lien entre la présence d’un extremum local pour f au point A et le signe de q
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Optimisation non linéaire: Applications - GERAD
Optimisation quadratique I Cas particulier de l’optimisation non lin eaire sous contraintes lin eaires I Contraintes lin eaires I Objectif : Fonction quadratique : f(x) = 1 2 x >Cx+ c>x I Exemple : Probl eme d’optimisation de portefeuille I Tr es utile car une approche pour r esoudre le cas avec objectif
Optimisation sous contrainte Formes quadratiques sous contraintes tions et méthodes particulières : programmation linéaire quand les fonctions à l'œuvre
osc
Optimisation Quadratique Optimisation quadratique avec contraintes Méthodes On veut optimiser une fonction sous des contraintes • Si à l'optimum aucune Cette méthode marche très bien pour des contraintes linéaires • Peut résoudre
oq
I 1 5 Un problème d'optimisation linéaire en dimension supérieure II 3 4 Minimisation d'une fonction quadratique généralisée sans contrainte 52 On récrit le sous-système des contraintes d'égalité sous la forme (on choisit l'ordre des
optimL M
optimisation linéaire quadratique f est une fonction convexe quadratique: f(x) = 1 2 On cherche donc `a maximiser la fonction abc sous la contrainte 2(ab+
CoursOpt
Programmation quadratique : coût quadratique et contraintes linéaires (QP) x* ∈X int intérieur à la contrainte → contrainte inactive 0*x 1x sous 1xmin 2 Rx
Techniques Optimisation
3 1 2 Cas particulier des fonctions quadratiques 27 4 2 Optimisation sous contraintes d'inégalités 41 Dans la cas particulier m = 1 une fonction linéaire générale peut être écrite sous la forme f(x) =
cours optim M sitn
Optimisation quadratique ▷ Cas particulier de l'optimisation non linéaire sous contraintes linéaires ▷ Contraintes linéaires ▷ Objectif : Fonction quadratique
ONL applications
linéaire" Ces problèmes sont souvent résolus numériquement à l'aide de l' algorithme de Dantzig, inventé vers 1950 — Programmation quadratique Avec le
anum tg
3 2 4 Méthode de relaxation comme récurrence linéaire 4 3 1 Minimisation d' une fonction quadratique convexe sous des contraintes linéaires 75
CoursOptim
II.3 Analyse des problèmes d'optimisation quadratique . On récrit le sous-système des contraintes d'égalité sous la forme (on choisit l'ordre des.
24 mai 2018 L'optimisation d'une fonction quadratique de variables binaires (BQP) sous contraintes linéaires ou sans contraintes a fait l'objet d'une ...
C'est une théorie au- tonome de l'optimisation non linéaire dans lequel on minimise (ou maximise) une forme quadratique sous des contraintes linéaires.
Master MIMSE - Année 2. Optimisation Quadratique. Optimisation quadratique avec contraintes On veut optimiser une fonction sous des contraintes.
2.5 Fonctionnelle quadratique et contraintes d'égalité affines . On dit qu'un sous-ensemble K de E est convexe si et seulement si
8 févr. 2022 3.6.2 Optimisation sous contrainte de modèle et état adjoint . ... Exemple 1.2.3 (optimisation quadratique à contraintes linéaires) Soit A.
Optimisation quadratique. ? Cas particulier de l'optimisation non linéaire sous contraintes linéaires. ? Contraintes linéaires.
7.3.2 Optimisation quadratique sous contraintes d'inégalités linéaires . . . . . . . . . 64. 8 Pénalisation des contraintes.
28 févr. 2020 Problèmes d'Optimisation Non Linéaire avec Contraintes en ... 8.1 Minimisation d'une fonction quadratique sous contraintes de borne : état.
27 avr. 1998 1.4 Projection sur un sous -espace paramétré . ... 2.2 Fonction quadratique avec contraintes d'égalités linéaires .
Si de plus A est définie-positive et C est surjective alors le système linéaire admet une solution unique 5 Page 6 2 6 Contraintes d'inégalité affines Dans
Optimisation sous contrainte Formes quadratiques sous contraintes 2 1 2 Soit lv la forme linéaire représentée par le vecteur v suivant lv(x) = ?v
On appelle problème d'optimisation quadratique sans contrainte tout problème de la forme (II 1) pour lequel la fonction coût est une fonction polynômiale de
Optimisation Quadratique Optimisation quadratique sans contraintes Contient la Programmation Linéaire On peut écrire f sous la forme f(x) =
Techniques d'optimisation 25 Max CERF 2018 1 1 3 Modèle quadratique-linéaire Problème avec contraintes égalité Fonction modèle
différentiabilité opt non différentiable • déterminisme opt stochastique Introduction – p 37 Définition du problème min x?Rn f(x) sous contraintes
4 Quelques algorithmes pour l'optimisation sans contraintes pour être notamment implémentés sous le logiciel de calcul scientifique Matlab
Comment optimiser sous contrainte une fonction à plusieurs variables ? La difficulté réside dans le fait que nous sommes confrontés à plus d'une variable La
10 nov 2015 · Avec un tel ensemble de contraintes K si de plus f est linéaire qu'on a affaire ùn problème de “programmation quadratique"
4 4 1 Méthode de Newton avec recherche linéaire 58 5 Algorithmes pour l'optimisation diérentiable sous contrainte
Comment optimiser une fonction sous contrainte ?
Comment optimiser, sous contrainte, une fonction à plusieurs variables ? La difficulté réside dans le fait que nous sommes confrontés à plus d'une variable. La résolution d'un tel problème fait appel à la méthode dite de substitution, le résultat étant la réduction du nombre de variables.Quelles sont les méthodes d'optimisation ?
Techniques de l'optimisation combinatoire
la théorie des graphes (chemin optimal dont le problème du voyageur de commerce)la théorie des jeux (stratégies performantes)la théorie du contrôle, de la régulation et de l'automatique (cf Catégorie:Automatique)l'optimisation multidisciplinaire.Comment on minimise une fonction ?
Produit une liste contenant la valeur minimale de la fonction, le point minimum, le gradient au point minimum ainsi qu'une évaluation de la qualité de l'itération (de 1 à 5). Produit aussi sur demande la matrice hessienne au point minimum: hessian = T. ?l(?, ?) #on change le signe pour minimiser- L'avantage le plus évident mais pourtant essentiel des solveurs d'optimisation est d'améliorer la performance opérationnelle, à savoir la capacité à atteindre vos objectifs avec une utilisation optimale des ressources à votre disposition. En d'autres termes, « faire plus et mieux, en consommant moins de ressources ».
Optimisation linéaire & convexité