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OPTIMISATION ET ANALYSE CONVEXE

le (vecteur) gradient de f en x (resp la matrice hessienne de f en x) Lorsqu’elle existe, la dérivée directionnelle de f en x dans la direction d est notée f (x,d) Pour une fonction vectorielle f: O⊂Rn →Rm différentiable en x ∈O, Jf(x) désigne la matrice jacobienne de f en x (matrice à m lignes et n colonnes) Extrait de la

Quelques remarques sur les notions de 1 - rang convexité et

où D2f(M) désigne la matrice hessienne de au point M alors une conséquence facile du théorème 1 3 est le corollaire suivant : COROLLAIRE 1 4 : Si f est polyconvexe et de classe C2 alors (1 6) pour tout Me M2x2 et ces valeurs sont finies (1 7) lZD2 f (M) Z^adétZ pour tout a e [S2(M), /2(M)] et tout ZeM2*2 Remarques

Régime Aménagé - UFR 02 Mathématique 2 Cours d’Optimisation

hessienne sont définies de la même manière pour tout X ∈Rn et non, seulement au point X∗ Et de manière Et de manière évidente, les extremas globaux ou locaux seront strict si les hessiens sont définis positifs pour un minimum et

Optimisation statique Lagrangien et conditions de Kuhn et Tucker

La matrice hessienne bordée de f est une matrice symétrique carrée d’ordre n+1 Matrice jacobienne : soit G = (g1,g2, ,g m) une fonction définie de Rn dans Rm

EXERCICE I Calcul différentiel

2 Pour étudier la convexité de f (qui est de classe C2 sur R2), calculons sa matrice hessienne en tout point (x,y) de R2 On a Hess f(x,y) = 4 3x2 1 1 1 3y2 1 Rappelons que f est convexe sur R2 si, et seulement si sa matrice hessienne est semi-définie positive en tout point Or, on vérifie aisément que les valeurs propres de Hess f(0

Département STID - IUT de Paris 2020-2021 Option Math

On a donc un cas très particulier où la matrice Hessienne est identique, quelque soient les points (x,y) en laquelle elle est évaluée 3) Ainsi on a en particulier : r2f(x 0;y 0) = 0 1 1 0 ; et le determinant de cette matrice est donné par : det r2f(x 0;y 0) = 0 1 1 0 = 0 0 1 1 = 1 0:

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Si M est une matrice de la matrice tM de Mp n(R) d&igne la transposée de M On identifie les ensembles et R en assimilant une matrice de à son unique (efficient On noteBla et la base canonique de Si M e et N e (q e N*), on admet que t(MN) tNtM x dans la base Bn 1 Soit X une matrice colonne non nulle donnée de de composantcs Xl, x2,

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2 Dérivée seconde, convexité La notion de convexité est très importante Un ensemble ( gure géométrique plane) est dit convexe, si, quels que soient deux points Aet B de cet ensemble, le segment [A;B] tout entier est inclus dans cet ensemble Exemples : verres convexes, concaves

MAT1112 - Optimisation avec ou sans contrainte

TD 8 : Fonctions numériques de deux variables réelles

6 Déterminer la matrice hessienne de en 7 Écrire le développement limité d’ordre 2 de la fonction en (0,0) Exercice 2 : D’après EDHEC 2006 Soit la fonction définie pour tout couple de par : 1 Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de ˘ ˇˆˇ˙˝˛˚ ˜˙˚ ˚ ˚˙