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Liste d'exercices n◦7 : Calcul de primitives 1 Fractions rationnelles

Comment trouver la primitive d'une fonction rationnelle ?
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on décompose celle-ci en une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction inverse.
Exemple : Soit f\\left ( x \\right )=\\frac{x^{2}+2}{x-3} définie sur ]3\\, ;+\\infty[.
Elle peut s'écrire sous la forme : f\\left ( x \\right )=ax+b+\\frac{c}{x-3}.
Comment faire un calcul d'intégrale ?
La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction.
La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F′(x) = f(x).
Quelle est la condition d'existence d'une fraction rationnelle ?
La fraction rationnelle donnée existe si x ≠ 0 ‍ et x ≠ − 5 ‍ .
La fraction simplifiée existe aux mêmes conditions.
On doit écrire la condition x ≠ 0 ‍ , mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x ≠ − 5 ‍ car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est ‍
On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples, au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul polynôme irréductible chacune.
F = E + G et deg(G) < 0.
Le polynôme E est appelé la partie entière de F.

Comment trouver la primitive d'une fonction rationnelle ?