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Rappels sur les Fonctions Holomorphes

Comment savoir si une fonction est holomorphe ?
– Si les fonctions f : U → V et g : V → C sont holomorphes, la composée g ◦ f : U → C est holomorphe.
Est-ce-que 1 Z est holomorphe ?
Primitive d'une fonction holomorphe
Par exemple, la fonction h : z ↦ 1/z est holomorphe sur ℂ*, qui est connexe mais pas simplement connexe.
Comment montrer que f est harmonique ?
Pour qu'une fonction soit harmonique, il faut et il suffit que ses parties réelle et imaginaire le soient. (5.1) ∂f := 1 2 ✓ ∂f ∂x + i ∂f ∂y ◆ = 0.
De plus, si on note ∂f := 1 2 ✓ ∂f ∂x i ∂f ∂y ◆ , alors f0(z0) = ∂f(z0). (5.2) 4∂∂f = 4∂∂f = ∆f.
Définitions. , la fonction s'exprime sous forme de la série convergente : .
Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition.

Une fonction est holomorphe si elle est dériveable. Pour cela, il faut et il suffit qu'elle vérifie les conditions de Cauchy-Riemann (1.7 ou 1.8). Une fonction est holomorphe dans un domaine si elle est dériveble en chaque point de ce domaine.

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