le (vecteur) gradient de f en x (resp la matrice hessienne de f en x) Lorsqu’elle existe, la dérivée directionnelle de f en x dans la direction d est notée f (x,d) Pour une fonction vectorielle f: O⊂Rn →Rm différentiable en x ∈O, Jf(x) désigne la matrice jacobienne de f en x (matrice à m lignes et n colonnes) Extrait de la
où D2f(M) désigne la matrice hessienne de au point M alors une conséquence facile du théorème 1 3 est le corollaire suivant : COROLLAIRE 1 4 : Si f est polyconvexe et de classe C2 alors (1 6) pour tout Me M2x2 et ces valeurs sont finies (1 7) lZD2 f (M) Z^adétZ pour tout a e [S2(M), /2(M)] et tout ZeM2*2 Remarques
hessienne sont définies de la même manière pour tout X ∈Rn et non, seulement au point X∗ Et de manière Et de manière évidente, les extremas globaux ou locaux seront strict si les hessiens sont définis positifs pour un minimum et
La matrice hessienne bordée de f est une matrice symétrique carrée d’ordre n+1 Matrice jacobienne : soit G = (g1,g2, ,g m) une fonction définie de Rn dans Rm
2 Pour étudier la convexité de f (qui est de classe C2 sur R2), calculons sa matrice hessienne en tout point (x,y) de R2 On a Hess f(x,y) = 4 3x2 1 1 1 3y2 1 Rappelons que f est convexe sur R2 si, et seulement si sa matrice hessienne est semi-définie positive en tout point Or, on vérifie aisément que les valeurs propres de Hess f(0
On a donc un cas très particulier où la matrice Hessienne est identique, quelque soient les points (x,y) en laquelle elle est évaluée 3) Ainsi on a en particulier : r2f(x 0;y 0) = 0 1 1 0 ; et le determinant de cette matrice est donné par : det r2f(x 0;y 0) = 0 1 1 0 = 0 0 1 1 = 1 0:
Si M est une matrice de la matrice tM de Mp n(R) d&igne la transposée de M On identifie les ensembles et R en assimilant une matrice de à son unique (efficient On noteBla et la base canonique de Si M e et N e (q e N*), on admet que t(MN) tNtM x dans la base Bn 1 Soit X une matrice colonne non nulle donnée de de composantcs Xl, x2,
2 Dérivée seconde, convexité La notion de convexité est très importante Un ensemble ( gure géométrique plane) est dit convexe, si, quels que soient deux points Aet B de cet ensemble, le segment [A;B] tout entier est inclus dans cet ensemble Exemples : verres convexes, concaves
6 Déterminer la matrice hessienne de en 7 Écrire le développement limité d’ordre 2 de la fonction en (0,0) Exercice 2 : D’après EDHEC 2006 Soit la fonction définie pour tout couple de par : 1 Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de ˘ ˇˆˇ˙˝˛˚ ˜˙˚ ˚ ˚˙
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Optimisation statique Lagrangien et conditions de Kuhn et
La matrice hessienne bordée de f est une matrice symétrique carrée d’ordre n+1 Matrice jacobienne : soit G = (g1,g2, ,g m) une fonction définie de Rn dans Rm A tout vecteur ex = (x1,x2, ,x n), la fonction G associe le vecteur de fonctions (g1(xe),g2(ex), ,g m(xe)) Onappelle matrice jacobienne deG la matrice dedimension (m,n) J G(x1,x2, xTaille du fichier : 314KB
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Sur la convexité du déterminant - WordPresscom
x la forme quadratique associée à la matrice hessienne de f en x: Les propositions suivantes sont équivalentes : 1) f est convexe sur W 2) pour tout (x;y)2W2, f (y) f (x)+d f x (y x) 0 3) pour tout (x;y)2W2, (d f y d f x)(y x) 0 4) pour tout x 2W, pour tout h 2Rn, q ax(h;h) 0: Démonstration 1) )2) Soient (x;y)2W2, soit t 2[0;1] Par convexité de f, on a :
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OPTIMISATION ET ANALYSE CONVEXE
le (vecteur) gradient de f en x (resp la matrice hessienne de f en x) Lorsqu’elle existe, la dérivée directionnelle de f en x dans la direction d est notée f (x,d) Pour une fonction vectorielle f: O⊂Rn →Rm différentiable en x ∈O, Jf(x) désigne la matrice jacobienne de f en x (matrice à m lignes et n colonnes) Extrait de la publication
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Quelques corrigés - univ-rennes1fr
Calcul de la matrice hessienne 0 0 2 0 −6 0 2 0 −6 Nature du point stationnaire On cherche les valeurs propres de la matrice hessienne en (0 1/3 0) −λ 0 2 0 −6−λ 0 2 0 −6−λ = (6+λ)[4−6λ−λ2] Les valeurs propres de la hessienne sont −6, −3 + √ 13, −3 − √ 13 Deux sont négatives, l’une est positive :
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Optimisation (MML1E31) Notes de cours
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COURSOPTIMISATION CoursenMasterM1SITN IonelSorinCIUPERCA
métrique et définie positive” (elle ne signifie pas “matrice semi-définie positive”) 2 2 Convexité 2 2 1 Fonctionsconvexes,strictementconvexes,fortementconvexes Définition 2 3 Un ensemble U ˆIRn est dit convexe si 8x;y 2U on a [x;y] ˆU (quelquesoitdeuxpointsdansU,toutlesegmentquilesunitestdansU) Définition2 4 Taille du fichier : 477KB
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Optimisation (MML1E31) Notes de cours
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Optimisation Quadratique Optimisation quadratique sans
Fonctions à plusieurs variables - Convexité •On dit qu’un espace S est convexe si – pour toute paire de points x,y de S – et tout 0 ≤ α ≤ 1, – le point αx + (1 − α)y ∈ S •Le segment [x,y] ⊂ S •Une fonction f définie sur S convexeest convexesi pourtoute paire de points x,y de S et tout 0 ≤ α ≤ 1,
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Optimisation sous contraintes
2 1 1La hessienne de la fonction polynomiale P(x;y) = ax2 +2bxy+cy2 +dx+ey+f est la matrice (indépendante de x;y) Hess(f) (x;y) = 2 a b b c 2 1 2Soit ‘ v /, , ,,,, d):, d)
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Exercices corrig´es Fonctions de deux variables
7 Calculons le d´eterminant de la matrice hessienne en un point (x,y) de D f On a rt−s2 = 4y2 (x+ y)3 × 4x2 (x+ y)3 − 4xy (x+ y)3 2 = 0 On ´etudie alors le signe de r Celui-ci est du signe de x+y, donc positif sur E 1 et n´egatif sur E 2 fest donc convexe sur E 1 et concave sur E 2 3
Fonctions homog`enes, concaves et convexes Hervé Hocquard matrice hessienne de f a toutes ses valeurs propres négatives ou nulles La fonction f est
homogene
On peut déterminer si une fonction est convexe ou concave grâce au comportement de la forme quadratique associée à sa matrice hessienne (la matrice des
Rapmathe
2 2 2 Exemples des fonctions convexes, strictement convexes et fortement (la matrice Hessienne de f est le Jacobien du gradient de f ou le gradient de la
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fonction convexe définie sur Ω ⊂ V est différentiable presque partout (au sens de la différentielle seconde s'identifie à la matrice hessienne lorsque f est deux
Alpha cvx
15 mar 2019 · Lorsque l'ensemble admissible est convexe et que la fonction est matrice hessienne Hf (x) = I Elle est fortement convexe dans Rn car I est
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(a) Comme pour tout x ∈ Rn, la matrice hessienne ∇2f(x) est définie positive, f est strictement convexe d'après le Théorème 2 15 sur les fonctions convexes deux
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Une fonction f : R n −→ R est dite convexe si, pour tout x, y ∈ R n Fonction strictement convexe La matrice hessienne est toujours symétrique Analyse du
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Une fonction f de classe C2 sur I ∈ R est dite convexe (resp concave) si pour tout X D'après le théorème de Schwartz, la matrice hessienne est symétrique
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La matrice hessienne bordée de f est une matrice symétrique carrée d'ordre n + Soit f une fonction de plusieurs variables définie sur un ensemble convexe S
Annexe