Quel est la différence entre l'application et la fonction ?
De mémoire, en théorie des ensemble une application est définie pour tous les éléments de l'ensemble sur lequel elle s'applique, alors que pour une fonction chaque élément du premier ensemble est en relation avec au plus un élément du second.
Est-ce que une application est une fonction ?
En ce sens, une application était une fonction mais l'inverse n'était pas forcément vrai.
Une application est une relation entre deux ensembles, que l'on peut appeler " source" et ' but", telle que chaque élément de la source ait son image (unique) dans le but L'application peut être injective, surjective ou bijective.1 août 2022Quelle est la différence entre une application et une fonction en mathématiques ?
les relations telles que, de chaque élément de l'ensemble de départ, il part au plus une flèche, s'appellent des fonctions ; les relations telles que, de chaque élément de l'ensemble de départ, il part exactement une flèche, s'appellent des applications.
- Soit f une correspondance d'un ensemble A vers un ensemble B. f est une application si chaque element de A a un et seul correspondant dans B.
A est appelé ensemble de depart et B ensemble d'arrivé. on lit f est une application de R vers R qui à x associe f(x)=x+2.
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1) Relation binaire Définition : Une relation binaire est un triplet formé d"un ensemble E de " départ », d"un ensemble F " d"arrivée » et d"une partie Γ non vide de FE× appelée " graphe » de la relation.
Un élément x de E est en relation avec un élément y de F si Γ?),(yx. La relation est donnée soit par le triplet ),,(ΓFE, soit plus généralement par une caractérisation de cette appartenance.
Exemples : Avec ?==FE : yx= ou yx≤ ou 221x y+ = ou xy e= ou xyln =. .2) Application Définition : Une application f est une relation binaire ),,(ΓFE t elle que pour tout Ex?, il existe un unique élément Fy? tel que Γ?),(yx. On note )(xfy= et y e st appelé image de x par f, tandis que x est appelé antécédent de x. Tout élément de E est en relation avec un et un seul élément de F, donc possède une image et une seule.
Mais certains éléments de F peuvent avoir plusieurs antécédents ou aucun. Exemples : Avec ?==FE : yx≤, 122=+yx et xyln= ne sont pas des applications. Par contre yx= et xy e= le sont. Notation : L"ensemble des applications de E dans F est noté ),(FEA ou EF.Définition : On appelle identité d"un ensemble E l"application de E dans E, notée EId , définie par : xxExE=??)(Id .
Lorsqu"il n"y a pas d"ambiguïté, on note simplement Id. .3) Restriction et prolongement Lorsque l"on change d"ensemble de départ ou d"arrivée, on change l"application, et donc ses propriétés.
Définition : Si f e st une application de E dans F et si A est une partie non vide de E, on appelle restriction de f à A l"application notée /Af de A d ans F qui coïncide avec f sur A, donc définie par : /( ) ( )Ax A f x f x? ? =.
Inversement, si E est une partie d"un ensemble B et si g est une application de B dans F, on dira que g est un prolongement de f à B si /Eg f=.
La restriction de f à A est unique, alors que f peut admettre plusieurs prolongements à un même ensemble B.
Exemple : La fonction de +? dans ? définie par ()f x x= admet pour prolongements à ? les fonctions g et h de ? dans ? définies par : ()g x x= et ( )h x x=.
Ici, on a parlé de changement de l"ensemble de départ. Lorsque l"on change d"ensemble d"arrivée, on change l"application, mais il n"y a pas de terme particulier. .
4) Composition On peut composer des applications si les ensembles se correspondent.Définition : Si f e st une application de E dans F et g une application de F dans G, la composée fgo est l"application de E dans G définie par :)]([))((xfgxfgEx=??o.
Cours de mathpmatiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycpe Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011Applications et Fonctions - 2 - ECS 1 Exemple : Si f e st d éfinie d e ? dans ?+? p ar 2( ) 4f x x= + et g d e ?+? dans ? par ( ) lng x x=, alors fgo est définie de ? dans ? par : 2( )( ) ln( 4)g f x x= +o, et f go de ?+? dans ?+? par : 2( )( ) (ln ) 4f g x x= +o.
Les applications f go et fgo n e sont pas toujours définies. Théorème : La composition des applications est associative, mais non commutative.Soit Ex?, )(xfy=, )(ygz= et )(zht=. Donc zygxfgxfg===)()]([))((o et tzhxfghxfgh===)()])([())](([ooo.
Et tzhyghygh===)()]([))((o donc tyghxfghxfgh===))(()]()[()]()[(oooo. Donc : )]()[())](([xfghxfghExoooo=??. Donc : fghfghoooo)()(=. .5) Image directe et image réciproque Définition : Si f e st une application de E dans F : • si A est une partie de E, l"image directe de A par f est l"ensemble des images par f des éléments de A : {}AxxfAf?=/)()(.
C"est aussi l"ensemble des éléments de F q ui ont un antécédent dans A : {})(/)(xfyAxFyAf=???=. • si B est une partie de F, l"image réciproque de B par f est l"ensemble des antécédents par f des éléments de B, c"est-à-dire l"ensemble des éléments de E dont l"image est dans B : {}1() / ( )f B x E f x B-=? ?.
Exemple : Pour 2( )f x x= de ? dans ? : (] 1,2[) [0,4[f- = et 1([ 1,4]) [ 2,2]f--= - .Propriétés de l"image directe : Si A e t B sont des parties de E : • si A B?, alors ( ) ( )f A f B?. • ( ) ( ) ( )f A B f A f B? = ?. • ( ) ( ) ( )f A B f A f B∩ ? ∩.
On a l"égalité si f est injective.Propriétés de l"image réciproque : Si A e t B sont des parties de F : • si A B?, alors 11( ) ( )f A f B--?. • 111( ) ( ) ( )f A B f A f B---?= ?. • 111( ) ( ) ( )f A B f A f B---∩= ∩. Démonstration : Les propriétés 1 et 4 sont évidentes. • A A B? ? et B A B? ?.
Donc ( ) ( )f A f A B? ? et ( ) ( )f B f A B? ?. Donc on a l"inclusion ( ) ( ) ( )f A f B f A B? ? ?. Inversement, si ( )y f A B? ?, il existe x A B? ? tel que ( )y f x=. Si x A?, alors ( )y f A? et si x B?, alors ( )y f B?. Dans les deux cas ( ) ( )y f A f B? ?. Donc on a l"inclusion ( ) ( ) ( )f A B f A f B? ? ?. • A B A∩ ? et A B B∩ ?. Donc ( ) ( )f A B f A∩ ? et ( ) ( )f A B f B∩ ?. Donc on a l"inclusion ( ) ( ) ( )f A B f A f B∩ ? ∩.Inversement, si ( ) ( )y f A f B? ∩, alors ( )y f A? et ( )y f B?, donc il existe a A? et b B? tels que ( ) ( )y f a f b= =.
Mais dans le cas général, a et b peuvent être distincts. Par contre on verra que, si f est injective, alors a b=, donc appartient à A B∩.
Donc on n"a la deuxième inclusion que si f est injective. • A A B? ? et B A B? ?. Donc 11( ) ( )f A f A B--?? et 11( ) ( )f B f A B--??. Donc on a l"inclusion 111( ) ( ) ( )f A f B f A B---?? ?.Inversement, si 1( )x f A B-??, alors ( )f x A B? ?. Si () f x A?, alors 1( )x f A-? et si ( )f x B?, alors 1( )x f B-?. Dans les deux cas 11( ) ( )x f A f B--??.
Donc on a l"inclusion 111( ) ( ) ( )f A B f A f B---?? ?.Cours de mathpmatiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycpe Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011Applications et Fonctions - 3 - ECS 1 • A B A∩ ? et A B B∩ ?.
Donc 11( ) ( )f A B f A--∩? et 11( ) ( )f A B f B--∩?. Donc on a l"inclusion 111( ) ( ) ( )f A B f A f B---∩? ∩.Inversement, si 11( ) ( )x f A f B--?∩, alors 1( )x f A-? et 1( )x f B-?, donc ( )f x A? et () f x B?, donc () f x A B? ∩, donc 1( )x f A B-?∩.
On a donc l"inclusion 111( ) ( ) ( )f A f B f A B---∩? ∩. .6) Fonction indicatrice d"une partie Définition : Si A e st u ne p artie d e E, on appelle fonction indicatrice (ou caractéristique) de A l"application de E dans {}0,1 notée 1A et définie par : 1 si 1( )0 si Ax Ax E xx A???? =???.
Cette fonction sera utilisée en probabilités.Propriétés : Si A e t B sont deux parties de E : 1 1A BA B= ? = 1 1 1AA= - 1 1 1A B A B∩= 1 1 1 1 1A B A B A B?=+ - Les démonstrations sont évidentes sauf la dernière, pour laquelle on utilise le complémentaire : A B A B? = ∩ donc 1 1A BA B∩?=.
Donc 1 1 (1 1 )(1 1 )A B A B?-= - -. .7) Equations L"objectif est la résolution d"une équation, ce qui revient à la recherche d"antécédents.
Exemple : Résoudre l"équation 325 3 0x x x- + + = revient à chercher les antécédents de 0 par la fonction définie par : 3 2( ) 5 3f x x x x= - + +.
Bien sûr, cela dépend de l"ensemble de départ et d"arrivée de f.Par exemple ( 1)- n"a pas d"antécédent dans ? par la fonction définie par 2( )f x x=, alors qu"il en a dans ?.
Définition : Une application f de E dans F est : • In jective si tout élément de F possède au plus un antécédent dans E. • Su rjective si tout élément de F possède au moins un antécédent dans E. • Bi jective si tout élément de F possède un unique antécédent dans E. Alors, l"application de F dans E qui à tout élément de F associe cet unique antécédent s"appelle l"application réciproque de f et se note 1f-.
Pour étudier les propriétés d"une application f, il faut donc pour tout Fy? chercher le nombre de solutions de l"équation yxf=)( d ans E. La fonction f sera injective s"il y a 0 ou 1 solution, surjective s"il y a au moins une solution et bijective s"il y a une unique solution.
Exemples : Avec ?==FE : yx= est une application bijective, tandis que xy e= est une application injective (unique antécédent yxln= si 0>y), mais pas surjective (pas d"antécédent si 0≤y). Théorème : Une application de E dans F est bijective si et seulement si elle est injective et surjective. Mais il est souvent plus court d"étudier directement l"équation yxf=)(. Montrer qu"une application est injective revient à montrer que deux éléments distincts de E ne peuvent pas avoir la même image : si 1 2x x≠, alors 1 2( ) ( )f x f x≠. Par contraposée, on obtient : Théorème : Une application f de E dans F est injective si et seulement si, pour tous les éléments 1x et 2x de E : 2121)()(xxxfxf=?=.
Cours de mathpmatiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycpe Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011Applications et Fonctions - 4 - ECS 1 Exemple : 2 1( )1xf xx+=- de {}1E=- ? dans F=?.
Soient 1x et 2x dans {}1-?. 1 2( ) ( )f x f x= s si 12122 1 2 11 1x xxx+ +=- -, donc ssi 121 2(2 1)( 1) ( 1)(2 1)x x x x+ - = - +, donc en développant, ssi 1 2 1 2 1 2 2 12 2 1 2 2 1x x x x x x x x- + - = - + -, donc ssi 1 2x x=.
Donc l"application f est injective.Soit ??y. Alors : )(xfy= équivaut à 12)1(+=-xxy, donc à 1)2(+=-yyx. Si 2=y, l"équation n"a pas de solution.
Donc 2 n"a pas d"antécédent. Donc l"application f n"est pas surjective de E dans F=?. Par contre, si l"on prend {}2-=?F : 21)(-+=?=yyxxfy.Or { }{}1212-?-+-????yyy car : 21121-=+?=-+yyyy (donc pas de solution) Donc : {}{})(1!2xfyxy=-??-????.
Donc f e st bijective de {}1E=- ? dans {}2-=?F e t son application réciproque est définie par : 21)(1-+=-xxxf.
Remarque : La notation 1f- est utilisée dans l"image réciproque 1( )f B- d"une partie, mais si f n"est pas bijective, il n"y a pas d"application 1f-. Théorème : La composée de deux applications injectives est injective. La composée de deux applications surjectives est surjective. La composée de deux applicatio