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Python round() – Round to 2 Decimal Places Python round() function rounds a floating point number to specific precision In this tutorial, we will learn how to
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![[PDF] Python au lycée - tome 2 - Exo7 - Emathfr](https://pdfprof.com/EN_PDFV2/Docs/PDF_6/19200_6livre_python2.pdf.jpg "[PDF] Python au lycée - tome 2 - Exo7 - Emathfr")
19200_6livre_python2.pdf PYTHON AU LYCÉE
TOME2ARNAUD B ODIN
ALGORITHMES ET PROGRAMMATION
Exo7Python au lycée - tome 2
Informatique et ordinateurE. Dijkstra a dit que " l"informatique est autant la science des ordinateurs que l"astronomie est la science des
télescopes ». Une partie fondamentale de l"informatique est en effet la science des algorithmes : comment
résoudre un problème le plus efficacement possible. Un algorithme étant une suite d"instructions théoriques
indépendantes du langage et de la machine utilisée. Mais il faut comprendre le " autant » de façon positive :
les astronomes ont besoin de télescopes performants autant que les informaticiens d"ordinateurs puissants.
Pour programmer intelligemment il faut donc bien connaître sa machine,ses limitations mais aussi le langage
utilisé.Python
Le but de ce second volume est d"approfondir notre connaissance de??????. Tu vas écrire des programmes
de plus en plus compliqués et résoudre à la machine des grilles de sudoku, les calculs du " compte est bon »
et la recherche du " mot le plus long ». Tu vas aussi programmer de belles images : des automates cellulaires,
du traitement d"images, des surfaces, des dessins en perspective et de nombreuses fractales. Tu vas aussi
découvrir de nouveaux algorithmes pour trier, pour calculer en parallèle, pour résoudre des équations. Parmi
les nouveaux outils que tu vas découvrir il y aura les algorithmes récursifs, la programmation objet, les
dictionnaires.Mathématiques
Contrairement au premier tome on ne se limite plus aux mathématiques du niveau seconde. Voici leschapitres abordés de niveau première et terminale : suites, dérivées, intégration, nombres complexes,
logarithme, exponentielle, matrices.L"intégralité des codes??????des activités ainsi que tous les fichiers sources sont sur la pageGitHub
d"Exo7 : " GitHub : Python au lycée » .Les vidéos des notions de base et des activités du premier tome sont accessibles depuis la chaîneYoutube:
" Youtube : Python au lycée » .Sommaire
I Mathématiques avec informatique
11 Suites arithmétiques - Suites géométriques
22 Nombres complexes I9
3 Nombres complexes II
154 Dérivée - Zéros de fonctions
225 Exponentielle31
6 Logarithme37
7 Intégrale52
II Informatique avec mathématiques
578 Programmation objet
589 Mouvement de particules
7010 Algorithmes récursifs
7911 Tri - Complexité97
12 Calculs en parallèle
107III Projets122
13 Automates123
14 Cryptographie129
15 Le compte est bon136
16 Le mot le plus long142
17 Images et matrices150
18 Ensemble de Mandelbrot162
19 Images 3D169
20 Sudoku189
21 Fractale de Lyapunov
20222 Big data I212
23 Big data II224
IV Guides244
24 Guide de survie Python
24525 Principales fonctions
25626 Notes et références271
IndexRésumé des activités
La plupart des activités sont indépendantes les unes des autres. Tu peux commencer par celles qui te font le plus envie! Suites arithmétiques - Suites géométriquesTu vas manipuler deux types de suites fondamentales : les suites arithmétiques et les suites géométriques.
Nombres complexes I
Nous allons faire des calculs avec les nombres complexes. Ce sera facile car??????sait les manipuler.
Nombres complexes II
On poursuit l"exploration des nombres complexes en se concentrant sur la forme module/argument.Dérivée - Zéros de fonctionsNous étudions les fonctions : le calcul de la dérivée d"une fonction, le tracé du graphe et de tangentes, et enfin
la recherche des valeurs où la fonction s"annule.Intégrale
Nous allons étudier différentes techniques pour calculer des valeurs approchées d"intégrales.
Exponentielle
L"exponentielle joue un rôle important dans la vie de tous les jours : elle permet de modéliser la vitesse de
refroidissement de votre café, de calculer la croissance d"une population ou de calculer la performance d"un
algorithme.Logarithme
Le logarithme est une fonction aussi importante que l"exponentielle. C"est le logarithme qui donne l"ordre de
grandeur de certaines quantités physiques, par exemple la puissance d"un séisme ou celle d"un son.
Programmation objet
Avec??????tout est objet : un entier, une chaîne, une liste, une fonction... Nous allons voir comment définir
nos propres objets.Mouvement de particules
Tu vas simuler le mouvement d"une particule soumise à différentes forces, comme la gravité ou des frotte-
ments. Tu appliqueras ceci afin de simuler le mouvement des planètes autour du Soleil. Cette activité utilise la
programmation objet.Algorithmes récursifs
Une fonction récursive est une fonction qui s"appelle elle-même. C"est un concept puissant de l"informatique :
certaines tâches compliquées s"obtiennent à l"aide d"une fonction récursive simple. La récursivité est l"analogue
de la récurrence mathématique.Tri - Complexité
Ordonner les éléments d"une liste est une activité essentielle en informatique. Par exemple une fois qu"une liste
est triée, il est très facile de chercher si elle contient tel ou tel élément. Par définition un algorithme renvoie
toujours le résultat attendu, mais certains algorithmes sont plus rapides que d"autres! Cette efficacité est mesurée
par la notion de complexité.Calculs en parallèle
Comment profiter d"avoir plusieurs processeurs (ou plusieurs coeurs dans chaque processeur) pour calculer
plus vite? C"est simple il s"agit de partager les tâches afin que tout le monde travaille en même temps, puis de
regrouper les résultats. Dans la pratique ce n"est pas si facile.Automates
Tu vas programmer des automates cellulaires, qui à partir de règles simples, produisent des comportements
amusants.Cryptographie
Tu vas jouer le rôle d"un espion qui intercepte des messages secrets et tente de les décrypter.
Images et matricesLe traitement des images est très utile, par exemple pour les agrandir ou bien les tourner. Nous allons aussi voir
comment rendre une image plus floue, mais aussi plus nette! Tout cela à l"aide des matrices.Le compte est bon
Qui n"a jamais rêvé d"épater sa grand-mère en gagnant à tous les coups au jeu " Des chiffres et des lettres »? Une
partie du jeu est " Le compte est bon » dans lequel il faut atteindre un total à partir de chiffres donnés et des
quatre opérations élémentaires. Pour ce jeu les ordinateurs sont plus rapides que les humains, il ne te reste plus
qu"à écrire le programme!Le mot le plus long
La seconde partie du jeu " Des chiffres et des lettres » est le " Le mot le plus long ». Il s"agit simplement de trouver
le mot le plus grand à partir d"un tirage de lettres. Pour savoir si un mot est valide on va utiliser une longue liste
des mots français.Ensemble de Mandelbrot
Tu vas découvrir un univers encore plus passionnant qu"Harry Potter: l"ensemble de Mandelbrot. C"est une
fractale, c"est-à-dire que lorsque l"on zoome sur certaines parties de l"ensemble, on retrouve une image similaire
à l"ensemble de départ. On découvrira aussi les ensembles de Julia.Images 3D
Comment dessiner des objets dans l"espace et comment les représenter sur un plan?Sudoku
Tu vas programmer un algorithme qui complète entièrement une grille de sudoku. La méthode utilisée est la
recherche par l"algorithme du " retour en arrière ».Fractale de Lyapunov
Nous allons étudier des suites dont le comportement peut être chaotique. La fonction logarithme nous aidera à
déterminer le caractère stable ou instable de la suite. Avec beaucoup de calculs et de patience nous tracerons
des fractales très différentes de l"ensemble de Mandelbrot : les fractales de Lyapunov.Big data I
Big data,intelligence artificielle,deeplearning,réseau de neurones,machine learning... plein de mots compliqués!
Le but commun est de faire exécuter à un ordinateur de tâches de plus en plus complexes :choisir(par exemple
trouver un bon élément parmi des milliards selon plusieurs critères),décider(séparer des photos de chats de
photos de voitures),prévoir(un malade a de la fièvre et le nez qui coule, quelle maladie est la plus probable?).
Dans cette première partie on va utiliser des outils classiques de statistique et de probabilité pour résoudre des
problèmes amusants.Big data II
L"essor desbig-dataet de l"intelligence artificielle est dû à l"apparition de nouveaux algorithmes adaptés à la
résolution de problèmes complexes : reconnaissance d"images, comportement des électeurs, conduite autonome
des voitures... Dans cette seconde partie tu vas programmer quelques algorithmes emblématiques et innovants.
PREMIÈRE PARTIEMATHÉMATIQUES AVEC INFORMATIQUE 1Suites arithmétiques
- Suites géométriquesChapitre1Tu vas manipuler deux types de suites fondamentales : les suites arithmétiques et les suites géomé-
triques.Cours 1(Suites arithmétiques).Une suite arithmétique est une suite telle que la différence entre deux termes consécutifs ait toujours
la même valeur.u 0u 1u 2u 3u 4u5+r+r+r+r+r1.Définition.
Une suite(un)n2Nest unesuite arithmétiquederaisonrsi on aun+1=un+rpour tout n>0.2.Formule de récurrence.
Une suite arithmétique est donc entièrement définie par son premier terme u0et sa raisonr:terme initialu0et formule de récurrenceun+1=un+r3.Formule directe.On calculeundirectement par la formule :u n=nr+u04.Exemple.7 10 13 16 19 ...
C"est la suite arithmétique de terme initialu0=7et de raisonr=3. La formule directe estun=3n+7.5.Somme.La somme des termes deu0jusqu"àunest donnée par la formule :
S n=u0+u1+u2++un= (n+1)u0+n(n+1)2 rActivité 1(Suites arithmétiques). Objectifs : programmer les différentes formules autour des suites arithmétiques. 1. Programme une fonction??????????????????????qui renvoie le terme de rangnde la suitearithmétique définie par le terme initialu0et la raisonr, en utilisant la formule de récurrence. Quel
est le termeu100de la suite arithmétique définie paru0=13 etr=5? 2. Programme une fonction??????????????????????qui fait la même chose mais en utilisant cette SUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES3fois la formule directe.3.Programme une fonction??????????????????????????qui renvoie la liste des termes
[u0,u1,u2,...,un]. 4. Programme une fonction???????????????????????qui teste si les termes[u0,u1,u2,...,un]de la liste donnée forment le début d"une suite arithmétique.Indications.
•Le programme renvoie????ou?????.
• On suppose que la liste contient au moins deux éléments. •Si la liste est constituée des premiers termes d"une suite arithmétique alors, le terme initial estu0
et la raison estr=u1 u0. Et on doit avoirun+1 un=rpour toutn. Tu peux alors utiliser la question précédente. • Exemple : avec[3,5,7,10]la fonction renvoie " Faux ». 5. Programme une fonction????????????????????????????qui calcule, en additionnant les élé- ments, la somme des termes de rang0ànd"une suite arithmétique de terme initialu0et de raison r. Retrouve le même résultat par une fonction????????????????????????????qui utilise la formule de la somme donnée dans le cours ci-dessus.Combien vaut la somme :
2+4+6+8++1000 ?Activité 2(Trois termes d"une suite arithmétique).
Objectifs : déterminer si dans une liste donnée il existe trois termes d"une suite arithmétique.
On te donne une liste ordonnée[u0,u1,u2,...,un]. Tu dois déterminer si dans cette liste on peut trouver
trois termesui,uj,ukqui font partie d"une suite arithmétique. Autrement dit, tels que : u i=uj r uk=uj+rpour un certainr.rru iu ju kPar exemple dans la liste : [10,11,13,17,19,20,23,29,31] les trois termesui=11,uj=17,uk=23 sont en progression arithmétique, de raisonr=6. Programme l"algorithme ci-dessous en une fonction????????????????????????qui à partir d"une liste de termes?renvoie trois termes en progression arithmétique (ou????s"il n"y en a pas).Le principe de l"algorithme est le suivant. Pour chaque élémentujde la suite (qui va jouer le rôle du
potentiel élément central) : • On cherche un élémentuide rangiplus petit quejet un élémentukde rangkplus grand quejavec uj ui=uk uj(on aura alorsuj=ui+rpuisuk=uj+r). Si on a cette égalité alors c"est gagné! • Si on n"a pas cette égalité alors on prend uniplus petit ou bien unkplus grand. SUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES4Algorithme. • - Entrée : une liste de termes [u0,u1,...,un]ordonnée. - Sortie : trois termes en progression arithmétique (ou rien s"il n"y en pas). •Pourjparcourant les indices de 1 àn 1 :
-P oseri=j 1,k=j+1.
-T antque i>0 etk6n:
-Siuj ui=uk ujrenvoyer le tripletui,uj,uk(qui forme une progression arithmétique).Le programme s"arrête là avec succès.
-Si uj ui - Si uj ui>uk ujalors fairek k+1.
• Lorsque la boucle " pour » se termine sans avoir obtenu de triplet, c"est qu"il n"y en a pas.Cours 2(Suites géométriques).
Pour une suite géométrique le quotient entre deux termes consécutifs est toujours le même.u
0u 1u 2u 3u 4qqqq1.Définition.
Une suite(un)n2Nest unesuite géométriquederaisonqsi on aun+1=qunpour tout n>0. 2.Formule de récurrence.
Une suite géométrique est donc entièrement définie par son premier terme u0et sa raisonq:terme initialu0et formule de récurrenceun+1=qun3.Formule directe.On calculeundirectement par la formule :u n=u0qn4.Exemple. 2 6 18 54 162 ...
est le début de la suite géométrique de terme initialu0=2, de raisonq=3. La formule directe est
un=23n. 5.Somme.La somme des termes deu0jusqu"àun(pourq6=1) est donnée par la formule :S
n=u0+u1+u2++un=u01 qn+11 qque l"on mémorise par : somme suite géométrique=terme initial1 raisonnombre de termes1 raison SUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES5Activité 3(Suites géométriques).Objectifs : refaire la première activité sur les suites arithmétiques, mais cette fois pour les suites
géométriques. 1. Programme une fonction?????????????????????qui renvoie le terme de rangnde la suite géométrique définie par le terme initialu0et la raisonq, en utilisant la formule de récurrence. Quel
est le termeu10de la suite géométrique définie paru0=13 etr=5? 2. Programme une fonction?????????????????????qui fait la même chose mais en utilisant cette fois la formule directe. 3. Programme une fonction?????????????????????????qui renvoie la liste des termes [u0,u1,u2,...,un]. 4. Programme une fonction??????????????????????qui teste si les termes[u0,u1,u2,...,un]de la liste donnée forment le début d"une suite géométrique. Indications.Si la liste est constituée des premiers termes d"une suite géométrique alors,un+1u
n=u1u 0pour toutn. Utilise la question précédente.
5. Programme une fonction???????????????????????????qui calcule, en additionnant les élé- ments, la somme des termes de rang0ànd"une suite géométrique de terme initialu0et de raisonq.
Retrouve le même résultat par une fonction???????????????????????????qui utilise la formule de la somme donnée dans le cours ci-dessus. Vers quelle valeur a l"air de tendre la somme :
1+12 +14 +18 +116
++12 n lorsquentend vers l"infini?Activité 4(Tracer la somme d"une suite géométrique). Objectifs : illustrer géométriquement la formule de la somme d"une suite géométrique. Voici un découpage d"un carré de côté 1 qui illustre la formule : 12 +14 +18 +116
++12 n=1 12 n1 2 1 41
8 1 16 1 2 n1 2 n1. Programme une fonction??????????????????????????qui affiche un carré de la longueur donnée. Utilise la tortue accessible depuis le module??????. SUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES62.Programme une fonction??????????????????????????????qui trace un rectangle de hauteur
la moitié de sa longueur. Il coupe le carré précédent en deux parties égales. 3. Programme une fonction ?????????????????????qui construit notre figure. Indications.
• Par exemple, on commence par tracer un carré de longueur 256, • on trace un rectangle qui coupe le carré en deux, • puis on trace un carré de longueur 128, • puis on le découpe en deux, etc. De gauche à droite : le carré initial; le carré coupé en deux rectangles; un petit carré; un découpage
itéré.Preuves de la formule. On considère la suite :12
14 18 116
12 n C"est la suite géométrique(un)de terme initialu0=12 et de raisonq=12 . Preuve par le dessin.
Le grand carré a pour aire1, l"aire totale des zones rouges est12+14++12 n. La zone hachurée bleue a pour aire12 n. Les zones rouges et bleues recouvrent tout le carré, donc leur aire totale vaut1. Ce qui prouve la formule annoncée : 12 +14 +18 +116
++12 n|{z} aire rouge+ 12 n|{z} aire bleue=1|{z} aire du grand carré Preuve par le calcul.
La formule pour la somme est
S n 1=u0+u1+u2++un 1=u01 qn1 q (attention il y a bienntermes dans la somme) et donc ici : S n 1=12 +14 +18 +116
++12 n=12 1 12 n1 12 =1 12 nActivité 5(Meilleure suite arithmétique). Objectifs : on te donne une liste ordonnée, tu dois trouver la suite arithmétique qui approche le
mieux possible cette liste. Qu"est ce que la meilleure suite arithmétique qui approche une liste de nombres donnés? Par exemple
pour la liste[3,6,9,11], on a envie de l"approcher par la progression arithmétique[3,6,9,12]. On nous donne donc des termesv0,v1,...,vn(ordonnés du plus petit au plus grand). On va chercher SUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES7une progression arithmétiqueu0,u1,...,untelle que
d=jv0 u0j+jv1 u1j+jv2 u2j++jvn unj soit le plus petit possible.On appelledladistanceentre[v0,v1,...,vn]et[u0,u1,...,un]. Pour l"exemple donné,[3,6,9,11]
approchée par[3,6,9,12], la distance vaut 1. 1.Distance.Programme une fonction?????????????qui calcule la distance
d=jv0 u0j+jv1 u1j+jv2 u2j++jvn unj entre deux listesu= [u0,u1,...,un]etv= [v0,v1,...,vn]. 2.Meilleure constante.
On nous donne une listew= [w0,w1,...,wn], on cherche une constantem qui approche au mieux toutes les valeurs de la liste, c"est-à-dire telle que d=jw0 mj+jw1 mj+jw2 mj++jwn mj soit le plus petit possible. Un nombremqui convient est simplement la médiane de la liste! Par exemple pour[3,6,9,11], la médiane estm=7.5 et on a d=j3 7.5j+j6 7.5j+j9 7.5j+j11 7.5j=11 et on ne peut pas faire moins. Écris une fonction??????????????????????qui calcule la valeur médiane des éléments d"une liste. Par définition, la moitié des valeurs est inférieure ou égale à la médiane, l"autre moitié est
supérieure ou égale à la médiane. Voir le rappel de cours juste après cette activité pour ce calcul.
3.Meilleure suite.
On va maintenant résoudre notre problème initial. On nous donne donc une liste v= [v0,v1,...,vn]et on cherche une progression arithmétiqueu= [u0,u1,...,un]. Pour trouver les (ui)on doit donc trouver un terme initialu0et une raisonr. Méthode.
• On va d"abord trouver unrapproché qui convient bien par une méthode de balayage. On cherche le meilleurren commençant parr=0puis, par petits pas on teste jusqu"à, par exemple, r=2(v1 v0). • Pour chaquer, le terme initialu0qui convient est la médiane de la liste(vi ir). (Justification : il faut minimiser la somme desjvi uij=jvi ir u0j;u0est donc la médiane des(vi ir).) Programme l"algorithme suivant en une fonction?????????????qui renvoie le terme initialu0 et la raisonrd"une suite arithmétique qui approche au mieuxv= [v0,v1,...,vn]. Le paramètreN correspond à la précision du balayage (plusNest grand, plus l"approximation sera bonne). SUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES8Algorithme. • - Entrée : une liste ordonnée de termes v= [v0,v1,...,vn]et un entierN. - Sortie : un terme initial u0et une raisonr.
• Définir un pasp=2v1 v0N
(ce sera le pas pour le balayage der). •Initialise une valeurdminpar une très grande valeur (par exempledmin=10000), cette variable stockera la distance la plus petite rencontrée. Deux variablesrminetu0,minmémoriseront les meilleursretu0trouvés. • Poserr=0.
• Pourkallant de 0 àN+1 :
- Calculer u0la médiane de(vi ir)(pour 06i6n).
- Définiru, la liste des premiers termes de la suite arithmétique de terme initialu0et de raison r(tu peux utiliser la fonction??????????????????????????de la première activité). - Calcule la distance dentre les listesuetv.
- Si d - F airer r+p.
• Renvoyeru0,minetrmin.Quelle est la meilleure progression arithmétique pour approcher la liste[6,11,14,20,24,29,37]?Cours 3(Médiane).
Par définition de lamédiane, la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, l"autre moitié
sont supérieures ou égales à la médiane. Voici comment calculer la médiane. On notenla longueur de la liste, on suppose que la liste est ordonnée
(du plus petit au plus grand élément). • Casnimpair.
La médiane est la valeur de la liste au rangn 12. Exemple avec????? ? ????????????????: - la longueur de la liste est n=5 (les indices vont de 0 à 4), - l"indice du milieu est l"indice 2, - la médiane est la valeur ????????, c"est donc 14. • Casnpair.
La médiane est la moyenne entre la valeur de la liste au rangn2 1et celle au rangn2. Exemple avec????? ? ?????????????:
- la longueur de la liste est n=4 (les indices vont de 0 à 3), - les indices du milieu sont 1 et 2, - la médiane est la moyenne entre ????????et????????, c"est donc14+192 =16.5. Nombres complexes IChapitre
2Nous allons faire des calculs avec les nombres complexes. Ce sera facile car??????sait les manipuler.Cours 1(Nombres complexes).
Avec??????, tu manipules les nombres complexes comme les autres nombres. La notation pour le nombre complexei(qui vérifiei2= 1) est le symbole?(plus exactement??). Par exemple, le nombre complexe4 3ise note????. Ensuite les opérations classiques s"écrivent comme d"habitude : par exemple
le calcul(1+2i)(4 i)s"écrit?????????????et??????renvoie????. • Additionz1+z2:?? ? ??
• Multiplicationz1z2:?? ? ??
• Puissancezn:?? ?? ?
• Inverse1z
:??? • Partie réelleadez=a+ib:??????(sans parenthèses) • Partie imaginairebdez=a+ib:??????(sans parenthèses) • Modulejzj=pa
2+b2:??????
• Conjugué¯z=a ib:?????????????
Bien sûr??????ne fait pas toujours des calculs exacts (par exemple, lors d"une division ou pour le calcul
d"un module), car les nombres sont des nombres complexes flottants.Activité 1(Manipuler les nombres complexes).
Objectifs : faire des calculs avec les nombres complexes. 1. Définis les nombres complexes z1=1+2ietz2=3 i. Demande à la machine de calculer : z 1+z2z1z2z2
1jz1j1z
1 2. Définis le nombre complexez= (3 4i)2(2+i). Calcule à la machine la partie réelle dez, sa partie
imaginaire et son conjugué. 3. Définis tes propres fonctions pour les opérations sur les nombres complexes. Représente le nombre
complexez=a+ibpar le couple de réels(a,b)etz0=a0+ib0par le couple de réels(a0,b0)(tu n"as pas le droit d"utiliser les nombres complexes de??????). • Programme une fonction???????????????????qui renvoie le couple de réels correspondant au résultat de(a+ib)+(a0+ib0). • Programme une fonction?????????????????????????qui renvoie le couple de réels corres- pondant au résultat de(a+ib)(a0+ib0). NOMBRES COMPLEXESI10•Programme une fonction?????????????qui renvoie le couple de réels correspondant au
conjugué dea+ib. • Programme une fonction???????????qui renvoie le module dea+ib(c"est un nombre réel). • Programme une fonction????????????qui pourz=a+ibteste d"abord sizn"est pas nul et dans ce cas renvoie le couple de réels associé à l"inverse dezen utilisant une des formules :
1z =¯zjzj2ou1z =a iba 2+b2. • Programme une fonction????????????????qui pourz=a+ibetn>0, renvoie le couple de réels associé àzn. (Indications.Par définitionz0=1. On pourra construire une boucle et utiliser
une des fonctions précédentes.)Cours 2(Rappels Matplotlib). Voici comment afficher des points de coordonnées(x,y)et un segment à l"aide du module??????????.
?????? ????????????????? ?? ??? ????????? ? ???? ?? ???? ???????????????? ?????????? ??????????????? ??? ? ???????????????? ?????????? ??????????????? ??? ? ??????????????????????????????? ??? ???? ????????? ?? ? ? ?? ? ? ???????????????????????????????????? ?? ????? ??????? ?? ? ? ?? ? ? ????????????????????????????????????? ?? ?????? ????? ? ?? ??????? ???? ??? ??? ???? ?? ??????????????????????????????????????? ?????????? ? ???? ????? ?? ?? ??? ? ??? NOMBRES COMPLEXESI11Activité 2(Visualiser les nombres complexes). Objectifs : afficher un point connaissant son affixe z. 1.Dessine le point d"affixe1et celui d"affixei. Pour un nombre complexez, par exemplez= 2+3i,
dessine le point d"affixez. 2. P ourun nombre complexe z, par exemplez=3 2i, dessine les points d"affixes : z2z iz¯zz2jzj1z 3. • Programme une fonction??????????????????????????qui trace le triangle dont les sommets ont pour affixesz1,z2,z3.• On fixez2C. Quelle semble être la nature du triangle déterminé parz, 2z,(1+2i)z? • On pose!= 12+
p3 2 i . On fixez2C. Quelle semble être la nature du triangle donné parz,!z, !2z? NOMBRES COMPLEXESI12Activité 3(Résolution d"une équation linéaire).Objectifs : résoudre des équations linéaires en utilisant les nombres complexes. Ici nous allons
" hacker » les nombres complexes. En informatique un " hack » est un détournement d"une fonc-
tionnalité. Résolution.
Tuvasprogrammerunefonction????????????????????????????????????quicalcule et renvoie la solution d"une équation linéaire. L"équation est donnée en paramètre sous la forme d"une
chaîne de caractères. Par exemple avec?????? ? ??, la fonction renvoie???????????comme valeur approchée de 37 . Autre exemple avec :???????? ? ? ? ??????, la fonction renvoie????. Attention : il faut explicitement écrire les multiplications avec le caractère "?». Astuce.L"idée est la suivante, une équation linéaire se ramène à la forme : a+bx=0 dont une solution est ab. L"astuce est de remplacer chaque "x» de l"équation par le nombre complexei.
On obtient ainsi un nombre complexea+ib. En extrayant la partie réelle et la partie imaginaire, on
renvoie la solution (réelle) a=b. Exemple simple.
Partant de l"équation7x+3=0, on ne garde que la partie gauche de l"équation7x+3. On remplace la lettrexpar le nombre complexei, on obtient7i+3. On extrait sa partie réellea=3et sa partie imaginaireb=7. On renvoie la solution a=b= 37 . Exemple compliqué.
Soit l"équation3(x+1)+x=2x+1. Il faut d"abord tout basculer à gauche du signe égal afin de se ramener à l"équation3(x+1)+x 2x+1=0. On ne garde que l"expression à
gauche du signe égal :3(x+1)+x 2x+1. On remplace ensuite la variablexpar le nombre complexe i. L"expression devient un nombre complexe3(i+1)+i 2i+1. On notezce nombre complexe, on calcule sa partie réellea=2et sa partie imaginaireb=2. On calcule a=b= 1. La solution de notre équation est doncx= 1.Algorithme.
• - Entrée : une chaîne de caractères représentant une équation linéaire en x. - Sortie : la valeur numérique de la solution x.
• Soient?et?les deux chaînes de part et d"autre du signe "=». (Utilise???????????????????.) •Former la chaîne correspondant à la partie gauche moins la partie droite :? ? ???? ? ? ? ???.
•Pour remplacerxpari, il faut remplacer le caractère???par la chaîne????. (Utilise ????????????????????????????.) On obtient ainsi une chaîne?????. • Transformer la chaîne en un nombre complexe par l"opération : ? ? ??????????? • Calculer la partie réelle?et la partie imaginaire?de?. • Renvoyer????.Cours 3(Équation du second degré). Soita,b,c2Raveca6=0. On considère l"équation az 2+bz+c=0.
On note=b2 4ac. Selon le signe deles solutions sont les suivantes : NOMBRES COMPLEXESI13•
>0 : deux solutions réellesz1= b+p 2aetz2= b p
2a. • =0 : solution doublez0= b2a. • <0 : deux solutions complexesz1= b+ipjj2aetz2= b ipjj2a.Activité 4(Équation du second degré).
Objectifs : résoudre les équations du second degré, y compris lorsque le discriminant est négatif.
On considère l"équation :
az 2+bz+c=0 aveca,b,c2Reta6=0.
1.Équation du second degré.Programme une fonction???????????????????????qui renvoie les
solutions de l"équation sous la forme d"une liste de deux nombres???????(si la solution est double,
renvoie la liste???????). Exemple. Calcule les solutions de :
z 2 2z+1=0z2+z 1=0z2+z+1=0
2.Somme et produit.
Lorsque l"on connaît la sommeSet le produitPde deux nombresz1etz2, on peut retrouverz1etz2. Comment faire? Réponse :z1etz2sont les solutions de l"équation : z 2 Sz+P=0.
Programme une fonction???????????????????????????qui renvoie la liste???????des solu- tions. Exemple. Trouve deux nombres dont la somme est 10 et le produit est 20. 3.Équation bicarrée.Une équation bicarrée est de la forme :
ax 4+bx2+c=0.
Nous étudions seulement les cas où=b2 4ac>0, pour lesquels l"équation admet4solutions (réelles ou complexes). On commence par poserX=x2et résoudre l"équation du second degré : aX 2+bX+c=0.
Cette dernière équation admet deux solutions réellesX1etX2. Pour chacune de ces solutionsX: • siX>0, on obtient deux solutions,+pXet pX; • siX<0, on obtient deux solutions,+ip Xet ip X. On obtient ainsi 4 solutions (2 associées àX1et 2 associées àX2). Programme une fonction???????????????????????qui renvoie les4solutions de l"équation ax4+bx2+c=0 après avoir vérifié que=b2 4ac>0. Exemple. Trouve les 4 solutions de l"équationx4 2x2 3=0.Activité 5(Famille de racines). Objectifs : afficher les solutions d"une famille d"équations du second degré. 1.Afficher les racines.
Programme une fonction??????????????????????qui affiche les deux points correspondant aux deux solutions de l"équationax2+bx+c=0. NOMBRES COMPLEXESI14Amélioration.C"est mieux d"autoriser en argument optionnel le choix de la couleur du point par une
entête????????????????????????????????????. Retrouve sur la figure ci-dessous les racines des polynômesx2 2x+1=0,x2+x 1=0etx2+x+1=0.2.Famille de racines.On considère deux polynômes
P 0(x) =x2+b0x+c0avec0=b2
0 4c060,
P 1(x) =x2+b1x+c1avec1=b2
1 4c160.
On définit pour 06t61 :
P t(x) = (1 t)P0(x)+tP1(x) =x2+ (1 t)b0+tb1x+(1 t)c0+tc1. Question.Quelle forme a l"ensemble des racines de la famillefPt(x)g06t61? Programme une fonction????????????????????????????: • qui affiche les solutions deP0(x) =0 (en rouge par exemple), • qui affiche les solutions deP1(x) =0 (en vert par exemple), • qui affiche les solutions dePt(x) =0 pournvaleurst, avec 06t61 (en bleu par exemple). Pour les valeurs det, tu peux les choisir de la formek=navec 06kintermédiaires. Pour répondre à la question il faut afficher plus de points intermédiaires. Nombres complexes IIChapitre
3On poursuit l"exploration des nombres complexes en se concentrant sur la forme module/argument.Cours 1(Nombres complexes).
Module/argument.Tout nombre complexez2C, s"écrit : z=r(cos+isin) où • r=jzjest le module dez, • et2Rest unargument.jzj01iz RiRarg(z)Unicité.Siest un argument, alors n"importe quel+2kest aussi un argument. Pour éviter cette indécision, on peut imposer àd"appartenir à l"intervalle] ,+], l"argument est
alors unique. Pourz2C, il existe un unique couple(r,)avecr>0 et2] ,+]tel que : z=r(cos+isin). Remarques.
• Une autre convention aurait été de choisir l"intervalle[0,2[. • L"écriture(r,)s"appelle aussi l"écriture en coordonnées polaires d"un nombre complexe,paropposition
à l"écriturez=a+ibqui est l"écriture cartésienne.Cours 2(Module?????). Le module?????fournit des outils supplémentaires pour les nombres complexes. Pour éviter les conflits
avec le module????nous l"importerons par : ?????? ????? 1.??????????????
renvoie l"argument2] ,+]du nombre complexez. Exemple : ?????????????????renvoie?????????qui correspond à la valeur 4 . 2. Rappel : ??????renvoie le modulejzj(c"est une fonction interne à??????). NOMBRES COMPLEXESII163.??????????????renvoie le couple module/argument(r,). Exemple :?????????????????ren-
voie?????????? ??????????qui correspond au couple(r,) = (p2, 4 ). 4.???????????????????
renvoie le nombre complexe dont le module estret l"argument. Exemple : ??????????????????renvoie???????? ? ?????????et correspond àp2+ip2. Activité 1(Module/argument).
Objectifs : utiliser??????pour calculer et mieux comprendre la forme module/argument. 1. Pour un nombre complexez, par exemplez=1+3iouz=1+i, calcule son module et son argument à l"aide de??????.
2. Quel nombre complexe a pour module2et argument3? Même question pour le complexe de module 3et d"argument32. Essaie de deviner la réponse exacte à partir des valeurs approchées données par
??????. 3. À l"aide du module??????????, place le point d"affixezdont on te donne le module et l"argument, par exemple de modulep2 et argument 6 . 4. Soitn>3. Soit!le nombre complexe de module1et d"argument2n. Trace le polygone ayant pour sommets les points d"affixes : 1,!,!2,...,!n 1.
Quelle est la nature de ce polygone?Activité 2(Module/argument (suite)). Objectifs : créer tes propres fonctions qui permettent la conversion entre l"écriture cartésienne d"un
nombre complexe et son écriture sous la forme module/argument. Tu vas écrire tes propres fonctions pour calculer avec les modules et les arguments. 1. Programme une fonction???????????????????????????????????????qui renvoie le nombre complexez(sous la forme d"un nombre complexe??????) dont le module et l"argument sont donnés. Utilise la formule
z=rcos+irsin. Compare ton résultat avec la fonction????du module?????. NOMBRES COMPLEXESII172.Programme une fonction?????????????????????????qui renvoie le module et l"argument du
nombre complexez. Récupère d"abord la partie réellexet la partie imaginaireydez. Le module est
alors facile à calculer. L"argument se calcule par la formule : =atan2(y,x) La fonction?????est une variante de la fonction " arctangente » et est disponible dans le module ????. Compare ta fonction avec les fonctions?????et?????du module?????. 3. Programme une fonction???????????????????????????????qui renvoie une mesure de l"angle dans l"intervalle] ,+]. Par exemple soit=52, comme= 2+32alors0= 2est la mesure de l"angle dans l"intervalle] ,+]. Indication.Commence par ramener l"angle dans l"intervalle[0,2[, puis discute selon la valeur. Une fois terminé compare ton résultat avec la commande????? ? ????.Cours 3(Notation exponentielle).
• Notation exponentielle.On note
e i=cos()+isin(). C"est donc le nombre complexe de module 1 et d"argument. • Formules d"Euler.Un petit calcul conduit à :
cos=ei+e i2 et sin=ei e i2i. • Formule de Moivre.
(cos+isin)n=cos(n)+isin(n). Avec la notation exponentielle, l"écriture de cette formule est très simple : ein=ein.Activité 3(Euler, de Moivre, Gauss).
Objectifs : mettre en oeuvre plusieurs formules.
1.Euler.
Programme deux fonctions??????????et????????qui calculent et renvoient le cosinus et le sinus d"un réeltdonné en utilisant les formules d"Euler. Indication.Utilise ta fonction????????????????????????de l"activité 1 pour calculereit. Exemple.Retrouve le sinus et le cosinus det=6
. 2.de Moivre.
Programme une fonction??????????????????qui calculeznà l"aide de la formule de Moivre selon le principe suivant :
• Écrirezsous la formez=rei(utilise ta fonction????????????????????????). • Calculerrnetn.
• Renvoyerzngrâce à la formule de Moivrezn=rnein(utilise ta fonction ????????????????????????). Exemple.Calcule(2 3i)10.
Complexité.LaformuledeMoivrepermetderemplacerlecalculd"unepuissanced"un nombrecomplexe par le calcul de la puissance d"un nombre réel (son module). 3.Gauss.
Comment calculer plus rapidement le produit de deux nombres complexes? Soitz=a+ib NOMBRES COMPLEXESII18etz0=c+id. La formule naïve donnée par la définition est : zz0= (ac bd)+i(ad+bc). Pour calculer un produit de deux nombres complexes, il faut donc calculer le produit de 4 nombres réels :ac,bd,ad,bc.Nous allons voir deux méthodes, dues à Gauss, qui ne nécessitent que3multiplications de nombres
réels. Méthode 1.Calculerr=ac,s=bd,t= (a+b)(c+d), alorsz= (r s)+i(t r s). Méthode 2.Calculerr=c(a+b),s=a(d c),t=b(c+d), alorsz= (r t)+i(r+s). Programme trois fonctions du type???????????????????????qui renvoient la partie réelle et la partie imaginaire de(a+ib)(c+id)par les trois méthodes décrites ici. Teste tes fonctions en
calculant(2+5i)(3 2i).Activité 4(Cercles et droites). Objectifs : tracer des cercles et des droites en utilisant les nombres complexes. 1. Programme une fonction?????????????????????qui trace et affiche les points d"affixezdonnés dans la liste. Indication.Utilise la commande????????????????provenant de??????????. C"est encore mieux si tu autorises les arguments optionnels avec une entête du type ??????????????????????????????????????????????. 2. Programme une fonction ??????????????????qui renvoie une liste de complexeszappartenant au cercle centré enz0et de rayonr. Indications.
• Ces complexeszvérifientjz z0j=ret sont donc de la forme : z=re2i, 06 <1. • C"est mieux d"avoir en argument optionnel le nombre de points avec une entête du type ????????????????????????????????. • Trace le cercle à l"aide de ta fonction???????????????. Figure.Voici le cercle de centre2+3iet de rayonp2, ainsi que le segment entre les points d"affixes 2 iet 1+3i. NOMBRES COMPLEXESII193.Programme une fonction????????????????????qui renvoie une liste de complexeszappartenant
au segment[z0,z1]. Indications.
• Ces complexeszvérifientz2[z0,z1]et sont donc de la forme : z= (1 t)z0+tz1, 06t61. • C"est mieux d"avoir le nombre de points en argument optionnel avec une entête du type ??????????????????????????????????. • Trace le segment à l"aide de ta fonction???????????????.Activité 5(Transformations du plan). Objectifs : définir des transformations du plan à l"aide des nombres complexes. 1. Programme les fonctions suivantes. Chaque fonction est du type??????????????????????et renvoie la liste desf(z)pourzparcourant la liste donnée : • une fonction?????????????????????qui correspond à la translationz7!z+v, oùv2Cest fixé, • une fonction????????????????????qui correspond à l"homothétie de centre0et de rapport k2R:z7!kz, • une fonction??????????????????????qui correspond à la rotation d"angle, centrée en0: z7!zei, • une fonction????????????????qui correspond à la symétrie axialez7!¯z. Affiche ensuite l"image d"un cercle et d"un carré pour chacune de ces transformations (un carré est
formé de quatre segments!). Ci-dessous un cercle et un carré (en bleu) et leur image pour chaque
transformation (en rouge). NOMBRES COMPLEXESII202.Programme une fonction?????????????????qui correspond à l"inversion qui est l"application
z7!1z (pourz2C). En particulier essaie de conjecturer en quoi est transformée une droite, en quoi est transformé un
cercle (les cas où la droite ou le cercle passent par l"origine sont spéciaux). Ci-dessous un cercle et un carré (en bleu) et leur image par l"inversion (en rouge).3.Programme une fonction ????????????????qui correspond à l"applicationz7!z2.
Ci-dessous un cercle et un carré (en bleu) et leur image (en rouge). NOMBRES COMPLEXESII21
Dérivée - Zéros de fonctionsChapitre
4Nous étudions les fonctions : le calcul de la dérivée d"une fonction, le tracé du graphe et de tangentes,
et enfin la recherche des valeurs en lesquelles la fonction s"annule.Cours 1(Dérivée). Par définition le nombre dérivé defena(s"il existe) est : f 0(a) =limh!0f(a+h) f(a)h
. Dans cette fiche nous supposerons que toutes les dérivées étudiées existent. Voici l"interprétation géométrique du nombre dérivé :f0(a)est le coefficient directeur de la tangente au
graphe defau point d"abscissea.grapheMtangente a Cours 2(Fonction lambda).
Une fonction lambda (lettre grecque) est une façon simple de définir une fonction en??????qui s"apparente à une fonction mathématique. Par exemple : ? ? ?????? ?? ???? Cela définit une fonction?????? ?qui correspond à la fonction mathématiquefdéfinie parf:x7!x2.
Ainsi????renvoie?,????renvoie?...
C"est une alternative condensée au code suivant : ??? ????? ?????? ???? Une fonction est un objet??????comme un autre. Elle peut donc être utilisée dans le programme comme
dans l"exemple suivant qui teste sif(a)>f(b): DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS23??? ?????????????????????? ?? ???? ? ????? ?????? ???? ????? ?????? ????? Pour les deux fonctions?définies au-dessus (soit à l"aide de??????, soit à l"aide de???) alors
????????????????????? renvoie " Faux ».À l"aide des fonctions lambda on peut aussi se permettre de ne pas donner de nom à une fonction, comme
ci-dessous avec la fonctionx7!1x . Alors ????????????????????? ?????????? qui renvoie " Vrai » (?????? ?????joue le rôle de?).Activité 1(Calcul de la dérivée en un point).
Objectifs : calculer une valeur approchée de la dérivée en un point. On va calculer une valeur approchée du nombre dérivéf0(a)en calculant le taux d"accroissement
f(a+h) f(a)h avechsuffisamment petit. 1. Définis la fonctionf,x7!xp1 x. Deux méthodes : soit à l"aide de??? ????????, soit par ? ? ?????? ?????Calcule les valeurs approchées def(k)pourk2 f0,1,2,...,5g. 2. Programme une fonction????????????qui calcule une valeur approchée de la dérivée defena par la formule f 0(a)'f(a+h) f(a)h
en prenant par exemple pour valeurh=0.0001. Pour la fonctionf:x7!x3, compare la valeur approchée enaque tu obtiens avec la valeur exacte def0(k)pourk2 f0,1,2,...,5g. Diminue la valeur dehpour obtenir une meilleure approximation.Activité 2(Graphe d"une fonction et tangente).
Objectifs : tracer le graphe d"une fonction ainsi que des tangentes. Soitf:[a,b]!Rune fonction. Son grapheGfest :
G f= x,f(x)jx2[a,b] xf(x)(x,f(x))G fab DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS241.Calculer des points.Soitfune fonction définie sur un intervalle[a,b]. On divise l"intervalle[a,b]
ennsous-intervalles de longueurb an en définissant : x k=a+kb an .ab x 0x 1x 2x kx nb an Programme une fonction???????????????qui calcule et renvoie la liste des points xk,f(xk) pourk=0,...,n.xy ab x 0x 1x kx nf(xk)Par exemple pour? ? ?????? ?? ???alors???????????????renvoie la liste : ???? ??? ????? ?????? ????? ????? ????? ?????? ????? ????? 2.Afficher des points.
Programme une fonction???????????????????????qui affiche une liste de points. Indications.Tu peux utiliser le module???????(ou bien le module??????????). Tu peux utiliser une variable???????pour contrôler la taille de l"affichage. Les figures ci-dessous sont tracées pour
la fonctionfdéfinie parf(x) =pxsur l"intervalle[0,4].3.Tracerlegraphe. Améliorelafonctionprécédentepourécrireunefonction???????????????????? qui trace le graphe def. Indications.Il suffit de reliernpoints du graphe entre eux pournassez grand (avec5points à gauche et 20 points à droite). DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS254.Tracer une tangente. Trace la tangente au graphe au point(a,f(a))par une fonction????????????????????.Indications.On se place au point(x,y) = (a,f(a)). En ce point la pente de la tangente est donnée
parf0(a). En posant dx=1 etdy=f0(a) alors on représente une demi-tangente par le segment reliant(x,y)à(x+dx,y+dy). L"autre demi-tangente est représentée par le segment reliant(x,y)à(x dx,y dy).x=ay=f(a)dx=1dy=f0(a) Cette activité peut être l"occasion d"utiliser les arguments optionnels, par exemple au lieu de définir la
fonction???????????????par l"entête : ??? ????????????????????? et d"avoir des variables locales?et???????, tu peux définir ta fonction par : ??? ????????????????????????????????????? Ce qui permet d"avoir une valeur de?et de???????par défaut, en conservant la possibilité de les
changer. Des appels possibles sont : • ????????????????????; • ??????????????????????????pour tracer plus de points; • ???????????????????????????????pour changer l"échelle. DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS26
DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS27Cours 3(Dichotomie). Le méthode de dichotomie est basée sur cette version du théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème.Soitf:[a,b]!Rune fonction continue. Sif(a)etf(b)sont de signes contraires, alorsf s"annule au moins une fois sur l"intervalle[a,b]. Autrement dit, il existe`2[a,b]tel quef(`) =0.xy a f(a)<0bf(b)>0` xy af(a)>0b f(b)<0` Principe de la dichotomie
( o o signifie "coupé en deux»). On sait que notre fonctionfs"annule sur[a,b]. On calculef a+b2 , c"est-à-dire l"image du milieu du segment[a,b]. On cherche ensuite oùf peut s"annuler par rapport à ce milieu : • Sif(a)etf a+b2
sont de signes contraires alorsfs"annule sura,a+b2 , • sinonfs"annule sura+b2 ,b.xy a ba+b2f(a+b2 )>0xy a ba+b2 f(a+b2 )<0On recommence l"opération sur l"intervalle a,a+b2 ou bien sur l"intervallea+b2 ,b. Remarques :
• f(a)etf(b)sont de signes contraires si et seulement sif(a)f(b)60. • On va construire des intervalles de plus en plus petits qui contiennent une solution`, def(`) =0. On obtient donc un encadrement de`(mais pas sa valeur exacte). • Il se peut quefs"annule plusieurs fois, mais la méthode de dichotomie ne fournit l"encadrement que
d"une seule solution. • Pour expliquer la partie " si » du principe de la dichotomie, on applique le théorème des valeurs
intermédiaires sura,a+b2 . Pour expliquer la partie " sinon », on remarque d"abord quef(b)et f a+b2 doivent être de signes contraires, puis on applique le théorème des valeurs intermédiaires.
DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS28Exemple.
On cherche " à la main » une valeur approchée dep2. • Soitfdéfinie parf(x) =x2 2. On se place sur l"intervalle[1,2]. •Commef(1) = 160etf(2) =2>0et quefest continue alorsfs"annule sur l"intervalle[1,2] par le théorème des valeurs intermédiaires. Bien sûr, icifs"annule en`=p2. Pour l"instant on a
prouvé : 16p262. • On divise l"intervalle[1,2]en deux parties, le milieu étant32 , on calcule : f 32
=32 2 2=14 >0. Donc sur le demi-intervalle[1,32]on af(1)60etf(32)>0, et c"est bien là quefs"annule. Autrement dit 16p2632
. C"est un encadrement deux fois plus précis qu"auparavant. • On divise l"intervalle[1,32
]en deux parties, le milieu étant54 , on calcule : f 54
=54 2 2= 716 60.
Donc sur le demi-intervalle[54
,32 ]on af(54 )60 etf(32 )>0, ainsi54 =1.256p2632 =1.5. • On continue ainsi, on obtient des intervalles[ai,bi]de plus en plus petits qui encadrentp2 : a 0=1b0=2
a 1=1b1=1.5
a 2=1.25b2=1.5
a 3=1.375b3=1.5
a 4=1.375b4=1.4375
a 5=1.40625b5=1.4375
a 6=1.40625b6=1.421875
a 7=1.4140625b7=1.421875
a 8=1.4140625b8=1.41796875
Donc en8étapes on prouve que1.41406256p261.41796875. En particulier on obtient les deux premières décimales dep2 : p2=1.41...xy 121.51.251.375x
2 2Activité 3(Dichotomie).
Objectifs : trouver une solution approchée d"une équation f(x) =0. Le principe de la dichotomie se décline en l"algorithme suivant : DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS29Algorithme.
• - Entrée : une fonction f, un intervalle[a,b]avecf(a)f(b)60, une marge d"erreur. -Sortie : un intervalle[a0,b0]tel quejb0 a0j6sur lequelfs"annule, autrement dit, il existe a06`6b0tel quef(`) =0. • Tant quejb aj> :
- poser c=a+b2 , - si f(a)f(c)60, faireb c, - sinon, faire a c. • À la fin renvoyeraetb(qui encadrent la solution).1.Programme cet algorithme en une fonction ?????????????????????????.
2.Exemples.
(a) Trouve une valeur approchée dep3à10 3près, en utilisant la fonction définie parf(x) =x2 3
sur l"intervalle[1,2]. (b) T rouveune valeur approchée de
3p5, en utilisant la fonction définie parf(x) =x3 5.
(c) T rouveune valeur approchée de chacune des trois solutions de l"équation x5 3x+1=0. 3. Soit la fonction définie parf(x) =x2 3sur l"intervalle[1,2]. Combien faut-il d"étapes pour obtenir
une approximation dep3 avec 10 décimales exactes après la virgule? Cours 4(Méthode de Newton).
On va voir une autre méthode très efficace pour obtenir une valeur approchée d"une solution`def(`) =0.
L"idée de la méthode de Newton est d"utiliser la tangente : • on part d"une valeurx0quelconque, • on trace la tangente au graphe defau point d"abscissex0, • cette tangente recoupe l"axe des abscisses en un point d"abscissex1(figure de gauche), • cette valeurx1est plus proche de`quex0, • on recommence à partir dex1: on trace la tangente, elle recoupe l"axe des abscisses, on obtient une
valeurx2... (figure de droite).tangente enx0x 0x 1` x 0tangente enx1x
1x 2 On va ainsi définir une suite(xn)par récurrence. L"équation de la tangente en une valeurxnest donnée
pary f(xn) =f0(xn)(x xn). En partant d"une valeurx0, on obtient une formule de récurrence, pour DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS30n>0 :
x n+1=xn f(xn)f 0(xn).Pour que cette méthode fonctionne il faut tout de même partir d"une valeurx0pas trop éloignée de la
solution`cherchée.Exemple. On cherche encore " à la main » une valeur approchée dep2. • Soitfdéfinie parf(x) =x2 2. On a doncf0(x) =2x. • On part dex0=2.
• On calculef(x0) =2 etf0(x0) =4. Par la formule de récurrence : x 1=x0 f(x0)f
0(x0)=32
=1.5 • On calculef(32
) =14 ,f0(32 ) =3 et donc x 2=x1 f(x1)f
0(x1)=1712
=1.41666... • Puisx3=1.4142156... qui a déjà 5 chiffres après la virgule de corrects!Activité 4(Méthode de Newton).
Objectifs : programmer la méthode de Newton.Algorithme. • - Entrée : une fonction f, une valeur de départa, un nombre d"itérationsn. - Sortie : une valeur approchée de `tel quef(`) =0. • Poserx=a.
• Répéternfois :
x x f(x)f 0(x) • À la fin renvoyerx(qui approche une solution).1.Programme cet algorithme en une fonction ?????????????.
Indication.Utilise ta fonction????????????avec unhtrès petit. 2.Exemples.
(a) Trouve une valeur approchée dep3à10 3près, en utilisant la fonction définie parf(x) =x2 3,
en partant dea=2. (b) T rouveune valeur approchée de
3p5, en utilisant la fonction définie parf(x) =x3 5.
(c) T rouveune valeur approchée de la solution de l"équation cos (x) =x. 3. Soit la fonction définie parf(x) =x2 3eta=2. Combien faut-il d"étapes pour obtenir une approximation dep3avec10décimales exactes après la virgule? Compare avec la méthode de la dichotomie! ExponentielleChapitre
5L"exponentielle joue un rôle important dans la vie de tous les jours : elle permet de modéliser la
vitesse de refroidissement de votre café, de calculer la croissance d"une population ou de calculer la
performance d"un algorithme.xyexpxe 1 10 Cours 1(La fonction exponentielle).
Voici un très court cours sur l"exponentielle.
• Lafonction exponentielleest la fonction exp :R!]0,+1[qui vérifie : exp(0) =1 et exp(x+y) =exp(x)exp(y). • On notee=exp(1) =2.718281...
• La fonction exponentielle est strictement croissante, strictement positive,limx! 1exp(x) =0, limx!+1exp(x) = +1. • exp( x) =1exp(x), exp(nx) = (exp(x))n. • On noteex=exp(x), de sorte queex+y=exey,e x=1=ex,e0=1,e1=e,enx= (ex)n... • La dérivée de l"exponentielle est elle même : exp0(x) =exp(x). • Lafonction logarithmeln:]0,+1[!Rest la bijection réciproque de la fonction exponentielle, c"est-à-dire : y=exp(x)()x=ln(y). Plus précisément :
exp ln(x)pour toutx>0, ln exp(x)pour toutx2R. Le logarithme vérifie ln(1) =0 et ln(xy) =ln(x)+ln(y). • L"exponentielle permet de définir une puissance avec des exposants réels : a b=exp bln(a). EXPONENTIELLE32Autrement ditab=ebln(a).Cours 2(Exponentielle et logarithme avec??????). •Pour obtenir une valeur approchée de l"exponentielle en un point il faut importer le module????par
la commande???? ???? ?????? ?puis utiliser la fonction?????. • Il y a plusieurs fonctions logarithmes accessibles depuis le module????. Celle qui correspond au logarithme népérienln(x)s"obtient par l"appel à la fonction?????. (À ne pas confondre avec la
notation mathématique log(x)qui désigne habituellement le logarithme décimal!) • Il est possible de faire des calculs de puissances, sans importer le module????, par la commande : ? ?? ? Objectifs des quatre premières activités : découvrir le comportement de l"exponentielle à travers des
activités variées.Activité 1(Les grains de riz). Pour le remercier d"avoir inventé le jeu d"échec, le roi des Indes demande à Sissa ce qu"il veut comme
récompense. Sissa répond : " Je souhaiterais que vous déposiez un grain de riz sur la première case,
deux grains de riz sur la seconde, quatre grains de riz sur la troisième... et ainsi de suite en doublant à
chaque case le nombre de grains. ». " Facile! » répondit le roi... 1. Combien faut-il de grains de riz au total pour recouvrir l"échiquier de 64 cases ? 2. Un kilogramme de riz contient50000grains. Quelle est la masse totale (en tonnes) de tous les grains de riz de l"échiquier? Et toi : préfères-tu recevoir1million d"euros d"un coup ou bien1centime le premier jour, puis2centimes
le second, 4 centimes le jour suivant... pendant un mois?Activité 2(Le nénuphar qui s"agrandit).
Un nénuphar multiplie sa surface d"un facteur1.5chaque jour. Au dixième jour sa surface vaut100m2.
1. Quelle surface recouvre le nénuphar au quinzième jour ? 2. Quelle surfaceS9recouvrait le nénuphar le neuvième jour? Et le huitième jour? Calcule la surface
S0que recouvrait le nénuphar le jour initial (le jour 0). 3. T rouvela formule S(j)qui exprime la surface recouverte au jourj, en fonction dejet deS0. Définis une fonction???????????????????qui renvoie cette surfaceS(x). Le paramètrexrepré- sente le nombre de jours écoulés, mais n"est pas nécessairement un nombre entier. Vérifie que tu peux utiliser indifféremment une commande du type? ?? ?(pourax) ou bien ?????????????pour exp xln(a). 4. Trouve par tâtonnement ou par balayage au bout de combien de jours la surface du nénuphar est de
10000m2. Donne la réponse avec deux chiffres exacts après la virgule.
5. (Si tu maîtrises le logarithme.) Trouve l"expression dexen fonction de la surface couverteS. Pro- gramme une fonction????????????????qui renvoie le nombre de jours écoulésxpour atteindre la surfaceSdonnée. Par exemple??????????????????renvoiex=11.709... EXPONENTIELLE33Activité 3(Demi-vie et datation au carbone 14).Le carbone 14 est un élément radioactif présent dans le corps de chaque être vivant et qui disparaît peu
à peu à sa mort par désintégration. En mesurant le taux de carbone 14 par rapport au taux de carbone
ordinaire (qui lui ne se désintègre pas), on peut dater l"époque à laquelle a vécu l"être vivant (jusqu"à
40000 ans en arrière).
Le nombre d"atomes de carbone 14 suit une loi exponentielle donnée par la formule : N(t) =N0exp
tln(2)T où : • N(t)est le nombre d"atomes restant aprèstannées, • N0est le nombre d"atomes initial, on prendra iciN0=1000, • Test la période de demi-vie des atomes de carbone 14,T=5730.tN(t)0N 0N 02 T 1. Programme une fonction???????????????????????????qui renvoieN(t). Combien reste-t-il d"atomes sur les 1000 atomes de départ au bout de 100 ans? 2. (a) V érifiemathématiquement et expérimentalement que N(t) =N02 t=T.
(b) Combien reste-t-il d"atomes au bout deT=5730années? Justifie le terme de " demi-vie » pour la duréeT. (c) Combien reste-t-il d"atomes au bout de 2 Tannées? Au bout de 3Tannées? ... (d) Saurais-tu trouver de tête environ combien il reste d"atomes au bout d"une période de10demi- vies? 3. On souhaite dater un échantillon à partir de sa teneur en carbone 14. (a) V érifiemathématiquement que
t= Tln(2)lnN(t)N 0 . (b) Programme une fonction????????????????????????????qui renvoie la date de l"échantillon en fonction du nombre d"atomesNmesuré. (c) Vérifie que si on mesureN=500atomes sur lesN0=1000initial, alors l"échantillon a bien l"âge que l"on pense. (d) Tu as trouvé un échantillon d"une espèce disparue, l"Animagus PythoniscusavecN=200atomes sur lesN0=1000 initial. Quand a vécu cet animal? EXPONENTIELLE34Activité 4(La loi de refroidissement de Newton).On place un corps chaud de température initialeT0(par exempleT0=100C) dans une pièce plus froide
de températureT1(par exempleT1=25C). Le corps chaud se refroidit progressivement jusqu"à atteindre la température de la pièce (au bout d"un temps infini). La loi de refroidissement de Newton
exprime le températureT(t)du corps en fonction du tempst(en minutes) : T(t) T1= (T0 T1)e kt
oùkest une constante que l"on va déterminer expérimentalement.tT(t)0T 0T 11.V érifiemathématiquement que T(0) =T0et que limt!+1T(t) =T1.
2. On fixeT0=100C,T1=25Cet on va déterminerkà l"aide d"une information supplémentaire. On mesure qu"à l"instantt1=10 minutes, la température du corps estT1=65C. Prouve que la constantekest donnée par la formule : k= 1t 1lnT1 T1T
0 T1
. 3. Maintenant que tu connaisk, programme une fonction??????????????qui renvoie la température T(t). Quelle est la température au bout de 20 minutes de refroidissement? 4. Par tâtonnement, par balayage ou en résolvant une équation, trouve au bout de combien de temps
(arrondi à la minute près) la température du corps atteint 30C.Activité 5(Définition de l"exponentielle).
Objectifs : programmer le calcul deexp(x)par différentes méthodes. 1.Limite d"une suite.On a
exp(x) =limn!+1 1+xn n. Déduis-en une fonction?????????????????????????qui renvoie une valeur approchée deexp(x) pour une valeur den(assez grande) fixée. Teste ta fonction pour calculerexp(2.8), avecn=10, puis100... Compare tes résultats avec la fonction?????? ?????. 2.Factorielle.Programme une fonction??????????????qui renvoie
n!=123n. Indications.Le plus simple est d"initialiser une variable????à1puis de programmer une boucle. Par convention 0!=1. Par exemple 10!=3628800. EXPONENTIELLE353.Somme infinie.On note
S n=1+x1! +x22! +x33! ++xkk!++xnn!=n X k=0x kk!. Alors exp(x) =limn!+1Sn.Déduis-en une fonction????????????????????????qui renvoie la valeur de la sommeSnet qui
fournit ainsi une valeur approchée de exp(x). Teste ta fonction avecn=10,n=15...
4.Méthode de Hörner.
Afin de minimiser les multiplications (du genrexk=xxx) voici la formule de Hörner qui est juste une réécriture de la sommeSndéfinie à la question précédente :
S n=1+x1 1+x2 1++x3 +xn 1 1+xn Et bien sûr :
exp(x) =limn!+1Sn. Programme une fonction?????????????????????????qui implémente cette méthode et renvoie la valeur deSn. Indications.Il faut partir du terme le plus imbriqué1+xnpuis construire cette expression à rebours à
l"aide d"une boucle. 5. (Un peu de théorie plus difficile.) Compare le nombre de multiplications effectuées pour les méthodes
des deux questions précédentes pour le calcul deSn. Par exemple le calcul dex33!nécessite deux
multiplications pourx3=xxxet deux multiplications pour3!=123. (Note : on ne compte pas les additions car c"est une opération peu coûteuse, et ici on ne tient pas compte des divisions car
il y en a autant pour les deux méthodes.) 6.Fraction continue d"Euler.
Voici une nouvelle formule pourSn=1+x1!+x22!++xnn!sous la forme d"une succession de fractions : S n=11 x1+x x2+x 2x3+x 3x4+x . ..n 1+x (n 1)xn+x On programme cette formule en partant de la fraction tout en bas par l"algorithme suivant :Algorithme.
• Action : calculer la sommeSnen fonction dex.
• InitialiserS 0.
• Pourkallant denà 1 (donc à rebours), faire : S xk+x kS
• À la fin, faireS 11 S.
• RenvoyerS.Programme cet algorithme en une fonction????????????????????????. EXPONENTIELLE367.Exponentielle de grandes valeurs.Les fonctions précédentes sont valables quel que soitx, mais
pour de grandes valeurs dex(par exemplex=100.5) il faut de grandes valeurs denpour obtenir une bonne approximation deexp(x). Pour remédier à ce problème nous allons voir un algorithme
qui permet de se ramener au calcul de l"exponentielle d"un réelf2[0,1[pour lequel les fonctions précédentes sont efficaces. L"idée est de décomposerxen sa partie entière plus sa partie fractionnaire : x=k+foùkest un entier et 06f<1. On utilise la propriété de l"exponentielle : e x=ek+f=ekef. Maintenant :
• ef =exp(f)s"obtient par le calcul de l"exponentielle d"un petit réel06f<1et se calcule bien par l"une des méthodes précédentes. • ek=eeeest le produit de plusieurse, c"est donc un simple calcul de puissance (et pas vraiment un calcul d"exponentielle). • Il faut au préalable avoir calculé une fois pour toutes la valeur de la constantee=exp(1) = 2.718... par l"une des méthodes précédentes.
Voici l"algorithme à programmer en une fonction?????????????????????????:Algorithme. • Action : calculer une approximation de exp(x).
• Préalable : calculer une fois pour toutes la valeur dee=exp(1)avec le maximum de précision. •Poserkla partie entière dex(utiliser???????). • Poserf=x k.
• Calculer une valeur approchée deexp(f)par l"une des méthodes précédentes en fonction d"un
paramètren. • Calculer exp(k) =ekpar le calcul de puissanceee • Renvoyer l"approximation correspondant au résultat exp(x) =exp(k)exp(f). LogarithmeChapitre
6Le logarithme est une fonction aussi importante que l"exponentielle. C"est le logarithme qui donne
l"ordre de grandeur de certaines quantités physiques, par exemple la puissance d"un séisme ou celle
d"un son.xy ln(x)e1 10 Cours 1(Le logarithme décimal).
On commence avec le logarithme décimal qui est plus facile à appréhender. Le logarithme décimal d"un
nombre réel positifx, est l"exposantyde ce nombre écrit sous la formex=10y. Autrement dit :x=10y()y=log10(x)Exemples.
• log10(102) =2, log10(103) =3, log10(10000) =4,... • On a aussi log10(10) =1, log10(1) =0.
• Comme 0.1=110
=10 1, on a log10(0.1) = 1. • Le logarithme est défini pour n"importe quelx>0. Par exemple pourx=25.5, on alog10(x) = 1.4065... Ce qui signifie que 101.4065...=25.5.
Propriété.La propriété fondamentale du l
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Si uj ui>uk ujalors fairek k+1.
•Lorsque la boucle " pour » se termine sans avoir obtenu de triplet, c"est qu"il n"y en a pas.Cours 2(Suites géométriques).
Pour une suite géométrique le quotient entre deux termes consécutifs est toujours le même.u
0u 1u 2u 3u4qqqq1.Définition.
Une suite(un)n2Nest unesuite géométriquederaisonqsi on aun+1=qunpour tout n>0.2.Formule de récurrence.
Une suite géométrique est donc entièrement définie par son premier terme u0et sa raisonq:terme initialu0et formule de récurrenceun+1=qun3.Formule directe.On calculeundirectement par la formule :u n=u0qn4.Exemple.2 6 18 54 162 ...
est le début de la suite géométrique de terme initialu0=2, de raisonq=3. La formule directe est
un=23n.5.Somme.La somme des termes deu0jusqu"àun(pourq6=1) est donnée par la formule :S
n=u0+u1+u2++un=u01 qn+11 qque l"on mémorise par : somme suite géométrique=terme initial1 raisonnombre de termes1 raisonSUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES5Activité 3(Suites géométriques).Objectifs : refaire la première activité sur les suites arithmétiques, mais cette fois pour les suites
géométriques. 1. Programme une fonction?????????????????????qui renvoie le terme de rangnde la suitegéométrique définie par le terme initialu0et la raisonq, en utilisant la formule de récurrence. Quel
est le termeu10de la suite géométrique définie paru0=13 etr=5? 2. Programme une fonction?????????????????????qui fait la même chose mais en utilisant cette fois la formule directe. 3. Programme une fonction?????????????????????????qui renvoie la liste des termes [u0,u1,u2,...,un]. 4. Programme une fonction??????????????????????qui teste si les termes[u0,u1,u2,...,un]de la liste donnée forment le début d"une suite géométrique.Indications.Si la liste est constituée des premiers termes d"une suite géométrique alors,un+1u
n=u1u0pour toutn. Utilise la question précédente.
5. Programme une fonction???????????????????????????qui calcule, en additionnant les élé-ments, la somme des termes de rang0ànd"une suite géométrique de terme initialu0et de raisonq.
Retrouve le même résultat par une fonction???????????????????????????qui utilise la formule de la somme donnée dans le cours ci-dessus.Vers quelle valeur a l"air de tendre la somme :
1+12 +14 +18 +116++12 n lorsquentend vers l"infini?Activité 4(Tracer la somme d"une suite géométrique). Objectifs : illustrer géométriquement la formule de la somme d"une suite géométrique. Voici un découpage d"un carré de côté 1 qui illustre la formule : 12 +14 +18 +116
++12 n=1 12 n1 2 1 41
8 1 16 1 2 n1 2 n1. Programme une fonction??????????????????????????qui affiche un carré de la longueur donnée. Utilise la tortue accessible depuis le module??????.
SUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES62.Programme une fonction??????????????????????????????qui trace un rectangle de hauteur
la moitié de sa longueur. Il coupe le carré précédent en deux parties égales. 3. Programme une fonction ?????????????????????qui construit notre figure.Indications.
• Par exemple, on commence par tracer un carré de longueur 256, • on trace un rectangle qui coupe le carré en deux, • puis on trace un carré de longueur 128, • puis on le découpe en deux, etc.De gauche à droite : le carré initial; le carré coupé en deux rectangles; un petit carré; un découpage
itéré.Preuves de la formule.On considère la suite :12
14 18 11612 n C"est la suite géométrique(un)de terme initialu0=12 et de raisonq=12 .
Preuve par le dessin.
Le grand carré a pour aire1, l"aire totale des zones rouges est12+14++12 n. La zone hachurée bleue a pour aire12 n. Les zones rouges et bleues recouvrent tout le carré, donc leur aire totale vaut1. Ce qui prouve la formule annoncée : 12 +14 +18 +116++12 n|{z} aire rouge+ 12 n|{z} aire bleue=1|{z} aire du grand carré
Preuve par le calcul.
La formule pour la somme est
S n 1=u0+u1+u2++un 1=u01 qn1 q (attention il y a bienntermes dans la somme) et donc ici : S n 1=12 +14 +18 +116++12 n=12 1 12 n1 12 =1 12 nActivité 5(Meilleure suite arithmétique).
Objectifs : on te donne une liste ordonnée, tu dois trouver la suite arithmétique qui approche le
mieux possible cette liste.Qu"est ce que la meilleure suite arithmétique qui approche une liste de nombres donnés? Par exemple
pour la liste[3,6,9,11], on a envie de l"approcher par la progression arithmétique[3,6,9,12]. On nous donne donc des termesv0,v1,...,vn(ordonnés du plus petit au plus grand). On va chercherSUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES7une progression arithmétiqueu0,u1,...,untelle que
d=jv0 u0j+jv1 u1j+jv2 u2j++jvn unjsoit le plus petit possible.On appelledladistanceentre[v0,v1,...,vn]et[u0,u1,...,un]. Pour l"exemple donné,[3,6,9,11]
approchée par[3,6,9,12], la distance vaut 1.1.Distance.Programme une fonction?????????????qui calcule la distance
d=jv0 u0j+jv1 u1j+jv2 u2j++jvn unj entre deux listesu= [u0,u1,...,un]etv= [v0,v1,...,vn].2.Meilleure constante.
On nous donne une listew= [w0,w1,...,wn], on cherche une constantem qui approche au mieux toutes les valeurs de la liste, c"est-à-dire telle que d=jw0 mj+jw1 mj+jw2 mj++jwn mj soit le plus petit possible. Un nombremqui convient est simplement la médiane de la liste! Par exemple pour[3,6,9,11], la médiane estm=7.5 et on a d=j3 7.5j+j6 7.5j+j9 7.5j+j11 7.5j=11 et on ne peut pas faire moins. Écris une fonction??????????????????????qui calcule la valeur médiane des éléments d"uneliste. Par définition, la moitié des valeurs est inférieure ou égale à la médiane, l"autre moitié est
supérieure ou égale à la médiane. Voir le rappel de cours juste après cette activité pour ce calcul.
3.Meilleure suite.
On va maintenant résoudre notre problème initial. On nous donne donc une liste v= [v0,v1,...,vn]et on cherche une progression arithmétiqueu= [u0,u1,...,un]. Pour trouver les (ui)on doit donc trouver un terme initialu0et une raisonr.Méthode.
• On va d"abord trouver unrapproché qui convient bien par une méthode de balayage. On cherche le meilleurren commençant parr=0puis, par petits pas on teste jusqu"à, par exemple, r=2(v1 v0). • Pour chaquer, le terme initialu0qui convient est la médiane de la liste(vi ir). (Justification : il faut minimiser la somme desjvi uij=jvi ir u0j;u0est donc la médiane des(vi ir).) Programme l"algorithme suivant en une fonction?????????????qui renvoie le terme initialu0 et la raisonrd"une suite arithmétique qui approche au mieuxv= [v0,v1,...,vn]. Le paramètreN correspond à la précision du balayage (plusNest grand, plus l"approximation sera bonne). SUITES ARITHMÉTIQUES- SUITES GÉOMÉTRIQUES8Algorithme. • - Entrée : une liste ordonnée de termes v= [v0,v1,...,vn]et un entierN. -Sortie : un terme initial u0et une raisonr.
•Définir un pasp=2v1 v0N
(ce sera le pas pour le balayage der). •Initialise une valeurdminpar une très grande valeur (par exempledmin=10000), cette variable stockera la distance la plus petite rencontrée. Deux variablesrminetu0,minmémoriseront les meilleursretu0trouvés. •Poserr=0.
•Pourkallant de 0 àN+1 :
-Calculer u0la médiane de(vi ir)(pour 06i6n).
- Définiru, la liste des premiers termes de la suite arithmétique de terme initialu0et de raison r(tu peux utiliser la fonction??????????????????????????de la première activité). -Calcule la distance dentre les listesuetv.
-Si d - F airer r+p.
• Renvoyeru0,minetrmin.Quelle est la meilleure progression arithmétique pour approcher la liste[6,11,14,20,24,29,37]?Cours 3(Médiane).
Par définition de lamédiane, la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, l"autre moitié
sont supérieures ou égales à la médiane. Voici comment calculer la médiane. On notenla longueur de la liste, on suppose que la liste est ordonnée
(du plus petit au plus grand élément). • Casnimpair.
La médiane est la valeur de la liste au rangn 12. Exemple avec????? ? ????????????????: - la longueur de la liste est n=5 (les indices vont de 0 à 4), - l"indice du milieu est l"indice 2, - la médiane est la valeur ????????, c"est donc 14. • Casnpair.
La médiane est la moyenne entre la valeur de la liste au rangn2 1et celle au rangn2. Exemple avec????? ? ?????????????:
- la longueur de la liste est n=4 (les indices vont de 0 à 3), - les indices du milieu sont 1 et 2, - la médiane est la moyenne entre ????????et????????, c"est donc14+192 =16.5. Nombres complexes IChapitre
2Nous allons faire des calculs avec les nombres complexes. Ce sera facile car??????sait les manipuler.Cours 1(Nombres complexes).
Avec??????, tu manipules les nombres complexes comme les autres nombres. La notation pour le nombre complexei(qui vérifiei2= 1) est le symbole?(plus exactement??). Par exemple, le nombre complexe4 3ise note????. Ensuite les opérations classiques s"écrivent comme d"habitude : par exemple
le calcul(1+2i)(4 i)s"écrit?????????????et??????renvoie????. • Additionz1+z2:?? ? ??
• Multiplicationz1z2:?? ? ??
• Puissancezn:?? ?? ?
• Inverse1z
:??? • Partie réelleadez=a+ib:??????(sans parenthèses) • Partie imaginairebdez=a+ib:??????(sans parenthèses) • Modulejzj=pa
2+b2:??????
• Conjugué¯z=a ib:?????????????
Bien sûr??????ne fait pas toujours des calculs exacts (par exemple, lors d"une division ou pour le calcul
d"un module), car les nombres sont des nombres complexes flottants.Activité 1(Manipuler les nombres complexes).
Objectifs : faire des calculs avec les nombres complexes. 1. Définis les nombres complexes z1=1+2ietz2=3 i. Demande à la machine de calculer : z 1+z2z1z2z2
1jz1j1z
1 2. Définis le nombre complexez= (3 4i)2(2+i). Calcule à la machine la partie réelle dez, sa partie
imaginaire et son conjugué. 3. Définis tes propres fonctions pour les opérations sur les nombres complexes. Représente le nombre
complexez=a+ibpar le couple de réels(a,b)etz0=a0+ib0par le couple de réels(a0,b0)(tu n"as pas le droit d"utiliser les nombres complexes de??????). • Programme une fonction???????????????????qui renvoie le couple de réels correspondant au résultat de(a+ib)+(a0+ib0). • Programme une fonction?????????????????????????qui renvoie le couple de réels corres- pondant au résultat de(a+ib)(a0+ib0). NOMBRES COMPLEXESI10•Programme une fonction?????????????qui renvoie le couple de réels correspondant au
conjugué dea+ib. • Programme une fonction???????????qui renvoie le module dea+ib(c"est un nombre réel). • Programme une fonction????????????qui pourz=a+ibteste d"abord sizn"est pas nul et dans ce cas renvoie le couple de réels associé à l"inverse dezen utilisant une des formules :
1z =¯zjzj2ou1z =a iba 2+b2. • Programme une fonction????????????????qui pourz=a+ibetn>0, renvoie le couple de réels associé àzn. (Indications.Par définitionz0=1. On pourra construire une boucle et utiliser
une des fonctions précédentes.)Cours 2(Rappels Matplotlib). Voici comment afficher des points de coordonnées(x,y)et un segment à l"aide du module??????????.
?????? ????????????????? ?? ??? ????????? ? ???? ?? ???? ???????????????? ?????????? ??????????????? ??? ? ???????????????? ?????????? ??????????????? ??? ? ??????????????????????????????? ??? ???? ????????? ?? ? ? ?? ? ? ???????????????????????????????????? ?? ????? ??????? ?? ? ? ?? ? ? ????????????????????????????????????? ?? ?????? ????? ? ?? ??????? ???? ??? ??? ???? ?? ??????????????????????????????????????? ?????????? ? ???? ????? ?? ?? ??? ? ??? NOMBRES COMPLEXESI11Activité 2(Visualiser les nombres complexes). Objectifs : afficher un point connaissant son affixe z. 1.Dessine le point d"affixe1et celui d"affixei. Pour un nombre complexez, par exemplez= 2+3i,
dessine le point d"affixez. 2. P ourun nombre complexe z, par exemplez=3 2i, dessine les points d"affixes : z2z iz¯zz2jzj1z 3. • Programme une fonction??????????????????????????qui trace le triangle dont les sommets ont pour affixesz1,z2,z3.• On fixez2C. Quelle semble être la nature du triangle déterminé parz, 2z,(1+2i)z? • On pose!= 12+
p3 2 i . On fixez2C. Quelle semble être la nature du triangle donné parz,!z, !2z? NOMBRES COMPLEXESI12Activité 3(Résolution d"une équation linéaire).Objectifs : résoudre des équations linéaires en utilisant les nombres complexes. Ici nous allons
" hacker » les nombres complexes. En informatique un " hack » est un détournement d"une fonc-
tionnalité. Résolution.
Tuvasprogrammerunefonction????????????????????????????????????quicalcule et renvoie la solution d"une équation linéaire. L"équation est donnée en paramètre sous la forme d"une
chaîne de caractères. Par exemple avec?????? ? ??, la fonction renvoie???????????comme valeur approchée de 37 . Autre exemple avec :???????? ? ? ? ??????, la fonction renvoie????. Attention : il faut explicitement écrire les multiplications avec le caractère "?». Astuce.L"idée est la suivante, une équation linéaire se ramène à la forme : a+bx=0 dont une solution est ab. L"astuce est de remplacer chaque "x» de l"équation par le nombre complexei.
On obtient ainsi un nombre complexea+ib. En extrayant la partie réelle et la partie imaginaire, on
renvoie la solution (réelle) a=b. Exemple simple.
Partant de l"équation7x+3=0, on ne garde que la partie gauche de l"équation7x+3. On remplace la lettrexpar le nombre complexei, on obtient7i+3. On extrait sa partie réellea=3et sa partie imaginaireb=7. On renvoie la solution a=b= 37 . Exemple compliqué.
Soit l"équation3(x+1)+x=2x+1. Il faut d"abord tout basculer à gauche du signe égal afin de se ramener à l"équation3(x+1)+x 2x+1=0. On ne garde que l"expression à
gauche du signe égal :3(x+1)+x 2x+1. On remplace ensuite la variablexpar le nombre complexe i. L"expression devient un nombre complexe3(i+1)+i 2i+1. On notezce nombre complexe, on calcule sa partie réellea=2et sa partie imaginaireb=2. On calcule a=b= 1. La solution de notre équation est doncx= 1.Algorithme.
• - Entrée : une chaîne de caractères représentant une équation linéaire en x. - Sortie : la valeur numérique de la solution x.
• Soient?et?les deux chaînes de part et d"autre du signe "=». (Utilise???????????????????.) •Former la chaîne correspondant à la partie gauche moins la partie droite :? ? ???? ? ? ? ???.
•Pour remplacerxpari, il faut remplacer le caractère???par la chaîne????. (Utilise ????????????????????????????.) On obtient ainsi une chaîne?????. • Transformer la chaîne en un nombre complexe par l"opération : ? ? ??????????? • Calculer la partie réelle?et la partie imaginaire?de?. • Renvoyer????.Cours 3(Équation du second degré). Soita,b,c2Raveca6=0. On considère l"équation az 2+bz+c=0.
On note=b2 4ac. Selon le signe deles solutions sont les suivantes : NOMBRES COMPLEXESI13•
>0 : deux solutions réellesz1= b+p 2aetz2= b p
2a. • =0 : solution doublez0= b2a. • <0 : deux solutions complexesz1= b+ipjj2aetz2= b ipjj2a.Activité 4(Équation du second degré).
Objectifs : résoudre les équations du second degré, y compris lorsque le discriminant est négatif.
On considère l"équation :
az 2+bz+c=0 aveca,b,c2Reta6=0.
1.Équation du second degré.Programme une fonction???????????????????????qui renvoie les
solutions de l"équation sous la forme d"une liste de deux nombres???????(si la solution est double,
renvoie la liste???????). Exemple. Calcule les solutions de :
z 2 2z+1=0z2+z 1=0z2+z+1=0
2.Somme et produit.
Lorsque l"on connaît la sommeSet le produitPde deux nombresz1etz2, on peut retrouverz1etz2. Comment faire? Réponse :z1etz2sont les solutions de l"équation : z 2 Sz+P=0.
Programme une fonction???????????????????????????qui renvoie la liste???????des solu- tions. Exemple. Trouve deux nombres dont la somme est 10 et le produit est 20. 3.Équation bicarrée.Une équation bicarrée est de la forme :
ax 4+bx2+c=0.
Nous étudions seulement les cas où=b2 4ac>0, pour lesquels l"équation admet4solutions (réelles ou complexes). On commence par poserX=x2et résoudre l"équation du second degré : aX 2+bX+c=0.
Cette dernière équation admet deux solutions réellesX1etX2. Pour chacune de ces solutionsX: • siX>0, on obtient deux solutions,+pXet pX; • siX<0, on obtient deux solutions,+ip Xet ip X. On obtient ainsi 4 solutions (2 associées àX1et 2 associées àX2). Programme une fonction???????????????????????qui renvoie les4solutions de l"équation ax4+bx2+c=0 après avoir vérifié que=b2 4ac>0. Exemple. Trouve les 4 solutions de l"équationx4 2x2 3=0.Activité 5(Famille de racines). Objectifs : afficher les solutions d"une famille d"équations du second degré. 1.Afficher les racines.
Programme une fonction??????????????????????qui affiche les deux points correspondant aux deux solutions de l"équationax2+bx+c=0. NOMBRES COMPLEXESI14Amélioration.C"est mieux d"autoriser en argument optionnel le choix de la couleur du point par une
entête????????????????????????????????????. Retrouve sur la figure ci-dessous les racines des polynômesx2 2x+1=0,x2+x 1=0etx2+x+1=0.2.Famille de racines.On considère deux polynômes
P 0(x) =x2+b0x+c0avec0=b2
0 4c060,
P 1(x) =x2+b1x+c1avec1=b2
1 4c160.
On définit pour 06t61 :
P t(x) = (1 t)P0(x)+tP1(x) =x2+ (1 t)b0+tb1x+(1 t)c0+tc1. Question.Quelle forme a l"ensemble des racines de la famillefPt(x)g06t61? Programme une fonction????????????????????????????: • qui affiche les solutions deP0(x) =0 (en rouge par exemple), • qui affiche les solutions deP1(x) =0 (en vert par exemple), • qui affiche les solutions dePt(x) =0 pournvaleurst, avec 06t61 (en bleu par exemple). Pour les valeurs det, tu peux les choisir de la formek=navec 06kintermédiaires. Pour répondre à la question il faut afficher plus de points intermédiaires. Nombres complexes IIChapitre
3On poursuit l"exploration des nombres complexes en se concentrant sur la forme module/argument.Cours 1(Nombres complexes).
Module/argument.Tout nombre complexez2C, s"écrit : z=r(cos+isin) où • r=jzjest le module dez, • et2Rest unargument.jzj01iz RiRarg(z)Unicité.Siest un argument, alors n"importe quel+2kest aussi un argument. Pour éviter cette indécision, on peut imposer àd"appartenir à l"intervalle] ,+], l"argument est
alors unique. Pourz2C, il existe un unique couple(r,)avecr>0 et2] ,+]tel que : z=r(cos+isin). Remarques.
• Une autre convention aurait été de choisir l"intervalle[0,2[. • L"écriture(r,)s"appelle aussi l"écriture en coordonnées polaires d"un nombre complexe,paropposition
à l"écriturez=a+ibqui est l"écriture cartésienne.Cours 2(Module?????). Le module?????fournit des outils supplémentaires pour les nombres complexes. Pour éviter les conflits
avec le module????nous l"importerons par : ?????? ????? 1.??????????????
renvoie l"argument2] ,+]du nombre complexez. Exemple : ?????????????????renvoie?????????qui correspond à la valeur 4 . 2. Rappel : ??????renvoie le modulejzj(c"est une fonction interne à??????). NOMBRES COMPLEXESII163.??????????????renvoie le couple module/argument(r,). Exemple :?????????????????ren-
voie?????????? ??????????qui correspond au couple(r,) = (p2, 4 ). 4.???????????????????
renvoie le nombre complexe dont le module estret l"argument. Exemple : ??????????????????renvoie???????? ? ?????????et correspond àp2+ip2. Activité 1(Module/argument).
Objectifs : utiliser??????pour calculer et mieux comprendre la forme module/argument. 1. Pour un nombre complexez, par exemplez=1+3iouz=1+i, calcule son module et son argument à l"aide de??????.
2. Quel nombre complexe a pour module2et argument3? Même question pour le complexe de module 3et d"argument32. Essaie de deviner la réponse exacte à partir des valeurs approchées données par
??????. 3. À l"aide du module??????????, place le point d"affixezdont on te donne le module et l"argument, par exemple de modulep2 et argument 6 . 4. Soitn>3. Soit!le nombre complexe de module1et d"argument2n. Trace le polygone ayant pour sommets les points d"affixes : 1,!,!2,...,!n 1.
Quelle est la nature de ce polygone?Activité 2(Module/argument (suite)). Objectifs : créer tes propres fonctions qui permettent la conversion entre l"écriture cartésienne d"un
nombre complexe et son écriture sous la forme module/argument. Tu vas écrire tes propres fonctions pour calculer avec les modules et les arguments. 1. Programme une fonction???????????????????????????????????????qui renvoie le nombre complexez(sous la forme d"un nombre complexe??????) dont le module et l"argument sont donnés. Utilise la formule
z=rcos+irsin. Compare ton résultat avec la fonction????du module?????. NOMBRES COMPLEXESII172.Programme une fonction?????????????????????????qui renvoie le module et l"argument du
nombre complexez. Récupère d"abord la partie réellexet la partie imaginaireydez. Le module est
alors facile à calculer. L"argument se calcule par la formule : =atan2(y,x) La fonction?????est une variante de la fonction " arctangente » et est disponible dans le module ????. Compare ta fonction avec les fonctions?????et?????du module?????. 3. Programme une fonction???????????????????????????????qui renvoie une mesure de l"angle dans l"intervalle] ,+]. Par exemple soit=52, comme= 2+32alors0= 2est la mesure de l"angle dans l"intervalle] ,+]. Indication.Commence par ramener l"angle dans l"intervalle[0,2[, puis discute selon la valeur. Une fois terminé compare ton résultat avec la commande????? ? ????.Cours 3(Notation exponentielle).
• Notation exponentielle.On note
e i=cos()+isin(). C"est donc le nombre complexe de module 1 et d"argument. • Formules d"Euler.Un petit calcul conduit à :
cos=ei+e i2 et sin=ei e i2i. • Formule de Moivre.
(cos+isin)n=cos(n)+isin(n). Avec la notation exponentielle, l"écriture de cette formule est très simple : ein=ein.Activité 3(Euler, de Moivre, Gauss).
Objectifs : mettre en oeuvre plusieurs formules.
1.Euler.
Programme deux fonctions??????????et????????qui calculent et renvoient le cosinus et le sinus d"un réeltdonné en utilisant les formules d"Euler. Indication.Utilise ta fonction????????????????????????de l"activité 1 pour calculereit. Exemple.Retrouve le sinus et le cosinus det=6
. 2.de Moivre.
Programme une fonction??????????????????qui calculeznà l"aide de la formule de Moivre selon le principe suivant :
• Écrirezsous la formez=rei(utilise ta fonction????????????????????????). • Calculerrnetn.
• Renvoyerzngrâce à la formule de Moivrezn=rnein(utilise ta fonction ????????????????????????). Exemple.Calcule(2 3i)10.
Complexité.LaformuledeMoivrepermetderemplacerlecalculd"unepuissanced"un nombrecomplexe par le calcul de la puissance d"un nombre réel (son module). 3.Gauss.
Comment calculer plus rapidement le produit de deux nombres complexes? Soitz=a+ib NOMBRES COMPLEXESII18etz0=c+id. La formule naïve donnée par la définition est : zz0= (ac bd)+i(ad+bc). Pour calculer un produit de deux nombres complexes, il faut donc calculer le produit de 4 nombres réels :ac,bd,ad,bc.Nous allons voir deux méthodes, dues à Gauss, qui ne nécessitent que3multiplications de nombres
réels. Méthode 1.Calculerr=ac,s=bd,t= (a+b)(c+d), alorsz= (r s)+i(t r s). Méthode 2.Calculerr=c(a+b),s=a(d c),t=b(c+d), alorsz= (r t)+i(r+s). Programme trois fonctions du type???????????????????????qui renvoient la partie réelle et la partie imaginaire de(a+ib)(c+id)par les trois méthodes décrites ici. Teste tes fonctions en
calculant(2+5i)(3 2i).Activité 4(Cercles et droites). Objectifs : tracer des cercles et des droites en utilisant les nombres complexes. 1. Programme une fonction?????????????????????qui trace et affiche les points d"affixezdonnés dans la liste. Indication.Utilise la commande????????????????provenant de??????????. C"est encore mieux si tu autorises les arguments optionnels avec une entête du type ??????????????????????????????????????????????. 2. Programme une fonction ??????????????????qui renvoie une liste de complexeszappartenant au cercle centré enz0et de rayonr. Indications.
• Ces complexeszvérifientjz z0j=ret sont donc de la forme : z=re2i, 06 <1. • C"est mieux d"avoir en argument optionnel le nombre de points avec une entête du type ????????????????????????????????. • Trace le cercle à l"aide de ta fonction???????????????. Figure.Voici le cercle de centre2+3iet de rayonp2, ainsi que le segment entre les points d"affixes 2 iet 1+3i. NOMBRES COMPLEXESII193.Programme une fonction????????????????????qui renvoie une liste de complexeszappartenant
au segment[z0,z1]. Indications.
• Ces complexeszvérifientz2[z0,z1]et sont donc de la forme : z= (1 t)z0+tz1, 06t61. • C"est mieux d"avoir le nombre de points en argument optionnel avec une entête du type ??????????????????????????????????. • Trace le segment à l"aide de ta fonction???????????????.Activité 5(Transformations du plan). Objectifs : définir des transformations du plan à l"aide des nombres complexes. 1. Programme les fonctions suivantes. Chaque fonction est du type??????????????????????et renvoie la liste desf(z)pourzparcourant la liste donnée : • une fonction?????????????????????qui correspond à la translationz7!z+v, oùv2Cest fixé, • une fonction????????????????????qui correspond à l"homothétie de centre0et de rapport k2R:z7!kz, • une fonction??????????????????????qui correspond à la rotation d"angle, centrée en0: z7!zei, • une fonction????????????????qui correspond à la symétrie axialez7!¯z. Affiche ensuite l"image d"un cercle et d"un carré pour chacune de ces transformations (un carré est
formé de quatre segments!). Ci-dessous un cercle et un carré (en bleu) et leur image pour chaque
transformation (en rouge). NOMBRES COMPLEXESII202.Programme une fonction?????????????????qui correspond à l"inversion qui est l"application
z7!1z (pourz2C). En particulier essaie de conjecturer en quoi est transformée une droite, en quoi est transformé un
cercle (les cas où la droite ou le cercle passent par l"origine sont spéciaux). Ci-dessous un cercle et un carré (en bleu) et leur image par l"inversion (en rouge).3.Programme une fonction ????????????????qui correspond à l"applicationz7!z2.
Ci-dessous un cercle et un carré (en bleu) et leur image (en rouge). NOMBRES COMPLEXESII21
Dérivée - Zéros de fonctionsChapitre
4Nous étudions les fonctions : le calcul de la dérivée d"une fonction, le tracé du graphe et de tangentes,
et enfin la recherche des valeurs en lesquelles la fonction s"annule.Cours 1(Dérivée). Par définition le nombre dérivé defena(s"il existe) est : f 0(a) =limh!0f(a+h) f(a)h
. Dans cette fiche nous supposerons que toutes les dérivées étudiées existent. Voici l"interprétation géométrique du nombre dérivé :f0(a)est le coefficient directeur de la tangente au
graphe defau point d"abscissea.grapheMtangente a Cours 2(Fonction lambda).
Une fonction lambda (lettre grecque) est une façon simple de définir une fonction en??????qui s"apparente à une fonction mathématique. Par exemple : ? ? ?????? ?? ???? Cela définit une fonction?????? ?qui correspond à la fonction mathématiquefdéfinie parf:x7!x2.
Ainsi????renvoie?,????renvoie?...
C"est une alternative condensée au code suivant : ??? ????? ?????? ???? Une fonction est un objet??????comme un autre. Elle peut donc être utilisée dans le programme comme
dans l"exemple suivant qui teste sif(a)>f(b): DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS23??? ?????????????????????? ?? ???? ? ????? ?????? ???? ????? ?????? ????? Pour les deux fonctions?définies au-dessus (soit à l"aide de??????, soit à l"aide de???) alors
????????????????????? renvoie " Faux ».À l"aide des fonctions lambda on peut aussi se permettre de ne pas donner de nom à une fonction, comme
ci-dessous avec la fonctionx7!1x . Alors ????????????????????? ?????????? qui renvoie " Vrai » (?????? ?????joue le rôle de?).Activité 1(Calcul de la dérivée en un point).
Objectifs : calculer une valeur approchée de la dérivée en un point. On va calculer une valeur approchée du nombre dérivéf0(a)en calculant le taux d"accroissement
f(a+h) f(a)h avechsuffisamment petit. 1. Définis la fonctionf,x7!xp1 x. Deux méthodes : soit à l"aide de??? ????????, soit par ? ? ?????? ?????Calcule les valeurs approchées def(k)pourk2 f0,1,2,...,5g. 2. Programme une fonction????????????qui calcule une valeur approchée de la dérivée defena par la formule f 0(a)'f(a+h) f(a)h
en prenant par exemple pour valeurh=0.0001. Pour la fonctionf:x7!x3, compare la valeur approchée enaque tu obtiens avec la valeur exacte def0(k)pourk2 f0,1,2,...,5g. Diminue la valeur dehpour obtenir une meilleure approximation.Activité 2(Graphe d"une fonction et tangente).
Objectifs : tracer le graphe d"une fonction ainsi que des tangentes. Soitf:[a,b]!Rune fonction. Son grapheGfest :
G f= x,f(x)jx2[a,b] xf(x)(x,f(x))G fab DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS241.Calculer des points.Soitfune fonction définie sur un intervalle[a,b]. On divise l"intervalle[a,b]
ennsous-intervalles de longueurb an en définissant : x k=a+kb an .ab x 0x 1x 2x kx nb an Programme une fonction???????????????qui calcule et renvoie la liste des points xk,f(xk) pourk=0,...,n.xy ab x 0x 1x kx nf(xk)Par exemple pour? ? ?????? ?? ???alors???????????????renvoie la liste : ???? ??? ????? ?????? ????? ????? ????? ?????? ????? ????? 2.Afficher des points.
Programme une fonction???????????????????????qui affiche une liste de points. Indications.Tu peux utiliser le module???????(ou bien le module??????????). Tu peux utiliser une variable???????pour contrôler la taille de l"affichage. Les figures ci-dessous sont tracées pour
la fonctionfdéfinie parf(x) =pxsur l"intervalle[0,4].3.Tracerlegraphe. Améliorelafonctionprécédentepourécrireunefonction???????????????????? qui trace le graphe def. Indications.Il suffit de reliernpoints du graphe entre eux pournassez grand (avec5points à gauche et 20 points à droite). DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS254.Tracer une tangente. Trace la tangente au graphe au point(a,f(a))par une fonction????????????????????.Indications.On se place au point(x,y) = (a,f(a)). En ce point la pente de la tangente est donnée
parf0(a). En posant dx=1 etdy=f0(a) alors on représente une demi-tangente par le segment reliant(x,y)à(x+dx,y+dy). L"autre demi-tangente est représentée par le segment reliant(x,y)à(x dx,y dy).x=ay=f(a)dx=1dy=f0(a) Cette activité peut être l"occasion d"utiliser les arguments optionnels, par exemple au lieu de définir la
fonction???????????????par l"entête : ??? ????????????????????? et d"avoir des variables locales?et???????, tu peux définir ta fonction par : ??? ????????????????????????????????????? Ce qui permet d"avoir une valeur de?et de???????par défaut, en conservant la possibilité de les
changer. Des appels possibles sont : • ????????????????????; • ??????????????????????????pour tracer plus de points; • ???????????????????????????????pour changer l"échelle. DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS26
DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS27Cours 3(Dichotomie). Le méthode de dichotomie est basée sur cette version du théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème.Soitf:[a,b]!Rune fonction continue. Sif(a)etf(b)sont de signes contraires, alorsf s"annule au moins une fois sur l"intervalle[a,b]. Autrement dit, il existe`2[a,b]tel quef(`) =0.xy a f(a)<0bf(b)>0` xy af(a)>0b f(b)<0` Principe de la dichotomie
( o o signifie "coupé en deux»). On sait que notre fonctionfs"annule sur[a,b]. On calculef a+b2 , c"est-à-dire l"image du milieu du segment[a,b]. On cherche ensuite oùf peut s"annuler par rapport à ce milieu : • Sif(a)etf a+b2
sont de signes contraires alorsfs"annule sura,a+b2 , • sinonfs"annule sura+b2 ,b.xy a ba+b2f(a+b2 )>0xy a ba+b2 f(a+b2 )<0On recommence l"opération sur l"intervalle a,a+b2 ou bien sur l"intervallea+b2 ,b. Remarques :
• f(a)etf(b)sont de signes contraires si et seulement sif(a)f(b)60. • On va construire des intervalles de plus en plus petits qui contiennent une solution`, def(`) =0. On obtient donc un encadrement de`(mais pas sa valeur exacte). • Il se peut quefs"annule plusieurs fois, mais la méthode de dichotomie ne fournit l"encadrement que
d"une seule solution. • Pour expliquer la partie " si » du principe de la dichotomie, on applique le théorème des valeurs
intermédiaires sura,a+b2 . Pour expliquer la partie " sinon », on remarque d"abord quef(b)et f a+b2 doivent être de signes contraires, puis on applique le théorème des valeurs intermédiaires.
DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS28Exemple.
On cherche " à la main » une valeur approchée dep2. • Soitfdéfinie parf(x) =x2 2. On se place sur l"intervalle[1,2]. •Commef(1) = 160etf(2) =2>0et quefest continue alorsfs"annule sur l"intervalle[1,2] par le théorème des valeurs intermédiaires. Bien sûr, icifs"annule en`=p2. Pour l"instant on a
prouvé : 16p262. • On divise l"intervalle[1,2]en deux parties, le milieu étant32 , on calcule : f 32
=32 2 2=14 >0. Donc sur le demi-intervalle[1,32]on af(1)60etf(32)>0, et c"est bien là quefs"annule. Autrement dit 16p2632
. C"est un encadrement deux fois plus précis qu"auparavant. • On divise l"intervalle[1,32
]en deux parties, le milieu étant54 , on calcule : f 54
=54 2 2= 716 60.
Donc sur le demi-intervalle[54
,32 ]on af(54 )60 etf(32 )>0, ainsi54 =1.256p2632 =1.5. • On continue ainsi, on obtient des intervalles[ai,bi]de plus en plus petits qui encadrentp2 : a 0=1b0=2
a 1=1b1=1.5
a 2=1.25b2=1.5
a 3=1.375b3=1.5
a 4=1.375b4=1.4375
a 5=1.40625b5=1.4375
a 6=1.40625b6=1.421875
a 7=1.4140625b7=1.421875
a 8=1.4140625b8=1.41796875
Donc en8étapes on prouve que1.41406256p261.41796875. En particulier on obtient les deux premières décimales dep2 : p2=1.41...xy 121.51.251.375x
2 2Activité 3(Dichotomie).
Objectifs : trouver une solution approchée d"une équation f(x) =0. Le principe de la dichotomie se décline en l"algorithme suivant : DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS29Algorithme.
• - Entrée : une fonction f, un intervalle[a,b]avecf(a)f(b)60, une marge d"erreur. -Sortie : un intervalle[a0,b0]tel quejb0 a0j6sur lequelfs"annule, autrement dit, il existe a06`6b0tel quef(`) =0. • Tant quejb aj> :
- poser c=a+b2 , - si f(a)f(c)60, faireb c, - sinon, faire a c. • À la fin renvoyeraetb(qui encadrent la solution).1.Programme cet algorithme en une fonction ?????????????????????????.
2.Exemples.
(a) Trouve une valeur approchée dep3à10 3près, en utilisant la fonction définie parf(x) =x2 3
sur l"intervalle[1,2]. (b) T rouveune valeur approchée de
3p5, en utilisant la fonction définie parf(x) =x3 5.
(c) T rouveune valeur approchée de chacune des trois solutions de l"équation x5 3x+1=0. 3. Soit la fonction définie parf(x) =x2 3sur l"intervalle[1,2]. Combien faut-il d"étapes pour obtenir
une approximation dep3 avec 10 décimales exactes après la virgule? Cours 4(Méthode de Newton).
On va voir une autre méthode très efficace pour obtenir une valeur approchée d"une solution`def(`) =0.
L"idée de la méthode de Newton est d"utiliser la tangente : • on part d"une valeurx0quelconque, • on trace la tangente au graphe defau point d"abscissex0, • cette tangente recoupe l"axe des abscisses en un point d"abscissex1(figure de gauche), • cette valeurx1est plus proche de`quex0, • on recommence à partir dex1: on trace la tangente, elle recoupe l"axe des abscisses, on obtient une
valeurx2... (figure de droite).tangente enx0x 0x 1` x 0tangente enx1x
1x 2 On va ainsi définir une suite(xn)par récurrence. L"équation de la tangente en une valeurxnest donnée
pary f(xn) =f0(xn)(x xn). En partant d"une valeurx0, on obtient une formule de récurrence, pour DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS30n>0 :
x n+1=xn f(xn)f 0(xn).Pour que cette méthode fonctionne il faut tout de même partir d"une valeurx0pas trop éloignée de la
solution`cherchée.Exemple. On cherche encore " à la main » une valeur approchée dep2. • Soitfdéfinie parf(x) =x2 2. On a doncf0(x) =2x. • On part dex0=2.
• On calculef(x0) =2 etf0(x0) =4. Par la formule de récurrence : x 1=x0 f(x0)f
0(x0)=32
=1.5 • On calculef(32
) =14 ,f0(32 ) =3 et donc x 2=x1 f(x1)f
0(x1)=1712
=1.41666... • Puisx3=1.4142156... qui a déjà 5 chiffres après la virgule de corrects!Activité 4(Méthode de Newton).
Objectifs : programmer la méthode de Newton.Algorithme. • - Entrée : une fonction f, une valeur de départa, un nombre d"itérationsn. - Sortie : une valeur approchée de `tel quef(`) =0. • Poserx=a.
• Répéternfois :
x x f(x)f 0(x) • À la fin renvoyerx(qui approche une solution).1.Programme cet algorithme en une fonction ?????????????.
Indication.Utilise ta fonction????????????avec unhtrès petit. 2.Exemples.
(a) Trouve une valeur approchée dep3à10 3près, en utilisant la fonction définie parf(x) =x2 3,
en partant dea=2. (b) T rouveune valeur approchée de
3p5, en utilisant la fonction définie parf(x) =x3 5.
(c) T rouveune valeur approchée de la solution de l"équation cos (x) =x. 3. Soit la fonction définie parf(x) =x2 3eta=2. Combien faut-il d"étapes pour obtenir une approximation dep3avec10décimales exactes après la virgule? Compare avec la méthode de la dichotomie! ExponentielleChapitre
5L"exponentielle joue un rôle important dans la vie de tous les jours : elle permet de modéliser la
vitesse de refroidissement de votre café, de calculer la croissance d"une population ou de calculer la
performance d"un algorithme.xyexpxe 1 10 Cours 1(La fonction exponentielle).
Voici un très court cours sur l"exponentielle.
• Lafonction exponentielleest la fonction exp :R!]0,+1[qui vérifie : exp(0) =1 et exp(x+y) =exp(x)exp(y). • On notee=exp(1) =2.718281...
• La fonction exponentielle est strictement croissante, strictement positive,limx! 1exp(x) =0, limx!+1exp(x) = +1. • exp( x) =1exp(x), exp(nx) = (exp(x))n. • On noteex=exp(x), de sorte queex+y=exey,e x=1=ex,e0=1,e1=e,enx= (ex)n... • La dérivée de l"exponentielle est elle même : exp0(x) =exp(x). • Lafonction logarithmeln:]0,+1[!Rest la bijection réciproque de la fonction exponentielle, c"est-à-dire : y=exp(x)()x=ln(y). Plus précisément :
exp ln(x)pour toutx>0, ln exp(x)pour toutx2R. Le logarithme vérifie ln(1) =0 et ln(xy) =ln(x)+ln(y). • L"exponentielle permet de définir une puissance avec des exposants réels : a b=exp bln(a). EXPONENTIELLE32Autrement ditab=ebln(a).Cours 2(Exponentielle et logarithme avec??????). •Pour obtenir une valeur approchée de l"exponentielle en un point il faut importer le module????par
la commande???? ???? ?????? ?puis utiliser la fonction?????. • Il y a plusieurs fonctions logarithmes accessibles depuis le module????. Celle qui correspond au logarithme népérienln(x)s"obtient par l"appel à la fonction?????. (À ne pas confondre avec la
notation mathématique log(x)qui désigne habituellement le logarithme décimal!) • Il est possible de faire des calculs de puissances, sans importer le module????, par la commande : ? ?? ? Objectifs des quatre premières activités : découvrir le comportement de l"exponentielle à travers des
activités variées.Activité 1(Les grains de riz). Pour le remercier d"avoir inventé le jeu d"échec, le roi des Indes demande à Sissa ce qu"il veut comme
récompense. Sissa répond : " Je souhaiterais que vous déposiez un grain de riz sur la première case,
deux grains de riz sur la seconde, quatre grains de riz sur la troisième... et ainsi de suite en doublant à
chaque case le nombre de grains. ». " Facile! » répondit le roi... 1. Combien faut-il de grains de riz au total pour recouvrir l"échiquier de 64 cases ? 2. Un kilogramme de riz contient50000grains. Quelle est la masse totale (en tonnes) de tous les grains de riz de l"échiquier? Et toi : préfères-tu recevoir1million d"euros d"un coup ou bien1centime le premier jour, puis2centimes
le second, 4 centimes le jour suivant... pendant un mois?Activité 2(Le nénuphar qui s"agrandit).
Un nénuphar multiplie sa surface d"un facteur1.5chaque jour. Au dixième jour sa surface vaut100m2.
1. Quelle surface recouvre le nénuphar au quinzième jour ? 2. Quelle surfaceS9recouvrait le nénuphar le neuvième jour? Et le huitième jour? Calcule la surface
S0que recouvrait le nénuphar le jour initial (le jour 0). 3. T rouvela formule S(j)qui exprime la surface recouverte au jourj, en fonction dejet deS0. Définis une fonction???????????????????qui renvoie cette surfaceS(x). Le paramètrexrepré- sente le nombre de jours écoulés, mais n"est pas nécessairement un nombre entier. Vérifie que tu peux utiliser indifféremment une commande du type? ?? ?(pourax) ou bien ?????????????pour exp xln(a). 4. Trouve par tâtonnement ou par balayage au bout de combien de jours la surface du nénuphar est de
10000m2. Donne la réponse avec deux chiffres exacts après la virgule.
5. (Si tu maîtrises le logarithme.) Trouve l"expression dexen fonction de la surface couverteS. Pro- gramme une fonction????????????????qui renvoie le nombre de jours écoulésxpour atteindre la surfaceSdonnée. Par exemple??????????????????renvoiex=11.709... EXPONENTIELLE33Activité 3(Demi-vie et datation au carbone 14).Le carbone 14 est un élément radioactif présent dans le corps de chaque être vivant et qui disparaît peu
à peu à sa mort par désintégration. En mesurant le taux de carbone 14 par rapport au taux de carbone
ordinaire (qui lui ne se désintègre pas), on peut dater l"époque à laquelle a vécu l"être vivant (jusqu"à
40000 ans en arrière).
Le nombre d"atomes de carbone 14 suit une loi exponentielle donnée par la formule : N(t) =N0exp
tln(2)T où : • N(t)est le nombre d"atomes restant aprèstannées, • N0est le nombre d"atomes initial, on prendra iciN0=1000, • Test la période de demi-vie des atomes de carbone 14,T=5730.tN(t)0N 0N 02 T 1. Programme une fonction???????????????????????????qui renvoieN(t). Combien reste-t-il d"atomes sur les 1000 atomes de départ au bout de 100 ans? 2. (a) V érifiemathématiquement et expérimentalement que N(t) =N02 t=T.
(b) Combien reste-t-il d"atomes au bout deT=5730années? Justifie le terme de " demi-vie » pour la duréeT. (c) Combien reste-t-il d"atomes au bout de 2 Tannées? Au bout de 3Tannées? ... (d) Saurais-tu trouver de tête environ combien il reste d"atomes au bout d"une période de10demi- vies? 3. On souhaite dater un échantillon à partir de sa teneur en carbone 14. (a) V érifiemathématiquement que
t= Tln(2)lnN(t)N 0 . (b) Programme une fonction????????????????????????????qui renvoie la date de l"échantillon en fonction du nombre d"atomesNmesuré. (c) Vérifie que si on mesureN=500atomes sur lesN0=1000initial, alors l"échantillon a bien l"âge que l"on pense. (d) Tu as trouvé un échantillon d"une espèce disparue, l"Animagus PythoniscusavecN=200atomes sur lesN0=1000 initial. Quand a vécu cet animal? EXPONENTIELLE34Activité 4(La loi de refroidissement de Newton).On place un corps chaud de température initialeT0(par exempleT0=100C) dans une pièce plus froide
de températureT1(par exempleT1=25C). Le corps chaud se refroidit progressivement jusqu"à atteindre la température de la pièce (au bout d"un temps infini). La loi de refroidissement de Newton
exprime le températureT(t)du corps en fonction du tempst(en minutes) : T(t) T1= (T0 T1)e kt
oùkest une constante que l"on va déterminer expérimentalement.tT(t)0T 0T 11.V érifiemathématiquement que T(0) =T0et que limt!+1T(t) =T1.
2. On fixeT0=100C,T1=25Cet on va déterminerkà l"aide d"une information supplémentaire. On mesure qu"à l"instantt1=10 minutes, la température du corps estT1=65C. Prouve que la constantekest donnée par la formule : k= 1t 1lnT1 T1T
0 T1
. 3. Maintenant que tu connaisk, programme une fonction??????????????qui renvoie la température T(t). Quelle est la température au bout de 20 minutes de refroidissement? 4. Par tâtonnement, par balayage ou en résolvant une équation, trouve au bout de combien de temps
(arrondi à la minute près) la température du corps atteint 30C.Activité 5(Définition de l"exponentielle).
Objectifs : programmer le calcul deexp(x)par différentes méthodes. 1.Limite d"une suite.On a
exp(x) =limn!+1 1+xn n. Déduis-en une fonction?????????????????????????qui renvoie une valeur approchée deexp(x) pour une valeur den(assez grande) fixée. Teste ta fonction pour calculerexp(2.8), avecn=10, puis100... Compare tes résultats avec la fonction?????? ?????. 2.Factorielle.Programme une fonction??????????????qui renvoie
n!=123n. Indications.Le plus simple est d"initialiser une variable????à1puis de programmer une boucle. Par convention 0!=1. Par exemple 10!=3628800. EXPONENTIELLE353.Somme infinie.On note
S n=1+x1! +x22! +x33! ++xkk!++xnn!=n X k=0x kk!. Alors exp(x) =limn!+1Sn.Déduis-en une fonction????????????????????????qui renvoie la valeur de la sommeSnet qui
fournit ainsi une valeur approchée de exp(x). Teste ta fonction avecn=10,n=15...
4.Méthode de Hörner.
Afin de minimiser les multiplications (du genrexk=xxx) voici la formule de Hörner qui est juste une réécriture de la sommeSndéfinie à la question précédente :
S n=1+x1 1+x2 1++x3 +xn 1 1+xn Et bien sûr :
exp(x) =limn!+1Sn. Programme une fonction?????????????????????????qui implémente cette méthode et renvoie la valeur deSn. Indications.Il faut partir du terme le plus imbriqué1+xnpuis construire cette expression à rebours à
l"aide d"une boucle. 5. (Un peu de théorie plus difficile.) Compare le nombre de multiplications effectuées pour les méthodes
des deux questions précédentes pour le calcul deSn. Par exemple le calcul dex33!nécessite deux
multiplications pourx3=xxxet deux multiplications pour3!=123. (Note : on ne compte pas les additions car c"est une opération peu coûteuse, et ici on ne tient pas compte des divisions car
il y en a autant pour les deux méthodes.) 6.Fraction continue d"Euler.
Voici une nouvelle formule pourSn=1+x1!+x22!++xnn!sous la forme d"une succession de fractions : S n=11 x1+x x2+x 2x3+x 3x4+x . ..n 1+x (n 1)xn+x On programme cette formule en partant de la fraction tout en bas par l"algorithme suivant :Algorithme.
• Action : calculer la sommeSnen fonction dex.
• InitialiserS 0.
• Pourkallant denà 1 (donc à rebours), faire : S xk+x kS
• À la fin, faireS 11 S.
• RenvoyerS.Programme cet algorithme en une fonction????????????????????????. EXPONENTIELLE367.Exponentielle de grandes valeurs.Les fonctions précédentes sont valables quel que soitx, mais
pour de grandes valeurs dex(par exemplex=100.5) il faut de grandes valeurs denpour obtenir une bonne approximation deexp(x). Pour remédier à ce problème nous allons voir un algorithme
qui permet de se ramener au calcul de l"exponentielle d"un réelf2[0,1[pour lequel les fonctions précédentes sont efficaces. L"idée est de décomposerxen sa partie entière plus sa partie fractionnaire : x=k+foùkest un entier et 06f<1. On utilise la propriété de l"exponentielle : e x=ek+f=ekef. Maintenant :
• ef =exp(f)s"obtient par le calcul de l"exponentielle d"un petit réel06f<1et se calcule bien par l"une des méthodes précédentes. • ek=eeeest le produit de plusieurse, c"est donc un simple calcul de puissance (et pas vraiment un calcul d"exponentielle). • Il faut au préalable avoir calculé une fois pour toutes la valeur de la constantee=exp(1) = 2.718... par l"une des méthodes précédentes.
Voici l"algorithme à programmer en une fonction?????????????????????????:Algorithme. • Action : calculer une approximation de exp(x).
• Préalable : calculer une fois pour toutes la valeur dee=exp(1)avec le maximum de précision. •Poserkla partie entière dex(utiliser???????). • Poserf=x k.
• Calculer une valeur approchée deexp(f)par l"une des méthodes précédentes en fonction d"un
paramètren. • Calculer exp(k) =ekpar le calcul de puissanceee • Renvoyer l"approximation correspondant au résultat exp(x) =exp(k)exp(f). LogarithmeChapitre
6Le logarithme est une fonction aussi importante que l"exponentielle. C"est le logarithme qui donne
l"ordre de grandeur de certaines quantités physiques, par exemple la puissance d"un séisme ou celle
d"un son.xy ln(x)e1 10 Cours 1(Le logarithme décimal).
On commence avec le logarithme décimal qui est plus facile à appréhender. Le logarithme décimal d"un
nombre réel positifx, est l"exposantyde ce nombre écrit sous la formex=10y. Autrement dit :x=10y()y=log10(x)Exemples.
• log10(102) =2, log10(103) =3, log10(10000) =4,... • On a aussi log10(10) =1, log10(1) =0.
• Comme 0.1=110
=10 1, on a log10(0.1) = 1. • Le logarithme est défini pour n"importe quelx>0. Par exemple pourx=25.5, on alog10(x) = 1.4065... Ce qui signifie que 101.4065...=25.5.
Propriété.La propriété fondamentale du l
Decimals Documents PDF, PPT , Doc
F airer r+p.
•Renvoyeru0,minetrmin.Quelle est la meilleure progression arithmétique pour approcher la liste[6,11,14,20,24,29,37]?Cours 3(Médiane).
Par définition de lamédiane, la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, l"autre moitié
sont supérieures ou égales à la médiane.Voici comment calculer la médiane. On notenla longueur de la liste, on suppose que la liste est ordonnée
(du plus petit au plus grand élément). •Casnimpair.
La médiane est la valeur de la liste au rangn 12. Exemple avec????? ? ????????????????: - la longueur de la liste est n=5 (les indices vont de 0 à 4), - l"indice du milieu est l"indice 2, - la médiane est la valeur ????????, c"est donc 14. •Casnpair.
La médiane est la moyenne entre la valeur de la liste au rangn2 1et celle au rangn2.Exemple avec????? ? ?????????????:
- la longueur de la liste est n=4 (les indices vont de 0 à 3), - les indices du milieu sont 1 et 2, - la médiane est la moyenne entre ????????et????????, c"est donc14+192 =16.5.Nombres complexes IChapitre
2Nous allons faire des calculs avec les nombres complexes. Ce sera facile car??????sait les manipuler.Cours 1(Nombres complexes).
Avec??????, tu manipules les nombres complexes comme les autres nombres. La notation pour le nombre complexei(qui vérifiei2= 1) est le symbole?(plus exactement??). Par exemple, le nombrecomplexe4 3ise note????. Ensuite les opérations classiques s"écrivent comme d"habitude : par exemple
le calcul(1+2i)(4 i)s"écrit?????????????et??????renvoie????. •Additionz1+z2:?? ? ??
•Multiplicationz1z2:?? ? ??
•Puissancezn:?? ?? ?
•Inverse1z
:??? • Partie réelleadez=a+ib:??????(sans parenthèses) • Partie imaginairebdez=a+ib:??????(sans parenthèses) •Modulejzj=pa
2+b2:??????
•Conjugué¯z=a ib:?????????????
Bien sûr??????ne fait pas toujours des calculs exacts (par exemple, lors d"une division ou pour le calcul
d"un module), car les nombres sont des nombres complexes flottants.Activité 1(Manipuler les nombres complexes).
Objectifs : faire des calculs avec les nombres complexes. 1. Définis les nombres complexes z1=1+2ietz2=3 i. Demande à la machine de calculer : z1+z2z1z2z2
1jz1j1z
1 2.Définis le nombre complexez= (3 4i)2(2+i). Calcule à la machine la partie réelle dez, sa partie
imaginaire et son conjugué. 3.Définis tes propres fonctions pour les opérations sur les nombres complexes. Représente le nombre
complexez=a+ibpar le couple de réels(a,b)etz0=a0+ib0par le couple de réels(a0,b0)(tu n"as pas le droit d"utiliser les nombres complexes de??????). • Programme une fonction???????????????????qui renvoie le couple de réels correspondant au résultat de(a+ib)+(a0+ib0). • Programme une fonction?????????????????????????qui renvoie le couple de réels corres- pondant au résultat de(a+ib)(a0+ib0).NOMBRES COMPLEXESI10•Programme une fonction?????????????qui renvoie le couple de réels correspondant au
conjugué dea+ib. • Programme une fonction???????????qui renvoie le module dea+ib(c"est un nombre réel). • Programme une fonction????????????qui pourz=a+ibteste d"abord sizn"est pas nul etdans ce cas renvoie le couple de réels associé à l"inverse dezen utilisant une des formules :
1z =¯zjzj2ou1z =a iba 2+b2. • Programme une fonction????????????????qui pourz=a+ibetn>0, renvoie le couple deréels associé àzn. (Indications.Par définitionz0=1. On pourra construire une boucle et utiliser
une des fonctions précédentes.)Cours 2(Rappels Matplotlib).Voici comment afficher des points de coordonnées(x,y)et un segment à l"aide du module??????????.
?????? ????????????????? ?? ??? ????????? ? ???? ?? ???? ???????????????? ?????????? ??????????????? ??? ? ???????????????? ?????????? ??????????????? ??? ? ??????????????????????????????? ??? ???? ????????? ?? ? ? ?? ? ? ???????????????????????????????????? ?? ????? ??????? ?? ? ? ?? ? ? ????????????????????????????????????? ?? ?????? ????? ? ?? ??????? ???? ??? ??? ???? ?? ??????????????????????????????????????? ?????????? ? ???? ????? ?? ?? ??? ? ??? NOMBRES COMPLEXESI11Activité 2(Visualiser les nombres complexes). Objectifs : afficher un point connaissant son affixe z.1.Dessine le point d"affixe1et celui d"affixei. Pour un nombre complexez, par exemplez= 2+3i,
dessine le point d"affixez. 2. P ourun nombre complexe z, par exemplez=3 2i, dessine les points d"affixes : z2z iz¯zz2jzj1z 3. • Programme une fonction??????????????????????????qui trace le triangle dont les sommets ont pour affixesz1,z2,z3.• On fixez2C. Quelle semble être la nature du triangle déterminé parz, 2z,(1+2i)z? •On pose!= 12+
p3 2 i . On fixez2C. Quelle semble être la nature du triangle donné parz,!z, !2z?NOMBRES COMPLEXESI12Activité 3(Résolution d"une équation linéaire).Objectifs : résoudre des équations linéaires en utilisant les nombres complexes. Ici nous allons
" hacker » les nombres complexes. En informatique un " hack » est un détournement d"une fonc-
tionnalité.Résolution.
Tuvasprogrammerunefonction????????????????????????????????????quicalculeet renvoie la solution d"une équation linéaire. L"équation est donnée en paramètre sous la forme d"une
chaîne de caractères. Par exemple avec?????? ? ??, la fonction renvoie???????????comme valeur approchée de 37 . Autre exemple avec :???????? ? ? ? ??????, la fonction renvoie????. Attention : il faut explicitement écrire les multiplications avec le caractère "?». Astuce.L"idée est la suivante, une équation linéaire se ramène à la forme : a+bx=0dont une solution est ab. L"astuce est de remplacer chaque "x» de l"équation par le nombre complexei.
On obtient ainsi un nombre complexea+ib. En extrayant la partie réelle et la partie imaginaire, on
renvoie la solution (réelle) a=b.Exemple simple.
Partant de l"équation7x+3=0, on ne garde que la partie gauche de l"équation7x+3. On remplace la lettrexpar le nombre complexei, on obtient7i+3. On extrait sa partie réellea=3et sa partie imaginaireb=7. On renvoie la solution a=b= 37 .Exemple compliqué.
Soit l"équation3(x+1)+x=2x+1. Il faut d"abord tout basculer à gauche dusigne égal afin de se ramener à l"équation3(x+1)+x 2x+1=0. On ne garde que l"expression à
gauche du signe égal :3(x+1)+x 2x+1. On remplace ensuite la variablexpar le nombre complexe i. L"expression devient un nombre complexe3(i+1)+i 2i+1. On notezce nombre complexe, on calcule sa partie réellea=2et sa partie imaginaireb=2. On calcule a=b= 1. La solution de notreéquation est doncx= 1.Algorithme.
• - Entrée : une chaîne de caractères représentant une équation linéaire en x. -Sortie : la valeur numérique de la solution x.
• Soient?et?les deux chaînes de part et d"autre du signe "=». (Utilise???????????????????.)•Former la chaîne correspondant à la partie gauche moins la partie droite :? ? ???? ? ? ? ???.
•Pour remplacerxpari, il faut remplacer le caractère???par la chaîne????. (Utilise ????????????????????????????.) On obtient ainsi une chaîne?????. • Transformer la chaîne en un nombre complexe par l"opération : ? ? ??????????? • Calculer la partie réelle?et la partie imaginaire?de?. • Renvoyer????.Cours 3(Équation du second degré). Soita,b,c2Raveca6=0. On considère l"équation az2+bz+c=0.
On note=b2 4ac. Selon le signe deles solutions sont les suivantes :NOMBRES COMPLEXESI13•
>0 : deux solutions réellesz1= b+p2aetz2= b p
2a. • =0 : solution doublez0= b2a. •<0 : deux solutions complexesz1= b+ipjj2aetz2= b ipjj2a.Activité 4(Équation du second degré).
Objectifs : résoudre les équations du second degré, y compris lorsque le discriminant est négatif.
On considère l"équation :
az2+bz+c=0 aveca,b,c2Reta6=0.
1.Équation du second degré.Programme une fonction???????????????????????qui renvoie les
solutions de l"équation sous la forme d"une liste de deux nombres???????(si la solution est double,
renvoie la liste???????).Exemple. Calcule les solutions de :
z2 2z+1=0z2+z 1=0z2+z+1=0
2.Somme et produit.
Lorsque l"on connaît la sommeSet le produitPde deux nombresz1etz2, on peut retrouverz1etz2. Comment faire? Réponse :z1etz2sont les solutions de l"équation : z2 Sz+P=0.
Programme une fonction???????????????????????????qui renvoie la liste???????des solu- tions. Exemple. Trouve deux nombres dont la somme est 10 et le produit est 20.3.Équation bicarrée.Une équation bicarrée est de la forme :
ax4+bx2+c=0.
Nous étudions seulement les cas où=b2 4ac>0, pour lesquels l"équation admet4solutions (réelles ou complexes). On commence par poserX=x2et résoudre l"équation du second degré : aX2+bX+c=0.
Cette dernière équation admet deux solutions réellesX1etX2. Pour chacune de ces solutionsX: • siX>0, on obtient deux solutions,+pXet pX; • siX<0, on obtient deux solutions,+ip Xet ip X. On obtient ainsi 4 solutions (2 associées àX1et 2 associées àX2). Programme une fonction???????????????????????qui renvoie les4solutions de l"équation ax4+bx2+c=0 après avoir vérifié que=b2 4ac>0. Exemple. Trouve les 4 solutions de l"équationx4 2x2 3=0.Activité 5(Famille de racines). Objectifs : afficher les solutions d"une famille d"équations du second degré.1.Afficher les racines.
Programme une fonction??????????????????????qui affiche les deux points correspondant aux deux solutions de l"équationax2+bx+c=0.NOMBRES COMPLEXESI14Amélioration.C"est mieux d"autoriser en argument optionnel le choix de la couleur du point par une
entête????????????????????????????????????.Retrouve sur la figure ci-dessous les racines des polynômesx2 2x+1=0,x2+x 1=0etx2+x+1=0.2.Famille de racines.On considère deux polynômes
P0(x) =x2+b0x+c0avec0=b2
0 4c060,
P1(x) =x2+b1x+c1avec1=b2
1 4c160.
On définit pour 06t61 :
P t(x) = (1 t)P0(x)+tP1(x) =x2+ (1 t)b0+tb1x+(1 t)c0+tc1. Question.Quelle forme a l"ensemble des racines de la famillefPt(x)g06t61? Programme une fonction????????????????????????????: • qui affiche les solutions deP0(x) =0 (en rouge par exemple), • qui affiche les solutions deP1(x) =0 (en vert par exemple), • qui affiche les solutions dePt(x) =0 pournvaleurst, avec 06t61 (en bleu par exemple). Pour les valeurs det, tu peux les choisir de la formek=navec 06kNombres complexes IIChapitre
3On poursuit l"exploration des nombres complexes en se concentrant sur la forme module/argument.Cours 1(Nombres complexes).
Module/argument.Tout nombre complexez2C, s"écrit : z=r(cos+isin) où • r=jzjest le module dez, • et2Rest unargument.jzj01iz RiRarg(z)Unicité.Siest un argument, alors n"importe quel+2kest aussi un argument.Pour éviter cette indécision, on peut imposer àd"appartenir à l"intervalle] ,+], l"argument est
alors unique. Pourz2C, il existe un unique couple(r,)avecr>0 et2] ,+]tel que : z=r(cos+isin).Remarques.
• Une autre convention aurait été de choisir l"intervalle[0,2[. •L"écriture(r,)s"appelle aussi l"écriture en coordonnées polaires d"un nombre complexe,paropposition
à l"écriturez=a+ibqui est l"écriture cartésienne.Cours 2(Module?????).Le module?????fournit des outils supplémentaires pour les nombres complexes. Pour éviter les conflits
avec le module????nous l"importerons par : ?????? ?????1.??????????????
renvoie l"argument2] ,+]du nombre complexez. Exemple : ?????????????????renvoie?????????qui correspond à la valeur 4 . 2. Rappel : ??????renvoie le modulejzj(c"est une fonction interne à??????).NOMBRES COMPLEXESII163.??????????????renvoie le couple module/argument(r,). Exemple :?????????????????ren-
voie?????????? ??????????qui correspond au couple(r,) = (p2, 4 ).4.???????????????????
renvoie le nombre complexe dont le module estret l"argument. Exemple : ??????????????????renvoie???????? ? ?????????et correspond àp2+ip2.Activité 1(Module/argument).
Objectifs : utiliser??????pour calculer et mieux comprendre la forme module/argument. 1. Pour un nombre complexez, par exemplez=1+3iouz=1+i, calcule son module et son argumentà l"aide de??????.
2. Quel nombre complexe a pour module2et argument3? Même question pour le complexe de module3et d"argument32. Essaie de deviner la réponse exacte à partir des valeurs approchées données par
??????. 3. À l"aide du module??????????, place le point d"affixezdont on te donne le module et l"argument, par exemple de modulep2 et argument 6 . 4. Soitn>3. Soit!le nombre complexe de module1et d"argument2n. Trace le polygone ayant pour sommets les points d"affixes :1,!,!2,...,!n 1.
Quelle est la nature de ce polygone?Activité 2(Module/argument (suite)).Objectifs : créer tes propres fonctions qui permettent la conversion entre l"écriture cartésienne d"un
nombre complexe et son écriture sous la forme module/argument. Tu vas écrire tes propres fonctions pour calculer avec les modules et les arguments. 1. Programme une fonction???????????????????????????????????????qui renvoie le nombre complexez(sous la forme d"un nombre complexe??????) dont le module et l"argument sont donnés.Utilise la formule
z=rcos+irsin. Compare ton résultat avec la fonction????du module?????.NOMBRES COMPLEXESII172.Programme une fonction?????????????????????????qui renvoie le module et l"argument du
nombre complexez. Récupère d"abord la partie réellexet la partie imaginaireydez. Le module est
alors facile à calculer. L"argument se calcule par la formule : =atan2(y,x) La fonction?????est une variante de la fonction " arctangente » et est disponible dans le module ????. Compare ta fonction avec les fonctions?????et?????du module?????. 3. Programme une fonction???????????????????????????????qui renvoie une mesure de l"angle dans l"intervalle] ,+]. Par exemple soit=52, comme= 2+32alors0= 2est la mesure de l"angle dans l"intervalle] ,+]. Indication.Commence par ramener l"angle dans l"intervalle[0,2[, puis discute selon la valeur.Une fois terminé compare ton résultat avec la commande????? ? ????.Cours 3(Notation exponentielle).
•Notation exponentielle.On note
e i=cos()+isin(). C"est donc le nombre complexe de module 1 et d"argument. •Formules d"Euler.Un petit calcul conduit à :
cos=ei+e i2 et sin=ei e i2i. •Formule de Moivre.
(cos+isin)n=cos(n)+isin(n).Avec la notation exponentielle, l"écriture de cette formule est très simple : ein=ein.Activité 3(Euler, de Moivre, Gauss).
Objectifs : mettre en oeuvre plusieurs formules.
1.Euler.
Programme deux fonctions??????????et????????qui calculent et renvoient le cosinus et le sinus d"un réeltdonné en utilisant les formules d"Euler. Indication.Utilise ta fonction????????????????????????de l"activité 1 pour calculereit.Exemple.Retrouve le sinus et le cosinus det=6
.2.de Moivre.
Programme une fonction??????????????????qui calculeznà l"aide de la formule deMoivre selon le principe suivant :
• Écrirezsous la formez=rei(utilise ta fonction????????????????????????). •Calculerrnetn.
• Renvoyerzngrâce à la formule de Moivrezn=rnein(utilise ta fonction ????????????????????????).Exemple.Calcule(2 3i)10.
Complexité.LaformuledeMoivrepermetderemplacerlecalculd"unepuissanced"un nombrecomplexe par le calcul de la puissance d"un nombre réel (son module).3.Gauss.
Comment calculer plus rapidement le produit de deux nombres complexes? Soitz=a+ib NOMBRES COMPLEXESII18etz0=c+id. La formule naïve donnée par la définition est : zz0= (ac bd)+i(ad+bc). Pour calculer un produit de deux nombres complexes, il faut donc calculer le produit de 4 nombresréels :ac,bd,ad,bc.Nous allons voir deux méthodes, dues à Gauss, qui ne nécessitent que3multiplications de nombres
réels. Méthode 1.Calculerr=ac,s=bd,t= (a+b)(c+d), alorsz= (r s)+i(t r s). Méthode 2.Calculerr=c(a+b),s=a(d c),t=b(c+d), alorsz= (r t)+i(r+s). Programme trois fonctions du type???????????????????????qui renvoient la partie réelle etla partie imaginaire de(a+ib)(c+id)par les trois méthodes décrites ici. Teste tes fonctions en
calculant(2+5i)(3 2i).Activité 4(Cercles et droites). Objectifs : tracer des cercles et des droites en utilisant les nombres complexes. 1. Programme une fonction?????????????????????qui trace et affiche les points d"affixezdonnés dans la liste. Indication.Utilise la commande????????????????provenant de??????????. C"est encore mieux si tu autorises les arguments optionnels avec une entête du type ??????????????????????????????????????????????. 2. Programme une fonction ??????????????????qui renvoie une liste de complexeszappartenant au cercle centré enz0et de rayonr.Indications.
• Ces complexeszvérifientjz z0j=ret sont donc de la forme : z=re2i, 06 <1. • C"est mieux d"avoir en argument optionnel le nombre de points avec une entête du type ????????????????????????????????. • Trace le cercle à l"aide de ta fonction???????????????. Figure.Voici le cercle de centre2+3iet de rayonp2, ainsi que le segment entre les points d"affixes 2 iet 1+3i.NOMBRES COMPLEXESII193.Programme une fonction????????????????????qui renvoie une liste de complexeszappartenant
au segment[z0,z1].Indications.
• Ces complexeszvérifientz2[z0,z1]et sont donc de la forme : z= (1 t)z0+tz1, 06t61. • C"est mieux d"avoir le nombre de points en argument optionnel avec une entête du type ??????????????????????????????????. • Trace le segment à l"aide de ta fonction???????????????.Activité 5(Transformations du plan). Objectifs : définir des transformations du plan à l"aide des nombres complexes. 1. Programme les fonctions suivantes. Chaque fonction est du type??????????????????????et renvoie la liste desf(z)pourzparcourant la liste donnée : • une fonction?????????????????????qui correspond à la translationz7!z+v, oùv2Cest fixé, • une fonction????????????????????qui correspond à l"homothétie de centre0et de rapport k2R:z7!kz, • une fonction??????????????????????qui correspond à la rotation d"angle, centrée en0: z7!zei, • une fonction????????????????qui correspond à la symétrie axialez7!¯z.Affiche ensuite l"image d"un cercle et d"un carré pour chacune de ces transformations (un carré est
formé de quatre segments!). Ci-dessous un cercle et un carré (en bleu) et leur image pour chaque
transformation (en rouge).NOMBRES COMPLEXESII202.Programme une fonction?????????????????qui correspond à l"inversion qui est l"application
z7!1z (pourz2C).En particulier essaie de conjecturer en quoi est transformée une droite, en quoi est transformé un
cercle (les cas où la droite ou le cercle passent par l"origine sont spéciaux).Ci-dessous un cercle et un carré (en bleu) et leur image par l"inversion (en rouge).3.Programme une fonction ????????????????qui correspond à l"applicationz7!z2.
Ci-dessous un cercle et un carré (en bleu) et leur image (en rouge).NOMBRES COMPLEXESII21
Dérivée - Zéros de fonctionsChapitre
4Nous étudions les fonctions : le calcul de la dérivée d"une fonction, le tracé du graphe et de tangentes,
et enfin la recherche des valeurs en lesquelles la fonction s"annule.Cours 1(Dérivée). Par définition le nombre dérivé defena(s"il existe) est : f0(a) =limh!0f(a+h) f(a)h
. Dans cette fiche nous supposerons que toutes les dérivées étudiées existent.Voici l"interprétation géométrique du nombre dérivé :f0(a)est le coefficient directeur de la tangente au
graphe defau point d"abscissea.grapheMtangente aCours 2(Fonction lambda).
Une fonction lambda (lettre grecque) est une façon simple de définir une fonction en??????qui s"apparente à une fonction mathématique. Par exemple : ? ? ?????? ?? ????Cela définit une fonction?????? ?qui correspond à la fonction mathématiquefdéfinie parf:x7!x2.
Ainsi????renvoie?,????renvoie?...
C"est une alternative condensée au code suivant : ??? ????? ?????? ????Une fonction est un objet??????comme un autre. Elle peut donc être utilisée dans le programme comme
dans l"exemple suivant qui teste sif(a)>f(b): DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS23??? ?????????????????????? ?? ???? ? ????? ?????? ???? ????? ?????? ?????Pour les deux fonctions?définies au-dessus (soit à l"aide de??????, soit à l"aide de???) alors
?????????????????????renvoie " Faux ».À l"aide des fonctions lambda on peut aussi se permettre de ne pas donner de nom à une fonction, comme
ci-dessous avec la fonctionx7!1x . Alors ????????????????????? ??????????qui renvoie " Vrai » (?????? ?????joue le rôle de?).Activité 1(Calcul de la dérivée en un point).
Objectifs : calculer une valeur approchée de la dérivée en un point.On va calculer une valeur approchée du nombre dérivéf0(a)en calculant le taux d"accroissement
f(a+h) f(a)h avechsuffisamment petit. 1. Définis la fonctionf,x7!xp1 x. Deux méthodes : soit à l"aide de??? ????????, soit par ? ? ?????? ?????Calcule les valeurs approchées def(k)pourk2 f0,1,2,...,5g. 2. Programme une fonction????????????qui calcule une valeur approchée de la dérivée defena par la formule f0(a)'f(a+h) f(a)h
en prenant par exemple pour valeurh=0.0001. Pour la fonctionf:x7!x3, compare la valeur approchée enaque tu obtiens avec la valeur exactedef0(k)pourk2 f0,1,2,...,5g. Diminue la valeur dehpour obtenir une meilleure approximation.Activité 2(Graphe d"une fonction et tangente).
Objectifs : tracer le graphe d"une fonction ainsi que des tangentes.Soitf:[a,b]!Rune fonction. Son grapheGfest :
G f= x,f(x)jx2[a,b] xf(x)(x,f(x))G fabDÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS241.Calculer des points.Soitfune fonction définie sur un intervalle[a,b]. On divise l"intervalle[a,b]
ennsous-intervalles de longueurb an en définissant : x k=a+kb an .ab x 0x 1x 2x kx nb an Programme une fonction???????????????qui calcule et renvoie la liste des points xk,f(xk) pourk=0,...,n.xy ab x 0x 1x kx nf(xk)Par exemple pour? ? ?????? ?? ???alors???????????????renvoie la liste : ???? ??? ????? ?????? ????? ????? ????? ?????? ????? ?????2.Afficher des points.
Programme une fonction???????????????????????qui affiche une liste de points. Indications.Tu peux utiliser le module???????(ou bien le module??????????). Tu peux utiliserune variable???????pour contrôler la taille de l"affichage. Les figures ci-dessous sont tracées pour
la fonctionfdéfinie parf(x) =pxsur l"intervalle[0,4].3.Tracerlegraphe. Améliorelafonctionprécédentepourécrireunefonction???????????????????? qui trace le graphe def. Indications.Il suffit de reliernpoints du graphe entre eux pournassez grand (avec5points à gauche et 20 points à droite). DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS254.Tracer une tangente.Trace la tangente au graphe au point(a,f(a))par une fonction????????????????????.Indications.On se place au point(x,y) = (a,f(a)). En ce point la pente de la tangente est donnée
parf0(a). En posant dx=1 etdy=f0(a) alors on représente une demi-tangente par le segment reliant(x,y)à(x+dx,y+dy). L"autre demi-tangente est représentée par le segment reliant(x,y)à(x dx,y dy).x=ay=f(a)dx=1dy=f0(a)Cette activité peut être l"occasion d"utiliser les arguments optionnels, par exemple au lieu de définir la
fonction???????????????par l"entête : ??? ????????????????????? et d"avoir des variables locales?et???????, tu peux définir ta fonction par : ??? ?????????????????????????????????????Ce qui permet d"avoir une valeur de?et de???????par défaut, en conservant la possibilité de les
changer. Des appels possibles sont : • ????????????????????; • ??????????????????????????pour tracer plus de points; • ???????????????????????????????pour changer l"échelle.DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS26
DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS27Cours 3(Dichotomie).Le méthode de dichotomie est basée sur cette version du théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème.Soitf:[a,b]!Rune fonction continue. Sif(a)etf(b)sont de signes contraires, alorsf s"annule au moins une fois sur l"intervalle[a,b]. Autrement dit, il existe`2[a,b]tel quef(`) =0.xy a f(a)<0bf(b)>0` xy af(a)>0b f(b)<0`Principe de la dichotomie
( o o signifie "coupé en deux»). On sait que notre fonctionfs"annule sur[a,b]. On calculef a+b2 , c"est-à-dire l"image du milieu du segment[a,b]. On cherche ensuite oùf peut s"annuler par rapport à ce milieu : •Sif(a)etf a+b2
sont de signes contraires alorsfs"annule sura,a+b2 , • sinonfs"annule sura+b2 ,b.xy a ba+b2f(a+b2 )>0xy a ba+b2 f(a+b2 )<0On recommence l"opération sur l"intervalle a,a+b2 ou bien sur l"intervallea+b2 ,b.Remarques :
• f(a)etf(b)sont de signes contraires si et seulement sif(a)f(b)60. • On va construire des intervalles de plus en plus petits qui contiennent une solution`, def(`) =0. On obtient donc un encadrement de`(mais pas sa valeur exacte). •Il se peut quefs"annule plusieurs fois, mais la méthode de dichotomie ne fournit l"encadrement que
d"une seule solution. •Pour expliquer la partie " si » du principe de la dichotomie, on applique le théorème des valeurs
intermédiaires sura,a+b2 . Pour expliquer la partie " sinon », on remarque d"abord quef(b)et f a+b2doivent être de signes contraires, puis on applique le théorème des valeurs intermédiaires.
DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS28Exemple.
On cherche " à la main » une valeur approchée dep2. • Soitfdéfinie parf(x) =x2 2. On se place sur l"intervalle[1,2]. •Commef(1) = 160etf(2) =2>0et quefest continue alorsfs"annule sur l"intervalle[1,2]par le théorème des valeurs intermédiaires. Bien sûr, icifs"annule en`=p2. Pour l"instant on a
prouvé : 16p262. • On divise l"intervalle[1,2]en deux parties, le milieu étant32 , on calcule : f32
=32 2 2=14 >0. Donc sur le demi-intervalle[1,32]on af(1)60etf(32)>0, et c"est bien là quefs"annule.Autrement dit 16p2632
. C"est un encadrement deux fois plus précis qu"auparavant. •On divise l"intervalle[1,32
]en deux parties, le milieu étant54 , on calcule : f54
=54 2 2= 716 60.Donc sur le demi-intervalle[54
,32 ]on af(54 )60 etf(32 )>0, ainsi54 =1.256p2632 =1.5. • On continue ainsi, on obtient des intervalles[ai,bi]de plus en plus petits qui encadrentp2 : a0=1b0=2
a1=1b1=1.5
a2=1.25b2=1.5
a3=1.375b3=1.5
a4=1.375b4=1.4375
a5=1.40625b5=1.4375
a6=1.40625b6=1.421875
a7=1.4140625b7=1.421875
a8=1.4140625b8=1.41796875
Donc en8étapes on prouve que1.41406256p261.41796875. En particulier on obtient les deux premières décimales dep2 : p2=1.41...xy121.51.251.375x
2 2Activité 3(Dichotomie).
Objectifs : trouver une solution approchée d"une équation f(x) =0. Le principe de la dichotomie se décline en l"algorithme suivant :DÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS29Algorithme.
• - Entrée : une fonction f, un intervalle[a,b]avecf(a)f(b)60, une marge d"erreur. -Sortie : un intervalle[a0,b0]tel quejb0 a0j6sur lequelfs"annule, autrement dit, il existe a06`6b0tel quef(`) =0. •Tant quejb aj> :
- poser c=a+b2 , - si f(a)f(c)60, faireb c, - sinon, faire a c. •À la fin renvoyeraetb(qui encadrent la solution).1.Programme cet algorithme en une fonction ?????????????????????????.
2.Exemples.
(a)Trouve une valeur approchée dep3à10 3près, en utilisant la fonction définie parf(x) =x2 3
sur l"intervalle[1,2]. (b)T rouveune valeur approchée de
3p5, en utilisant la fonction définie parf(x) =x3 5.
(c) T rouveune valeur approchée de chacune des trois solutions de l"équation x5 3x+1=0. 3.Soit la fonction définie parf(x) =x2 3sur l"intervalle[1,2]. Combien faut-il d"étapes pour obtenir
une approximation dep3 avec 10 décimales exactes après la virgule?Cours 4(Méthode de Newton).
On va voir une autre méthode très efficace pour obtenir une valeur approchée d"une solution`def(`) =0.
L"idée de la méthode de Newton est d"utiliser la tangente : • on part d"une valeurx0quelconque, • on trace la tangente au graphe defau point d"abscissex0, • cette tangente recoupe l"axe des abscisses en un point d"abscissex1(figure de gauche), • cette valeurx1est plus proche de`quex0, •on recommence à partir dex1: on trace la tangente, elle recoupe l"axe des abscisses, on obtient une
valeurx2... (figure de droite).tangente enx0x 0x 1` x0tangente enx1x
1x 2On va ainsi définir une suite(xn)par récurrence. L"équation de la tangente en une valeurxnest donnée
pary f(xn) =f0(xn)(x xn). En partant d"une valeurx0, on obtient une formule de récurrence, pourDÉRIVÉE- ZÉROS DE FONCTIONS30n>0 :
x n+1=xn f(xn)f0(xn).Pour que cette méthode fonctionne il faut tout de même partir d"une valeurx0pas trop éloignée de la
solution`cherchée.Exemple. On cherche encore " à la main » une valeur approchée dep2. • Soitfdéfinie parf(x) =x2 2. On a doncf0(x) =2x. •On part dex0=2.
• On calculef(x0) =2 etf0(x0) =4. Par la formule de récurrence : x1=x0 f(x0)f
0(x0)=32
=1.5 •On calculef(32
) =14 ,f0(32 ) =3 et donc x2=x1 f(x1)f
0(x1)=1712
=1.41666... •Puisx3=1.4142156... qui a déjà 5 chiffres après la virgule de corrects!Activité 4(Méthode de Newton).
Objectifs : programmer la méthode de Newton.Algorithme. • - Entrée : une fonction f, une valeur de départa, un nombre d"itérationsn. - Sortie : une valeur approchée de `tel quef(`) =0. •Poserx=a.
•Répéternfois :
x x f(x)f 0(x) •À la fin renvoyerx(qui approche une solution).1.Programme cet algorithme en une fonction ?????????????.
Indication.Utilise ta fonction????????????avec unhtrès petit.2.Exemples.
(a)Trouve une valeur approchée dep3à10 3près, en utilisant la fonction définie parf(x) =x2 3,
en partant dea=2. (b)T rouveune valeur approchée de
3p5, en utilisant la fonction définie parf(x) =x3 5.
(c) T rouveune valeur approchée de la solution de l"équation cos (x) =x. 3. Soit la fonction définie parf(x) =x2 3eta=2. Combien faut-il d"étapes pour obtenir une approximation dep3avec10décimales exactes après la virgule? Compare avec la méthode de la dichotomie!ExponentielleChapitre
5L"exponentielle joue un rôle important dans la vie de tous les jours : elle permet de modéliser la
vitesse de refroidissement de votre café, de calculer la croissance d"une population ou de calculer la
performance d"un algorithme.xyexpxe 1 10Cours 1(La fonction exponentielle).
Voici un très court cours sur l"exponentielle.
• Lafonction exponentielleest la fonction exp :R!]0,+1[qui vérifie : exp(0) =1 et exp(x+y) =exp(x)exp(y). •On notee=exp(1) =2.718281...
• La fonction exponentielle est strictement croissante, strictement positive,limx! 1exp(x) =0, limx!+1exp(x) = +1. • exp( x) =1exp(x), exp(nx) = (exp(x))n. • On noteex=exp(x), de sorte queex+y=exey,e x=1=ex,e0=1,e1=e,enx= (ex)n... • La dérivée de l"exponentielle est elle même : exp0(x) =exp(x). • Lafonction logarithmeln:]0,+1[!Rest la bijection réciproque de la fonction exponentielle, c"est-à-dire : y=exp(x)()x=ln(y).Plus précisément :
exp ln(x)pour toutx>0, ln exp(x)pour toutx2R. Le logarithme vérifie ln(1) =0 et ln(xy) =ln(x)+ln(y). • L"exponentielle permet de définir une puissance avec des exposants réels : a b=exp bln(a). EXPONENTIELLE32Autrement ditab=ebln(a).Cours 2(Exponentielle et logarithme avec??????).•Pour obtenir une valeur approchée de l"exponentielle en un point il faut importer le module????par
la commande???? ???? ?????? ?puis utiliser la fonction?????. • Il y a plusieurs fonctions logarithmes accessibles depuis le module????. Celle qui correspond aulogarithme népérienln(x)s"obtient par l"appel à la fonction?????. (À ne pas confondre avec la
notation mathématique log(x)qui désigne habituellement le logarithme décimal!) • Il est possible de faire des calculs de puissances, sans importer le module????, par la commande : ? ?? ?Objectifs des quatre premières activités : découvrir le comportement de l"exponentielle à travers des
activités variées.Activité 1(Les grains de riz).Pour le remercier d"avoir inventé le jeu d"échec, le roi des Indes demande à Sissa ce qu"il veut comme
récompense. Sissa répond : " Je souhaiterais que vous déposiez un grain de riz sur la première case,
deux grains de riz sur la seconde, quatre grains de riz sur la troisième... et ainsi de suite en doublant à
chaque case le nombre de grains. ». " Facile! » répondit le roi... 1. Combien faut-il de grains de riz au total pour recouvrir l"échiquier de 64 cases ? 2. Un kilogramme de riz contient50000grains. Quelle est la masse totale (en tonnes) de tous les grains de riz de l"échiquier?Et toi : préfères-tu recevoir1million d"euros d"un coup ou bien1centime le premier jour, puis2centimes
le second, 4 centimes le jour suivant... pendant un mois?Activité 2(Le nénuphar qui s"agrandit).
Un nénuphar multiplie sa surface d"un facteur1.5chaque jour. Au dixième jour sa surface vaut100m2.
1. Quelle surface recouvre le nénuphar au quinzième jour ? 2.Quelle surfaceS9recouvrait le nénuphar le neuvième jour? Et le huitième jour? Calcule la surface
S0que recouvrait le nénuphar le jour initial (le jour 0). 3. T rouvela formule S(j)qui exprime la surface recouverte au jourj, en fonction dejet deS0. Définis une fonction???????????????????qui renvoie cette surfaceS(x). Le paramètrexrepré- sente le nombre de jours écoulés, mais n"est pas nécessairement un nombre entier. Vérifie que tu peux utiliser indifféremment une commande du type? ?? ?(pourax) ou bien ?????????????pour exp xln(a). 4.Trouve par tâtonnement ou par balayage au bout de combien de jours la surface du nénuphar est de
10000m2. Donne la réponse avec deux chiffres exacts après la virgule.
5. (Si tu maîtrises le logarithme.) Trouve l"expression dexen fonction de la surface couverteS. Pro- gramme une fonction????????????????qui renvoie le nombre de jours écoulésxpour atteindre la surfaceSdonnée. Par exemple??????????????????renvoiex=11.709...EXPONENTIELLE33Activité 3(Demi-vie et datation au carbone 14).Le carbone 14 est un élément radioactif présent dans le corps de chaque être vivant et qui disparaît peu
à peu à sa mort par désintégration. En mesurant le taux de carbone 14 par rapport au taux de carbone
ordinaire (qui lui ne se désintègre pas), on peut dater l"époque à laquelle a vécu l"être vivant (jusqu"à
40000 ans en arrière).
Le nombre d"atomes de carbone 14 suit une loi exponentielle donnée par la formule :N(t) =N0exp
tln(2)T où : • N(t)est le nombre d"atomes restant aprèstannées, • N0est le nombre d"atomes initial, on prendra iciN0=1000, • Test la période de demi-vie des atomes de carbone 14,T=5730.tN(t)0N 0N 02 T 1. Programme une fonction???????????????????????????qui renvoieN(t). Combien reste-t-il d"atomes sur les 1000 atomes de départ au bout de 100 ans? 2. (a) V érifiemathématiquement et expérimentalement queN(t) =N02 t=T.
(b) Combien reste-t-il d"atomes au bout deT=5730années? Justifie le terme de " demi-vie » pour la duréeT. (c) Combien reste-t-il d"atomes au bout de 2 Tannées? Au bout de 3Tannées? ... (d) Saurais-tu trouver de tête environ combien il reste d"atomes au bout d"une période de10demi- vies? 3. On souhaite dater un échantillon à partir de sa teneur en carbone 14. (a)V érifiemathématiquement que
t= Tln(2)lnN(t)N 0 . (b) Programme une fonction????????????????????????????qui renvoie la date de l"échantillon en fonction du nombre d"atomesNmesuré. (c) Vérifie que si on mesureN=500atomes sur lesN0=1000initial, alors l"échantillon a bien l"âge que l"on pense. (d) Tu as trouvé un échantillon d"une espèce disparue, l"Animagus PythoniscusavecN=200atomes sur lesN0=1000 initial. Quand a vécu cet animal?EXPONENTIELLE34Activité 4(La loi de refroidissement de Newton).On place un corps chaud de température initialeT0(par exempleT0=100C) dans une pièce plus froide
de températureT1(par exempleT1=25C). Le corps chaud se refroidit progressivement jusqu"àatteindre la température de la pièce (au bout d"un temps infini). La loi de refroidissement de Newton
exprime le températureT(t)du corps en fonction du tempst(en minutes) :T(t) T1= (T0 T1)e kt
oùkest une constante que l"on va déterminer expérimentalement.tT(t)0T 0T11.V érifiemathématiquement que T(0) =T0et que limt!+1T(t) =T1.
2. On fixeT0=100C,T1=25Cet on va déterminerkà l"aide d"une information supplémentaire. On mesure qu"à l"instantt1=10 minutes, la température du corps estT1=65C. Prouve que la constantekest donnée par la formule : k= 1t1lnT1 T1T
0 T1
. 3. Maintenant que tu connaisk, programme une fonction??????????????qui renvoie la température T(t). Quelle est la température au bout de 20 minutes de refroidissement? 4.Par tâtonnement, par balayage ou en résolvant une équation, trouve au bout de combien de temps
(arrondi à la minute près) la température du corps atteint 30C.Activité 5(Définition de l"exponentielle).
Objectifs : programmer le calcul deexp(x)par différentes méthodes.1.Limite d"une suite.On a
exp(x) =limn!+1 1+xn n. Déduis-en une fonction?????????????????????????qui renvoie une valeur approchée deexp(x) pour une valeur den(assez grande) fixée. Teste ta fonction pour calculerexp(2.8), avecn=10, puis100... Compare tes résultats avec la fonction?????? ?????.2.Factorielle.Programme une fonction??????????????qui renvoie
n!=123n. Indications.Le plus simple est d"initialiser une variable????à1puis de programmer une boucle. Par convention 0!=1. Par exemple 10!=3628800.EXPONENTIELLE353.Somme infinie.On note
S n=1+x1! +x22! +x33! ++xkk!++xnn!=n X k=0x kk!. Alorsexp(x) =limn!+1Sn.Déduis-en une fonction????????????????????????qui renvoie la valeur de la sommeSnet qui
fournit ainsi une valeur approchée de exp(x).Teste ta fonction avecn=10,n=15...
4.Méthode de Hörner.
Afin de minimiser les multiplications (du genrexk=xxx) voici laformule de Hörner qui est juste une réécriture de la sommeSndéfinie à la question précédente :
S n=1+x1 1+x2 1++x3 +xn 1 1+xnEt bien sûr :
exp(x) =limn!+1Sn. Programme une fonction?????????????????????????qui implémente cette méthode et renvoie la valeur deSn.Indications.Il faut partir du terme le plus imbriqué1+xnpuis construire cette expression à rebours à
l"aide d"une boucle. 5.(Un peu de théorie plus difficile.) Compare le nombre de multiplications effectuées pour les méthodes
des deux questions précédentes pour le calcul deSn. Par exemple le calcul dex33!nécessite deux
multiplications pourx3=xxxet deux multiplications pour3!=123. (Note : on ne comptepas les additions car c"est une opération peu coûteuse, et ici on ne tient pas compte des divisions car
il y en a autant pour les deux méthodes.)6.Fraction continue d"Euler.
Voici une nouvelle formule pourSn=1+x1!+x22!++xnn!sous la forme d"une succession de fractions : S n=11 x1+x x2+x 2x3+x 3x4+x . ..n 1+x (n 1)xn+xOn programme cette formule en partant de la fraction tout en bas par l"algorithme suivant :Algorithme.
•Action : calculer la sommeSnen fonction dex.
•InitialiserS 0.
• Pourkallant denà 1 (donc à rebours), faire :S xk+x kS
•À la fin, faireS 11 S.
• RenvoyerS.Programme cet algorithme en une fonction????????????????????????.EXPONENTIELLE367.Exponentielle de grandes valeurs.Les fonctions précédentes sont valables quel que soitx, mais
pour de grandes valeurs dex(par exemplex=100.5) il faut de grandes valeurs denpour obtenirune bonne approximation deexp(x). Pour remédier à ce problème nous allons voir un algorithme
qui permet de se ramener au calcul de l"exponentielle d"un réelf2[0,1[pour lequel les fonctions précédentes sont efficaces. L"idée est de décomposerxen sa partie entière plus sa partie fractionnaire : x=k+foùkest un entier et 06f<1. On utilise la propriété de l"exponentielle : e x=ek+f=ekef.Maintenant :
• ef =exp(f)s"obtient par le calcul de l"exponentielle d"un petit réel06f<1et se calcule bien par l"une des méthodes précédentes. • ek=eeeest le produit de plusieurse, c"est donc un simple calcul de puissance (et pas vraiment un calcul d"exponentielle). • Il faut au préalable avoir calculé une fois pour toutes la valeur de la constantee=exp(1) =2.718... par l"une des méthodes précédentes.
Voici l"algorithme à programmer en une fonction?????????????????????????:Algorithme. •Action : calculer une approximation de exp(x).
• Préalable : calculer une fois pour toutes la valeur dee=exp(1)avec le maximum de précision. •Poserkla partie entière dex(utiliser???????). •Poserf=x k.
•Calculer une valeur approchée deexp(f)par l"une des méthodes précédentes en fonction d"un
paramètren. • Calculer exp(k) =ekpar le calcul de puissanceee • Renvoyer l"approximation correspondant au résultat exp(x) =exp(k)exp(f).LogarithmeChapitre
6Le logarithme est une fonction aussi importante que l"exponentielle. C"est le logarithme qui donne
l"ordre de grandeur de certaines quantités physiques, par exemple la puissance d"un séisme ou celle
d"un son.xy ln(x)e1 10Cours 1(Le logarithme décimal).
On commence avec le logarithme décimal qui est plus facile à appréhender. Le logarithme décimal d"un
nombre réel positifx, est l"exposantyde ce nombre écrit sous la formex=10y. Autrement dit :x=10y()y=log10(x)Exemples.
• log10(102) =2, log10(103) =3, log10(10000) =4,... •