[PDF] TD3 – Syst`emes différentiels linéaires `a coeff. constants

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L2{Mathematiques 2015-2016 Universite de Pau et des Pays de l'Adour

TD3 { Syst

emes differentiels lineairesa coeff. constants Equations differentielles IExercice 1(Exponentielle d'une matrice). a)

Soit A=0 1

1 0 . CalculereA. b) Soien tA;B2 Mnn(C). Demontrer les proprietes suivantes : i)eOn=In, ouOn2 Mnn(C) est la matrice nulle. ii)eIn=eIn, avec2C. iii)

Si AB=BAalorseA+B=eAeB.

iv) La matrice eAest toujours inversible, dont l'inverse esteA. v)

Si P2 Mnn(C) est inversible, alorsePAP1=PeAP1.

c)

Calculer les exp onentiellesdes matrices J=0 1

1 0 etK=a b b a , aveca;b2R. d)(Bilan extra)Prouver queetA=teAet deteA=eTrA.

Exercice 2.Soient les matricesA=0t

0 0 etB=0 0 t0 a)

Calculer eA,eB.

b)

Mon trerque

(A+B)2k=(1)kt2k0

0 (1)kt2k

et (A+B)2k+1=0 (1)k+1t2k+1 (1)kt2k+10 pour toutk2N. En deduire la forme deeA+B. Exercice 3.Determiner l'ensemble des solutions des systemes dierentiels lineaires suivantes : a) x0 y 0 =46 11 x y b) x0 y 0 =2 0 5 3 x y c) x0 y 0 =1 1 1 3 x y d) x0 y 0 =1 1 11 x ye) x0 y 0 =56 12 x y +1 1 f) x0 y 0 =0 1 23
x y +0 t g) x0 y 0 =1 1 1 3 x y +sin(t) 0 h) x0 y 0 =1 1 11 x y +5cos(t)

5cos(t)

Exercice 4.SoitX(t) =t(x(t);y(t);z(t)). Donner la solution des systemes lineaires suivantes qui verieX(0) =t(0;0;1). a)X0=0 @2 1 1 111

1 2 21

A

Xb)X0=0

@0 2 2 1 2 2

1 1 31

A X 1 L2{Mathematiques 2015-2016 Universite de Pau et des Pays de l'Adour c)X0=0 @1 11 2 12

2 2 11

A X d)X0=0 @2 2 0 3 85

3 3 01

A X e)X0=0 @10 5 4

17 9 7

11 5 51

A X f)X0=0 @103 0 185 0
93 11
A X+0 @1 1 01

Ag)X0=0

@3 1 1 1 3 7

4 4 01

A X+0 @8et 33et
8et1 A h)X0=0 @53 2 64 4
44 51
A

X+ (1 +t2)et0

@1 2 11 A i)X0=0 @71 2 2 4 1

1 1 71

A X0 @13 16 321
A et j)X0=0 @1 0 3 0 1 3 11 01 A X+0 @0 0 t11 A Exercice 5.Resoudre les systemes dierentiels a valeurs initiales suivantes : a) 8 >:x

0=x+y+z+t+ 1; x(0) = 0

y

0=xy+u+t1; y(0) = 0

z

0=zu+ 2; z(0) = 0

u

0=z+u+ 1; u(0) = 0b)8

>:x

0=x2yz+et+ cos(t); x(0) = 1

y

0=z; y(0) = 0

z

0=y2z+et+ cos(t); z(0) = 4

u

0=y+zu+et+ cos(t); u(0) =1

Exercice 6(Modele de combat : Lois de Lanchester).Les equations de Lanchester sont des EDOs decrivant la dependance temporelle des forces de deux armeesAetBen combat. Soientx(t) et y(t) le nombre des soldats en combat de l'armeeAetBa l'instantt, respectivement. a)(Modele simple)L'armeeAenvoie un ux continu de balles sur l'armeeB, et inversement. Chaque soldat deApossede une puissance de tir >0, qui represente le nombre d'unites adverses que le soldat peut neutraliser (tuer ou blesser) par unite de temps. De la m^eme maniere, les de Bpossedent chacun une puissance de tir >0. On obtiens le systeme dierentiel : x0=y; x(0) =x0 y0=x; y(0) =y0 Supposons une bataille ou= 1=9 et= 4 (les soldats deBsont en avantage), le nombre d'eectifs deAau debut du combat est de 150 unites, et de 90 pourB. Qui gagne la bataille? Combien dure-t-elle? Quel est le nombre total de pertes? (Le tempstest mesure en jours) b)(Billan extra : la bataille d'Iwo Jima)On peut considerer aussi les renforcements des deux armees pendant la bataille : soientf(t) etg(t) les soldats envoyes dans la bataille a l'instantt parAetB, respectivement. Le modele incorpore, donc, une partie non-homogene : x0=y+f(t); x(0) =x0 y0=x+g(t); y(0) =y0

Pendant la Seconde Guerre Mondiale, les

Etats-Unis (A) se lancent a l'assaut de l'^le d'Iwo Jima, solidement defendue par 21500 soldats de l'armee imperiale japonaise (B). L'^le etait fortiee par un reseau de protections souterraines, dont le but etait d'in iger des pertes severes aux Allies et de les decourager d'envahir l'archipel du Japon. On suppose que=1100 et=4100 ,x(0) = 0 et y(0) = 21500. Les japonais etaient isoles (g(t) = 0), et la politique des renforcements de nouveaux soldats desEtats-Unis pendant la bataille peut s'exprimer en utilisant la fonction par morceaux : f(t) = 54000?[0;1[(t) + 6000?[2;3[(t) + 13000?[5;6[(t)

Combien des soldats avaient les

Etats-Unis et le Japon pendant les premiers six jours? Combien des jours dura la bataille? Quel fut le nombre total de pertes? Combien d'americains survecurent? (Le tempstest mesure en jours). (Utiliser une calculatrice ou un logiciel de calcul pour approcher les resultats et comparer avec la realite historique de cette sanglante bataille). 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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