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Équations diﬀérentielles Cours de L3 par Frédéric Hélein

Comment expliquer les équations différentielles ?
Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées.
Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle. f est une solution de l'équation différentielle.
Comment calculer les équations différentielles ?
Soient deux fonctions u et v, alors (uv)' = u'v +v'u.
Or f est solution de l'équation différentielle y' = ay, on a donc f '(x) = a f(x).
La fonction g est de dérivée nulle, c'est donc une fonction constante.
Ainsi g(x) = e^–^ax f (x) = C, avec , d'où f(x) = Ce^ax.
Comment savoir si une équation différentielle est linéaire ?
Une équation différentielle linéaire (du premier ordre) est une équation différentielle de la forme y′(x)=a(x)y(x)+b(x) y ′ ( x ) = a ( x ) y ( x ) + b ( x ) , où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I de R .
Pour savoir si une fonction donnée f est solution ou non d'une équation différentielle ( E ) , il suffit donc de remplacer y par f ( t ) et y ′ par f ′ ( t ) dans le premier membre de l'équation différentielle et de voir, après simplification, si on retrouve le second membre.

Comment expliquer les équations différentielles ?