Trier – Divide and conquer
Tri fusion d'une liste – Programme Python. Python def trifusion(T) : if len(T)<=1 : return T. T1=[T[x] for x in range(len(T)//2)].
Informatique en CPGE (2018-2019) Algorithmes de tri 1 Introduction
Une opération de tri consomme un temps de calcul important sur un ordinateur et il donc Programme du tri par fusion : ... 4 Le tri en Python.
CAPES MATHS OPTION INFORMATIQUE ALGORITHMIQUES DE TRI
Ecrire en Python une version récursive de l'algorithme du tri par fusion d'un tableau de réels. def fusion(gauche droite): igauche
Algorithmes de tri 2
15 nov. 2017 1.4 Implémentation en Python . ... Le principe du tri fusion est de découper en 2 parties égales pour ... Facile à programmer. Externable.
Chapitre 3 Les algorithmes de tris rapides
28 oct. 2014 Tri fusion. Démonstration mathématique. 3 Comparaison de complexité de différentes méthodes de tris. Programmation en Python–2`eme année MP3 ...
Algorithmes de tris
Dans la pratique ces algorithmes seront illustrés en Python par le tri d'une liste à valeurs Ainsi
INFORMATIQUE 2ème année
3) Tri par fusion donnerons des exemples de conversion de programme récursif en programme ... En Python une pile peut être simulée par une liste.
Les algorithmes de tris et leurs implémentations en Python
Le tri par fusion (merge sort en anglais) consiste à diviser le tableau à trier en deux parties de même taille. (à une unité près) puis à fusionner les deux
Leçon 903 : Exemples dalgorithmes de tri. Correction et complexité
des tri par sélection le plus simple à programmer : il se base sur l'idée que le premier découpe simplement le tableau de départ (tri fusion) tandis que ...
1 Algorithmes de tri
Celà ne pose pas de problème en Python car les paramètres sont passés par référence L'algorithme de tri par fusion se programme naturellement de façon ...
Cours n°9 Etienne Lozes (remerciements: Jean-Paul Roy) L1
Le tri d'une liste par fusion Le tri fusion est un premier exemple d’algorithme de type DIVISER POUR REGNER : - je commence par scinder la liste L en deux sous-listes L1 et L2 de même longueur ou presque - je trie récursivement L1 et L2 pour obtenir LT1 et LT2 - je fusionne LT1 et LT2 en une seule liste triée tri-fusion ? [52738
Les algorithmes de tris et leurs implémentations en Python
Le tri par insertion d’un tableau consiste à faire grandir une petite « liste » d’éléments déjà triée en y insérant successivement les éléments de la liste de départ Sur vecteur le tri par insertion est un peu plus délicat à programmer que le tri par extraction car on a besoin
TRI PAR FUSION - Info-NSI
TRI PAR FUSION TRI PAR FUSION LA METHODE DIVISER POUR REGNER En programmation diviser pour régner est une méthode de conception d'algorithmes réduisant récursi-vement un problème en un ou plusieurs sous-problèmes du même type Cette méthode est utilisée notamment pour le tri par dichotomie le tri par fusion et le tri rapide (quick sort)
leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit diu-eilgricad-pagesuniv-grenoble-alpesfrImplémentation des tris - Université Grenoble Alpes
2 Tri par fusion Exercice 5 Implémentez un tri par fusion de la façon la plus simple et lisible possible Vous pouvez utiliser les facilitésdePython:tranchagedelisterecopiedelisteetc Exercice 6 Améliorez le programme précédent pour éviter de réallouer un nouveau tableau temporaire à chaque appeldefusion :
Chapitre 3 Les algorithmes de tris rapides - ATSPACE
Le tri fusion (merge sort) est un des premiers algorithmes invent es pour trier untableau car (selon Donald Knuth) il aurait et e propos e par John von Neuman d es1945 ; il constitue un parfait exemple d'algorithme naturellement r ecursif qui utilise leconcept de la programmationdiviser pour r egner Principe de fonctionnement
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Tri fusion 1 Présentation du problème 2 Quelques dé?nitions 3 Calcul de la médiane Dé?nition 1 1 Un algorithme de tri permet d’organiser une collection d’objets selon un ordre déterminé Les objets à trier doivent pour cela faire partie d’une classe munie d’une relation d’ordre
Qu'est-ce que le tri par fusion?
- Le tri par fusion ( merge sort en anglais) consiste à diviser le tableau à trier en deux parties de même taille (à une unité près) puis à fusionner les deux parties après les avoir triées récursivement.
Comment implémenter un algorithme de tri?
- Chaque algorithme de tri peut être implémenté sur liste chaînée ou bien sur vecteur indexé. Les listes chaînées étant, par dé?nition, des objets récursifs, les implémentations les concernant se font en programmation fonctionnelle1et récursive2.
Quel est le principe du tri par segmentation?
- Le principe du tri par segmentation est donc le suivant : segmenter par rapport à un pivot, puis trier récursivement les deux sous-tableaux obtenus. Comme le tri par fusion, le tri par segmentation est donc dichotomique. La di?érence est que les deux parties ne sont pas toujours de même taille (même à une unité près).
Les algorithmes de tris classiques
Les algorithmes de tris rapides
Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisChapitre 3Les algorithmes de tris rapides
Programmation en Python{2eme annee MP3{
28 octobre 2014
Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20151/ 29Les algorithmes de tris classiques
Les algorithmes de tris rapides
Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisPlan1Les algorithmes de tris classiques
Tri par selection
Tri par bulle
Tri par insertion
2Les algorithmes de tris rapides
Tri rapide
Tri fusion
Demonstration mathematique
3Comparaison de complexite de dierentes methodes de tris
Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20152/ 29Les algorithmes de tris classiques
Les algorithmes de tris rapides
Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri par selectionTri par bulle
Tri par insertionTri par selection
La fonction TriSelection(T,n)
def TriSelection(T,n) : for i in range(n-1) :Posmin=i
for j in range(i+1,n) : if T[j]T[i],T[Posmin]=T[Posmin],T[i]Complexite
la complexite estO(n2)PrincipeLe tri par selection consiste a chercher la
plus petite valeur de la liste, puis de la mettre a la derniere place en l'echangeant avec la premiere valeur. On reitere alors le procede sur la liste restreinte aux nombresrestants et cela jusqu'a obtenir la liste triee.Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20153/ 29
Les algorithmes de tris classiques
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Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri par selectionTri par bulle
Tri par insertionTri par bulle
La fonction TriBulle(T,n)
def TriBulle(T,n) : inversion=True : while inversion : inversion=False for i in range(n-1) : if T[i]>T[i+1] : #Permutation c=T[i]T[i]=T[i+1]
T[i+1]=c
inversion=FalseComplexite la complexite estO(n2)PrincipeLe principe du tri par bulle consiste a
comparer deux a deux les elements e1 et e2 consecutifs d'un tableau et d'eecteur une permutation si e1>e2. On continue de trierjusqu'a ce qu'il n'y ait plus de permutation.Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20154/ 29
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Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri par selectionTri par bulle
Tri par insertionTri par insertion
La fonction TriInsertion(T,n)
def TriInsertion(T,n) : for i in range(n) : j=i-1 while (j>=0 and T[j]>T[j+1]) : #PermutationT[j],T[j+1]=T[j+1],T[j]
j=j-1Complexite la complexite estO(n2)PrincipeLe tri par insertion consiste a inserer le
premier element a trier au premier emplacement d'une nouvelle liste, puis on insere chaque nouvel element a sa bonne place dans la liste deja triee. On reitere alors le procede jusqu'a avoir replace tous les elements de la liste initiale. (jeu de cartes ou un paquet de copies).Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20155/ 29Les algorithmes de tris classiques
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Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri rapideTri fusion
Demonstration mathematiquePrincipe de tri rapide
Denition
Le tri rapide (en anglais quicksort) est un algorithme de tri invente par C.A.R. Hoare en 19611 et fonde sur la methode de conceptiondiviser pour regner. Il est generalement utilise sur des tableaux, mais peut aussi ^etre adapte aux autres types de donnees.Principe de fonctionnementL'algorithme peut s'eectuer recursivement :
1Le premier element de la liste a trier est appele \pivot".
2On cree un premier sous-enemble constitue des elements plus petits que le
pivot. On les place a gauche du pivot dans l'ordre ou ils sont dans la liste a trier.3On cree de la m^eme facon un deuxieme sous-enemble constitue des elements plus grands que le pivot. On les place a droite de celui-ci dansl'ordre ou ils apparaissent dans le tableau.4On procede de m^eme, par recursivite, sur les deux sous-ensembles jusqu'a
obtenir des sous ensembles d'un seul element. Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20156/ 29Les algorithmes de tris classiques
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Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri rapideTri fusion
Demonstration mathematiqueDes exemples d'illustrationExemple 1
On va illustrer le tri rapide sur le tableau T=[7,6,3,5,4,2,1]. On choisit commePivotune valeur aleotoire du tableau T.1.Iteration 1 :Pour trier T[0 :7], on choisit au hasard 4 comme pivot.
On place les elements plus petits que 4, puis 4, puis les autres. Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20157/ 29Les algorithmes de tris classiques
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Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri rapideTri fusion
Demonstration mathematiqueDes exemples d'illustration2.Iteration 2 :Pour trier T[0 :3], on choisit 3 comme pivot.
On place les elements plus petits que 3, puis 3, puis les autres.3.Iteration 3 :Pour trier T[0 :2], on choisit 2 comme pivot..
On place les elements plus petits que 2, puis 2, puis les autres. Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20158/ 29Les algorithmes de tris classiques
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Demonstration mathematiqueDes exemples d'illustration4.Iteration 4 :Pour trier T[0 :3], on choisit 3 comme pivot.
On place les elements plus petits que 3, puis 3, puis les autres.5.Iteration 5 :Pour trier T[0 :2], on choisit 2 comme pivot..
On place les elements plus petits que 2, puis 2, puis les autres. Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20159/ 29Les algorithmes de tris classiques
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Demonstration mathematiqueDes exemples d'illustrationExemple 2
On va illustrer le tri rapide sur le tableau T=[4,6,3,5,7,2,1] (Pivot=T[0]).Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201510/ 29
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Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri rapideTri fusion
Demonstration mathematiqueImplementation de l'algorithme de tri rapideTri rapide -Solution 1-
Programme recursif Python
def Trirapide(L) : if L == [ ] : return [ ] else : n = len(L)-1 #on va balayer la liste L et repartir les valeursL1 = [ ]
L2 = [ ]
for k in range(1,n+1) : if L[k]<=L[0] : L1.append(L[k]) #L1 recoit les elements plus petits else : L2.append(L[k]) #L2 recoit les elements plus grandsL = Trirapide(L1)+[L[0]]+Trirapide(L2)
return L)Exemple : >>>T=Trirapide([10,39,21,2,8,6,1]) >>>print(T) vaut [1;2;6;8;10;21;39]Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201511/ 29Les algorithmes de tris classiques
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Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri rapideTri fusion
Demonstration mathematiqueImplementation de l'algorithme de tri rapideTri rapide -Solution 2-
Pour implementer l'algorithme tri rapide on a besoin de programmer quatre fonctions :1La fonctionEchange(T,i,j)pour echanger les elements T[i] et T[j] d'un tableau T2La fonctionPartition(T, premier, dernier)prend le tableauTet deux indicespremieretdernieren arguments, avec la convention quepremier est inclus etdernierexclu. On suppose qu'il y a au moins un element dans ce segment,3La fonctionTriRapidePartition(T, premier, dernier) :qui permet detrier une liste T en la partitionnant recursivement en sous listes.4La fonctionTriRapide(T)permettant de trier la liste T en uitlisant
l'algorithme tri rapide. Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201512/ 29Les algorithmes de tris classiques
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Demonstration mathematiqueImplementation de l'algorithme de tri rapideTri rapide -Solution 2-
La fonctionPartition(T, premier, dernier)def partition(T, premier, dernier) : pivot = T[premier] gauche = premier #On pointe gauche sur l'indice de pivot droite = dernier ag = 0 while ag == 0 : while T[droite]>= pivot and droite>= gauche : droite = droite - 1 if droite>= gauche :Echange(T,gauche,droite)
pivot=T[droite] while gauche<= droite and T[gauche]<= pivot : gauche = gauche + 1 if gauche<= droite :Echange(T,gauche,droite)
pivot=T[gauche] if droiteLes algorithmes de tris rapides
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Demonstration mathematiqueImplementation de l'algorithme de tri rapideTri rapide -Solution 2-
La fonctionEchange(T,i,j)def Echange(T,i,j) :
T[i], T[j] = T[j], T[i]La fonctionTriRapidePartition(T) def TriRapidePartition(T, premier, dernier) : if premierTriRapidePartition(T, m+1, dernier)
La fonctionTriRapide(T)
def TriRapide(T) : "Trie une liste de nombres de maniere croissante"TriRapidePartition(T, 0, len(T)-1)
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Demonstration mathematiqueComplexite en nombre de comparaisons C(n) -Solution 2- La fonction partition fait toujours exactementdernierpremier1 comparaisons. Si la fonctionpartitiondetermine un segment de longueur K et un autre de longueur N1K, la fonctionTriRapidePartitionva donc eectuerN1 comparaisons par l'intermediaire departition, puis d'autres comparaisons par l'intermediaire des deux appels recursifs aTriRapidePartition(la fonction reecrite avec un seul appel recursif a la m^eme complexite en temps). Le pire des cas correspond a K = 0, ce qui donne, en notant C(N ) la complexite du tri d'un tableau de longueur N , l'equation de recurrence suivante :C(N) =N1 +C(N1)
DoncC(N) =N22
, d'ou la complexite estO(N2) Le meilleur des cas correspond a un segment coupe en deux moities egales, c'est-a-direK=N=2. L'equation de recurrence devient alors :C(N) =N1 + 2C(N=2)
On deduit queC(N) =N log N, donc la complexite estO(N log N)Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201515/ 29
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Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri rapideTri fusion
Demonstration mathematiqueComplexite en nombre de aectation A(n) -Solution 2- En ce qui concerne le nombre d'aectationsA(n), on note que la fonctionpartition eectue un appel aEchangeinitial, autant d'appels aEchangeque d'incrementations de m, et eventuellement un dernier appel lorsque m!= g. Le meilleur des cas est atteint lorsque le pivot est toujours a sa place. Il y a alors un seul appel aEchange, soit deux aectations. Il est important de noter que ce cas ne correspond pas a la meilleure complexite en termes de comparaisons (qui est alors quadratique).DoncA(N) = 2N, d'ou la complexite estO(N)
Dans le pire des cas, le pivot se retrouve toujours a la positionr1. La fonctionpartitioneectue alors 2(dernierpremier) aectations. On deduitqueA(N) =N2, donc la complexite estO(N2)Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201516/ 29
Les algorithmes de tris classiques
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Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri rapideTri fusion
Demonstration mathematiquePrincipe de tri fusion
Denition
Le tri fusion (merge sort) est un des premiers algorithmes inventes pour trier un tableau car (selon Donald Knuth) il aurait ete propose par John von Neuman des1945; il constitue un parfait exemple d'algorithme naturellement recursif qui utilise le
concept de la programmationdiviser pour regner.Principe de fonctionnementL'algorithme peut s'eectuer recursivement :
1On decoupe en deux parties a peu pres egales les donnees a trier.
2On trie les donnees de chaque partie.
3On fusionne les deux parties.
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Demonstration mathematiqueDes exemples d'illustrationExemple 1
On va illustrer le tri fusion sur le tableau T=[7,6,3,5,4,2,1,8].Pour trier T[0 :8], on trie T[0 :4] et T[4 :8].
Pour trier T[0 :4], on trie T[0 :2] et T[2 :4].
Pour trier T[0 :2], on trie T[0 :1] et T[1 :2].
On fusionne T[0 :1] et T[1 :2].
Pour trier T[2 :4], on trie T[2 :3] et T[3 :4].
On fusionne T[0 :1] et T[1 :2]
On fusionne T[0 :2] et T[2 :4].
Pour trier T[4 :8], on trie T[4 :6] et T[6 :8].Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201518/ 29
Les algorithmes de tris classiques
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Demonstration mathematiqueDes exemples d'illustrationPour trier T[4 :6], on trie T[4 :5] et T[5 :6].
On fusionne T[4 :5] et T[5 :6]
Pour trier T[6 :8], on trie T[6 :7] et T[7 :8].
On fusionne T[6 :7] et T[7 :8].
On fusionne T[4 :6] et T[6 :8].
On fusionne T[0 :4] et T[4 :8].Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201519/ 29Les algorithmes de tris classiques
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Demonstration mathematiqueDes exemples d'illustrationExemple 2
On va illustrer le tri fusion sur le tableau T=[3,4,6,2,5,1,8,7]. Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201520/ 29Les algorithmes de tris classiques
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Demonstration mathematiqueImplementation de l'algorithme de tri fusionTri fusion -Solution 1-
Pour implementer l'algorithme tri fusion on a besoin de programmer deux fonctions :1Une fonction recursiveFusion(T1,T2)permettant de fusionner deux listes triees T1 et T2.2Une fonction recursiveTriFusion(T)permettant de trier la liste T en uitlisant l'algorithme tri fusion.Programme recursifFusion(T1,T2)def Fusion(T1,T2) : if T1==[] : return T2 if T2==[] : return T1 if T1[0]Les algorithmes de tris rapides
Comparaison de complexite de dierentes methodes de trisTri rapideTri fusion
Demonstration mathematiqueImplementation de l'algorithme de tri fusionTri fusion -Solution 1-
Programme recursifTriFusion(T)
def TriFusion(T) : if len(T)<=1 : return T T1=[T[i] for i in range(len(T)//2)]#Pour generer la liste T1=T[0 :len(T)//2]T2=[T[i] for i in range(len(T)//2,len(T))]
return Fusion(TriFusion(T1),TriFusion(T2)) )Exemple : >>>T=[10,39,21,2,8,6,1] >>>T=TriFusion(T) >>>print(T) [1;2;6;8;10;21;39]Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201522/ 29Les algorithmes de tris classiques
Les algorithmes de tris rapides
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