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chap 8Chap 8 - CALCUL MATRICIEL - SYSTEMES LINEAIRESDans ce chapitre,KdésigneRouC,netpdésignent des entiers naturels non nuls.

1) Calcul matriciel1.

1) Notion de matriceDéfinition1On appellematrice ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKun tableau ànlignes etpcolonnes de nombres deKprésenté sous la forme :A=0B@a11a1p an1anp1CACette matrice se note égalementA= (aij)1in1jp, ou plus simplement(aij)quand il n"y a pasd"ambiguïté sur leformat(n;p).Sip= 1,Aest appeléematrice colonne.sin= 1,Aest appeléematrice ligne.sin=p,Aest appeléematrice carrée d"ordren.

La élémentsaii(pouri2[j1;nj]) sont alorsappeléséléments diagonaux, et(a11;;ann)est appeléediagonaledeA.NotationsOn noteMn;p(K)l"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansK.On noteMn(K)l"ensembleMn;n(K)des matrices carrées d"ordrenà coefficients dansK.On note0np(resp.0n) la matrice deMn;p(K)(resp.Mn(K)) dont tous les coefficients sont nuls.Définition2On appellematrice identitéd"ordren, notée In, la matrice deMn(K)dont les coefficients sont lessymboles de Kronecker(ij)tels queij=0sii6=j1sii=jDéfinition3SoitA= (aij)une matrice deMn(K).On dit queAestdiagonalesi8(i;j)2[j1;nj]2;(i6=j))(aij= 0)On noteA=diag(a11;;ann)une telle matrice.On dit queAest une matricetriangulaire supérieuresi8(i;j)2[j1;nj]2;(i > j))(aij= 0)On dit queAest une matricetriangulaire inférieuresi8(i;j)2[j1;nj]2;(i < j))(aij= 0)Cours PTSI - Sophie Touzet - Page 1 sur 9chap 81.

2) Opérations sur les matricesDéfinition4On appelleadditiondansMn;p(K)la loi notée+définie par :(aij) + (bij) = (aij+bij)Remarque1Pour l"addition, deux matrices doivent être de même format.Définition5On appellemultiplication par un scalairela loi notéedéfinie par :(aij) = (aij)où2K.Proposition1SoientA;BetCde matrices deMn;p(K).(A+B) +C=A+ (B+C)(on dit que l"addition estassociative)A+B=B+A(on dit que l"addition estcommutative)A+ 0np=A(0npest appeléélément neutrede l"addition)A+ (A) = 0np(Aest appelé lesymétriquedeApour l"addition)8 (;)2K2;()A=(A)(on dit que la multiplication par un scalaire estassociative)8 2K;(A+B) =A+B(on dit que la multiplication par un scalaire estdistributivesurl"addition)Définition6On appellematrice élémentairedeMn;p(K)une matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf unqui vaut 1.

Lorsque ce coefficient est à lak-ème ligne eth-ème colonne, on note la matrice Ekh.On a donc Ekh= (ikjh)1in1jpRemarque2Pour toute matriceA= (aij)1in1jp, on a :A=nXi=1pXj=1aijEijDéfinition7SoientA= (aik)1in1kq2Mnq(K)etB= (bkj)1kq1jp2Mqp(K).On appelleproduitdeAparBet on noteABla matriceC= (cij)1in1jp2Mnp(K)telle que8(i;j)2[j1;nj][j1;pj]; cij=qXk=1aikbkjAttention!Le produitABne peut être réalisé que si le nombre de colonnes deAest égal au nombrede lignes deB.Remarque3Lai-ème ligne deABest le produit de lai-ème ligne deAparBet laj-ème colonne deABest leproduit deApar laj-ème colonne deB.Cours PTSI - Sophie Touzet - Page 2 sur 9chap 8Proposition28 (A;B;C)2Mn;p(K)Mp;q(K)Mq;r(K);(AB)C=A(BC)8 (A;B;C)2Mn;p(K)Mp;q(K)Mp;q(K); A(B+C) =AB+AC8 (A;B;C)2Mn;p(K)Mq;n(K)Mq;n(K);(B+C)A=BA+CA8 (A;B)2Mn;p(K)Mp;q(K);82K; A(B) =(AB)8 A2Mn(K); AIn=InA=Aet0nA=A0n= 0nProposition3Pouri2[j1;nj];(j;k)2[j1;pj]2etl2[j1;qj]on a :EijEkl=jkEilProposition4 Formule du binôme de NewtonSoientAetBdansMn(K).

SiAB=BAalors(A+B)n=nXk=0nkAkBnk1.

3) TranspositionDéfinition8On appelletransposéede la matriceA= (aij)2Mn;p(K)la matriceAT= (a0ij)2Mp;n(K)telle quea0ij=ajipour tout(i;j)2[j1;pj][j1;nj].Définition9SoitA2Mn(K).On dit queAestsymétriquesiAT=A.On noteSn(K)l"ensemble des matrices symétriques d"ordren.On dit queAestantisymétriquesiAT=A.On noteAn(K)l"ensemble des matrices antisymétriques d"ordren.Proposition58(A;B)2(Mn(K))2;(;)2K2on a :(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT1.

4) Matrices inversiblesDéfinition10On dit qu"une matriceA2Mn(K)estinversibles"il existe une matrice deMn(K), notéeA1, tellequeAA1=A1A=In.L"ensemble des matrices inversibles d"ordrenest appelégroupe linéaire d"ordren, et se noteGLn(K).Proposition6SiAetBsont des matrices de GLn(K), alorsAB2GLn(K), et(AB)1=B1A1.Proposition7SiA2GLn(K), alorsAT2GLn(K)etAT1=A1TProposition8Une matrice diagonale est inversible si, et seulement si tous ses éléments diagonaux sont non nuls.SiD=diag(1;;n)aveci6= 0pour touti2[j1;nj], alorsD1=diag11;;1n.Une matrice triangulaire est inversible si, et seulement si ses éléments diagonaux sont tous non nuls.De plus, l"inverse d"une matrice triangulaire est une matrice triangulaire.Cours PTSI - Sophie Touzet - Page 3 sur 9chap 82 Systèmes linéaires2.

1) DéfinitionsDéfinition11On appellesystème linéaire denéquations àpinconnues(x1;x2;;xp)2Kpun système dela formeS:8>>><>>>:a11x1+a12x2++a1pxp=b1a21x1+a22x2++a2pxp=b2 an1x1+an2x2++anpxp=bnoù les coefficientsaijetbi(1in;1jp) sont des éléments deK.Résoudrele systèmeS, c"est chercher l"ensemble desp-uplet(x1;x2;;xp)qui vérifient toutes leségalités.

Cesp-uplet sont appeléssolutions du système.Définition12SoientA= (aij)2Mn;p(K)etB=0B@b1 bn1CA2Mn;1(K).Aest appelée lamatrice du systèmeS;Best appelésecond membredu système.La matrice notée(AjB)est appeléematrice augmentée du système.Remarque4(x1;;xp)est solution deSsi, et seulement siAX=B, oùX=0B@x1 xp1CA.Cette égalité s"appelleinterprétation matricielle deS.Définition13SiB= 0n1, on dit que le système esthomogène.Etant donné un systèmeSd"interprétation matricielleAX=B, le système homogène d"interprétationmatricielleAX= 0n;1est appelésystème homogène associéàS.Définition14Un système linéaire est ditde Cramersi la matrice associée est inversible.Proposition9Un système de Cramer admet une unique solution donnée parX=A1B.Remarque5Un système de Cramer homogène admet pour unique solution(0;;0).2.

2) Systèmes équivalentsDéfinition15On appelleopérations élémentairessur les lignes d"un système, ou d"une matrice :la permutation (ou l"échange) de deux lignes, notéeLi$Ljle produit d"une ligne par un nombre non nul2K, notéeLi Lil"addition à une ligne d"une autre ligne multipliée par un nombre2K, notéeLi Li+LjRemarque6On définit de même des opérations élémentaires sur les colonnes d"une matrice.Cours PTSI - Sophie Touzet - Page 4 sur 9chap 8Définition16Deux systèmesSetS0sont ditséquivalentssi l"on passe de l"un à l"autre par une suite finied"opérations élémentaires sur les lignes.

On noteSS0.Deux matricesAetA0sont diteséquivalentessi l"on passe de l"une à l"autre par une suite finied"opérations élémentaires sur les lignes.

On noteAA0.Définition17On appellematrice de transpositiondeMn(K)toute matricePijde la forme :Pij=InEiiEjj+Eij+EjiProposition108(i;j)2[j1;nj]2;8A2Mn;p(K), la matricePijAse déduit deAen échangeant les lignesLietLj(Li$Lj).Proposition118(i;j)2[j1;nj]2, la matricePijest inversible, d"inverse elle même.Définition18On appellematrice d"affinitédeMn;p(K)toute matriceDi()de la forme :Di() =In+ (1)Eii, où2K.Proposition128i2[j1;nj];82K;8A2Mn;p(K)la matriceDi()Ase déduit deAen multipliant la ligneLipar(Li Li).Proposition138i2[j1;nj];82K, la matriceDi()est inversible, d"inverseDi1.Définition19On appellematrice de transvectiondeMn(K)toute matriceTij()de la forme :Tij() =In+Eij, où2K.Cours PTSI - Sophie Touzet - Page 5 sur 9chap 8Proposition148(i;j)2[j1;nj]2;82K;8A2Mnp(K), la matriceTij()Ase déduit deAen ajoutant à lai-ème lignele produit de laj-ème ligne par(Li Li+Lj).Proposition158(i;j)2[j1;nj]2;82K, la matriceTij()est inversible, d"inverseTij().Remarque7Toute opération élémentaire sur une matrice correspond à la multiplication à gauche de cette matricepar une matrice carrée inversible.Théorème1Deux systèmes équivalents ont le même ensemble de solutions.2.

3) Matrice échelonnéeDéfinition20On appellematrice échelonnée en lignestoute matrice telle que : Si une ligne est entièrement nulle, les suivantes le sont aussi.

Si le premier coefficient non nul d"une ligne est à laj-ème colonne, alors soit la ligne suivante estnulle, soit son premier coefficient non nul est dans une colonnektelle quek > j.On appellepivotd"une matrice échelonnée le premier coefficient non nul de chaque ligne non entière-ment nulle.On appellesystème échelonnétout système dont la matrice est échelonnée en lignes.Une matrice échelonnée est diteéchelonnée réduite en ligneslorsque tous les pivots sont égaux à1, et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne.On appellesystème échelonné réduittout système dont la matrice associée est échelonnée réduiteen lignes.Exemple1(a)Matrices éc helonnées,la dernière étan téc helonnéeréduite : (b)Matrice non éc helonnée: Théorème2Toute matrice non nulle est équivalente en lignes à une unique matrice échelonnée réduite.Définition21On appellerang d"une matricele nombre de pivots de la matrice échelonnée réduite équivalente.On appellerang d"un systèmele rang de la matrice associée.Remarque8Le rang d"un système ne dépend pas du second membre.Cours PTSI - Sophie Touzet - Page 6 sur 9chap 82.

4) Algorithme du pivot de GaussOn considère un système linéaire denéquations àpinconnues.(1)On se ramène à un système équiv alenttel que a116= 0, en permutant éventuellementL1avec uneautre ligne, puis on diviseL1(la nouvelle première ligne) para11(le nouveau premier terme).(2)P ouri2[j2;;nj],Li Liai1L1.

On élimine ainsi l"inconnuex1dans toutes les équations à partirde la deuxième.

On obtient un nouveau système, équivalent au premier de la forme :8>>><>>>:x1+a012x2++a01pxp=b01a022x2++a02pxp=b02 a0n2x2++a0npxp=b0nOn considère désormais le système den1équations formé par les lignesL2àLnet on lui appliqueles étapes(1)et (2)précédentes, jusqu"à obtenir un système échelonné.2.

5) Ensemble des solutionsOn considère un système linéaireSdenéquations àpinconnues et de rangr.On se ramène au cas où le système est échelonné et, quitte à changer l"ordre des inconnues, on supposeque le nombre de 0 qui commencent chaque ligne augmente de 1 à chaque ligne.On suppose également que chaque pivot vaut 1.On noteA= (aij)la matrice échelonnée associée au système, etB= (bi)la matrice second membre.2.5.

1) Sir=n=pLe système s"écrit :8>>><>>>:x1+a12x2++a1nxn=b1x2++a2nxn=b2 xn=bnCe système est un système de Cramer, il possède une unique solution obtenue en réduisant la matriceaugmentée associée.2.5.

2) Sir=n>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:x1+a12x2++a1nxn+pXj=n+1a1jxj=b1x2++a2nxn+pXj=n+1a2jxj=b2. xn+pXj=n+1anjxj=bnCe système admet une infinité de solutions.En réduisant la matrice augmentée associée, on exprime les inconnuesx1;;xn, appeléesinconnuesprincipales, à l"aide des inconnuesxn+1;;xp, appeléesinconnues non principalesouinconnuessecondaires.Remarque9Le nombre d"inconnues non principales est égal au nombre d"inconnues moins le rang.Cours PTSI - Sophie Touzet - Page 7 sur 9chap 82.5.

3) Sir=p>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:x1+a12x2++a1nxn=b1x2++a2nxn=b2 xp=bp0 =bp+1 0 =bnDéfinition22Le équations0 =bipouri2[jp+ 1;nj]s"appellentéquations de compatibilité.

Sibi= 0pour touti2[jp+1;nj]alors le système admet une unique solution, obtenue en réduisantla matrice augmentée.

On dit que le système estcompatible. Sinon, le système n"admet pas de solution.2.5.

4) Sir>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:x1+a12x2++a1rxr+pXj=r+1a1jxj=b1x2++a2rxr+pXj=r+1a2jxj=b2. xr+pXj=r+1arjxj=br0 =br+1 0 =bn Sibi= 0pour touti2[jr+ 1;nj], le système admet une infinité de solutions, dont les inconnuesprincipalesx1;;xrs"obtiennent en fonction des inconnues non principalesxr+1;;xnen rédui-sant la matrice augmentée.

Le système est alorscompatible. Sinon le système n"a pas de solution.2.5.

5) BilanProposition16Un système linéaire denéquations àpinconnues de rangradmet 0, 1 ou une infinité de solutions.S"il admet une infinité de solutions, celles-ci dépendent deprparamètres (donnés par les inconnuesnon principales).Proposition17Un systèmeAX=Best compatible siBest combinaison linéaire des colonnes deA.Proposition18L"ensemble des solutions d"un systèmeSest soit vide, soit de la formeX0+SHoùX0est une solutionparticulière du système etSHest l"ensemble des solutions du système homogène associé.Cours PTSI - Sophie Touzet - Page 8 sur 9chap 82.

6) Inverse d"une matriceProposition19SoitA2Mn(K).

Les propositions suivantes sont équivalentes :(i)A2GLn(K)(ii)Le systèmeAX= 0n"admet que la solution nulle.(iii)AIn(iv)Pour toutB2Mn;1(K)le systèmeAX=Badmet une unique solution.Inversion d"une matrice par résolution d"un système linéairePour inverser une matriceA, on résout le systèmeAX=YoùYest un vecteur colonne quelconque.On obtient alorsXen fonction deYsous la formeX=BY, oùB2Mn(K)est l"inverse deA.Inverse d"une matrice par le pivot de GaussD"après la proposition précédente, une matrice inversible est équivalente à la matrice In.

On peut doncpasser de l"une à l"autre en une suite finie d"opérations élémentaires sur les lignes.

En faisant les mêmesopérations simultanément surAet In, on obtientA1à la place de Inlorsque l"on a obtenu Inà laplace deA.Cours PTSI - Sophie Touzet - Page 9 sur 9