Résumé doptimisation sous contraintes Méthode de Lagrange

•On veut optimiser une fonction sous des contraintes •Si à l’optimum aucune contrainte n’est active, la solution au-rait pu être trouvée au moyen d’une méthode d’optimisation sans contrainte •Sinon, à l’optimum une ou plusieurs contraintes sont actives •PL : identiﬁer les contraintes actives mène à l’optimum

Optimisation sous contraintes - Fabrice Rossi

Optimisation sous contraintes Fabrice Rossi TELECOM ParisTech Décembre 2009/Janvier 2010

Optimisation sous contraintes

Optimisation sous contrainte carrée d’ordre net symétrique correspond la forme quadratique q A: x2 Rn7hAx;xi2R Cette correspondance est bijective vu 2a

Optimisation Quadratique Optimisation quadratique sans

Optimisation quadratique •Fonction quadratique = polynôme de degré 2, •On veut min f(x) s c gk(x) ≥ 0, ∀k x ∈ X ⊆ ℜn •Intérêt ? – Modélisation de certains problèmes est déjà de degré 2 (par ex en optimisation stochastique) – Contient la Programmation Linéaire – Mais est bien plus riche

Séance 4 : Exercices corrigés OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES

Optimisation en dimension inﬁnie Introduire un multiplicateur pour l’unique contrainte et déﬁnir le Lagrangien On a un problème d’optimisation quadratique convexe sous une contrainte linéaire L(x;) = Z 1 0 1 2 (x0(t)2 + x2(t)) + x(t)dt En déduire les conditions d’optimalité :

Introduction `a l’optimisation - univ-toulouse

3 Un probl`eme avec contrainte de type ´egalit´e On veut trouver le parall´el´epip`ede de volume maximal et de surface donn´ee Soint a, b, c les diﬀ´erentes longueurs des cˆot´es On cherche donc `a maximiser la fonction abc sous la contrainte 2(ab+ ac+bc)=S 4 Un probl`eme avec contrainte de type in´egalit´e

Cours d’optimisation en dimension nie faible

1 2 MINIMUM D’UNE FORME QUADRATIQUE SOUS CONTRAINTE AFFINE7 1 2 Minimum d’une forme quadratique sous con-trainte a ne Nous pouvons aussi etudier la minimisation de fsous contrainte a ne (premier cas de contrainte) Pour cela, on cherche a minimiser f(x) sous la contrainte V:x= K ou V est un vecteur non nul de l’espace On note C(x) = V