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Analyse Convexe et Applications

Comment montrer la convexite d'une fonction ?
Le critere de la derivee permet de montrer la convexite des fonctions ci-dessous. Sur R, les fonctions x 7!e x, 2 R, sont convexes. Sur ]0; +1[, les fonctions de nies par x 7! x , pour > 0, sont convexes. La fonction ln est concave. Soitn A une matrice symetrique de taille N, b 2 RN.
Quels sont les différents types de convexite ?
Convexite, convexite stricte, convexite forte Soient C un convexe non vide de E espace vectoriel norme, et f : C ! R. est convexe. -convexe. Il appara^t clairement que f fortement convexe ) f strictement convexe ) f convexe. Dans le cas euclidien ou prehilbertien, on montre que f est -convexe si et seulement si f =2k k2 est convexe.
Comment calculer la convexite ?
Remarquons que g est convexe. Il nous faut montrer que g(h) = o(khk): Puisqu'on a des informations sur les derivees partielles, on va decomposer h sous la forme h = PN hiei, ou les ei sont les vecteurs i=1 de base. L'existence de derivees partielles nous donne, pour tout i, On va majorer g(h) en utilisant la convexite de g.
Qu'est-ce que la convexite ?
Rappelons que la notion de convexite est tres souvent un cadre ideal pour les problemes de minimi-sation ; elle a donc une grande importance dans de nombreuses applications, de la physique a l'economie, en passant par a peu pres toutes les sciences. Les paragraphes les plus di premiere lecture. ciles sont signales par une asterisque.

Comment montrer la convexite d'une fonction ?