Fonctions harmoniques principe du maximum

• Comment calculer le maximum d’une fonction harmonique ?

  [Principe du maximum] Si une fonction harmonique u Harm( alors elle est constante. Le résultat vaut aussi pour le minimum, et c’est un corollaire direct en considérant la fonction opposée u qui est aussi harmonique. Démonstration. Soit un disque ouvert Dr(z0) avec r > 0. Le Théorème 1.4 fournit une fonction f Dr(z0) telle que Re f = u.

• Quel est le principe du maximum ?

  Le principe du maximum peut être déduit de la propriété de la moyenne, ou même de la propriété de la sous-moyenne. Ainsi, il peut être étendu à la classe des fonctions harmoniques (et même sous-harmonique). Consulter aussi...

• Comment calculer les fonctions harmoniques ?

  Commençons par effectuer quelques rappels sur les fonctions harmoniques définies sur des ouverts de 2, qui satisfont par définition u = 0 où = @2 @x2 + @2 @y2 est l’opérateur laplacien. Dans la théorie plus générale des fonctions sous-harmoniques satisfaisant u

• Quelle est la propriété de la moyenne d'une fonction harmonique ?

  Parmi les propriétés importantes des fonctions harmoniques, mentionnons : la propriété de la moyenne : si f f est harmonique dans l'ouvert U U, si D(a,r) D ( a, r) est un disque contenu dans U U, alors f (a) = 1 2π ∫ 2π 0 f (a+reiθ)dθ. f ( a) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( a + r e i θ) d θ.

Le principe du maximum est une conséquence importante de la propriété de la moyenne 9. Soit une fonction harmonique sur un ouvert connexe. Si possède un extremum (c'est-à-dire un maximum ou un minimum) sur alors est constante

. Les fonctions harmoniques ne peuvent pas posséder un maximum local véritable à l'intérieur de leur domaine de définition

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Principe du maximum [ modifier | modifier le code] Le principe du maximum est une conséquence importante de la propriété de la moyenne 9. Théorème (Principe du maximum) — Soit une fonction harmonique sur un ouvert connexe. Si possède un extremum (c'est-à-dire un maximum ou un minimum) sur alors est constante.

Les fonctions harmoniques sont l'exemple classique pour lequel s'applique le principe du maximum fort . De façon formelle, si f est une fonction harmonique, alors f ne peut pas posséder un maximum local véritable à l'intérieur de son domaine de définition.