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Espace de fonctions continues

Quels sont les espaces de fonctions continues ?
Espaces de fonctions continues Dans ce chapitre, nous nous attacherons `a montrer des propri´et´es topologiques d’espacesde fonctions continues d’un espace m´etrique (X, d) dans R. On notera est ﬁnie quelque soitf 2Cb(X). On montre ais´ement qu’il s’agit d’une norme sur ce qui fait de (Cb(X),k· k1) un espace vectoriel norm´e.
Comment savoir si une fonction est continue ?
Toute combinaison linéaire, tout produit, toute composée, tout quotient dont le dénominateur ne s'annule pas de fonctions continues est une fonction continue. Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f: [a, b] → R une fonction continue. Soit γ ∈ R tel que γ est compris entre f(a) et f(b). Alors il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = γ .
Quelle est la différence entre continuité à droite et continue à gauche ?
On parle de continuité à droite ou de continuité à gauche lorsqu'on utilise les notions de limite à droite et de limite à gauche. On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
Comment montrer qu’un espace est complet ?
Proposition 2.1.1.L’espaceCb(X)est un espace de Banach. D´emonstration.Il s’agit de montrer queCb(X) est complet. Pour ce faire, consid´erons unesuite de Cauchy (fn)n2Ndans Cb(X) et montrons qu’elle converge uniform´ement surXvers une fonctionf 2Cb(X).

Quels sont les espaces de fonctions continues ?