Le raisonnement en sciences de lingénieur
17 mai 2006 Les conclusions déduites du cas particulier dépendront de l'objectif d'étude fixé. Figure 1 : Le raisonnement inductif. Exemple : Je vois tous ...
Prolégon`emes : Quelques méthodes de raisonnement 1
Un raisonnement correct réalisé `a partir de données fausses ne permet pas de con- clure `a la véracité de la conclusion. Par exemple le mardi 3 décembre 2013
5 Cours – Initiation au raisonnement déductif 1. Les règles du débat
Un énoncé mathématique est soit vrai soit faux. (2). Des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour prouver que cet énoncé est vrai.
Raisonnement 1 Différents types de raisonnements
1.1 Par disjonction des cas. Pour démontrer une propriété il est parfois nécessaire d'étudier cas par cas. On peut par exemple étudier 2 cas : x = 0 et x
Démontrer une implication ou une équivalence - %©NPOUSFS VOF
Raisonnement qui aboutit à Q. ?. ?. Conclusion : on a bien montré la disjonction P ?? Q. EXEMPLE 1 Montrer : ?x ? R max(x2
Le raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence s'apparente à l'effet domino en mathématiques! Par exemple démontrer que pour tout entier naturel n ? 4
Différents types de raisonnement en mathématiques
Le raisonnement par induction et présomption est l'étude de plusieurs exemples concordants. (et si possible représentatifs) dont on déduit par présomption
Cours 2 : Processus de construction de la démarche clinique 1) De l
poussée hypertensive parle de sa femme dcd au bloc
Chapitre 4 Quelques types de raisonnement
Le raisonnement par contraposition s'utilise lorsque l'assertion (non Q) contradiction par exemple qu'une assertion Q est vraie ainsi que sa négation.
Cours : Logique et raisonnements
Une assertion est une phrase soit vraie soit fausse
[PDF] Exemples de démarche illustrant les différents types de raisonnement
Précisions sur les types de raisonnement à exploiter en mathématique au secondaire Exemples de démarche illustrant les différents types de raisonnement
[PDF] Précisions sur les types de raisonnement à exploiter en mathématique
Principaux types de raisonnement ? Stratégies sollicitées dans l'exercice des compétences ? Situation d'apprentissage ? Exemples de tâches
[PDF] LE RAISONNEMENT - http ://ginouxuniv-tlnfr
On en trouve un exemple présenté sous la forme d'un système exhaustif chez Pierce qui répartit les raisonnements élémentaires en trois classes : déduction
[PDF] Chapitre 4 Quelques types de raisonnement
? attention aux négations ? quelques exemples ne font pas une démonstration ? attention aux notations : ne pas donner le même nom `a deux objets différents
Les différents modes de raisonnement - EspaceFrancaiscom
Le raisonnement déductif · Le raisonnement inductif · Le raisonnement par analogie · Le raisonnement concessif · Le raisonnement par l'absurde · Le raisonnement
[PDF] Quelques méthodes de raisonnement 1 Raisonnement direct - LIPN
Un raisonnement correct réalisé `a partir de données fausses ne permet pas de con- clure `a la véracité de la conclusion Par exemple le mardi 3 décembre 2013
[PDF] Raisonnement mathématique : proposition dun modèle conceptuel
6 Un exemple de raisonnement par l'absurde http :/ /xtec cat/centres/a8005072/articles/proof_ and _reasoning pdf *Meyer M (20 1 0)
[PDF] raisonnementpdf
Ce raisonnement est appelé le "raisonnement par l'absurde" Exemple : démontrer que si x et y sont des nombres premiers tels que x2 ? y2 = pq avec p et q
[PDF] Raisonnement et démonstration - mediaeduscoleducationfr
car il s'agit d'une démonstration faite sur un exemple mais transférable http://eduscol education fr/D0015/doc_acc_clg_geometrie pdf
[PDF] Les types de raisonnement dans la construction du discours
– Clarifier ses propos ou ses réactions Page 12 Exemples concrets • Le raisonnement inductif; «Quels sont les causes du
Quels sont les trois types de raisonnement ?
- Le raisonnement inductif : il part d'observations particulières pour aboutir à une conclusion de portée générale. - Le raisonnement déductif : il part d'une idée générale pour en déduire des propositions particulières. - Le raisonnement par analogie : il proc? à une comparaison avant d'aboutir à une conclusion.Comment construire un raisonnement ?
Le raisonnement doit faire environ une page.
1une accroche ;2le rappel du sujet ;3la définition et la discussion des termes du sujet ;4l'annonce du plan.Quels sont les mots de raisonnement ?
Les différents modes de raisonnement
Le raisonnement déductif.Le raisonnement inductif.Le raisonnement par analogie.Le raisonnement concessif.Le raisonnement par l'absurde.Le raisonnement critique.Le syllogisme.- Jouer. Finalement, le jeu est également une excellente manière de développer votre logique. Les sudokus par exemple, sont reconnus à cet effet, de même que plusieurs jeux en ligne ayant été développés dans cette optique. Peak-entraînement cérébral ou Lumosity sont de bonnes plateformes.
Logique et
raisonnementsVidéo"partie 1. LogiqueVidéo"partie 2. Raisonnements
Fiche d"exercicesLogique, ensembles, raisonnementsQuelques motivations
•Il est important d"avoir unlangage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l"exemple de la conjonction "ou»; au restaurant "fromage ou dessert» signifie l"un ou l"autre mais pas
les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche "les as ou les coeurs» alors il ne faut pas exclure
l"as de coeur. Autre exemple : que répondre à la question "As-tu10euros en poche?» si l"on dispose de
15 euros?
Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d"une fonction est
souvent expliquée par "on trace le graphe sans lever le crayon». Il est clair que c"est une définition peu
satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d"une fonctionf:I!Ren un point
x02I:8 >09 >08x2I(jxx0j< =) jf(x)f(x0)j< ).
C"est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C"est lalogique.Enfin les mathématiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple "Est-ce qu"une augmentation
de20%, puis de30%est plus intéressante qu"une augmentation de50%?». Vous pouvez penser "oui»
ou "non», mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette
démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle deraisonnement.Les mathématiques sont un langage pour s"exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes,
qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider - ou d"infirmer - une
hypothèse et de l"expliquer à autrui.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE2
1. Logique
1.1. Assertions
Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.Exemples :
"Il pleut.» "Je suis plus grand que toi.» " 2+2=4 » " 23=7 » "Pour tout x2R, on a x2>0.»"Pour tout z2C, on ajzj=1.»SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à
partir dePet deQ.L"opérateur logique "et»
L"assertion "PetQ» est vraie siPest vraie etQest vraie. L"assertion "P et Q» est fausse sinon.On résume ceci en unetable de vérité:
PnQVF VVF FFFFIGURE1.1 - Table de vérité de "P et Q»
Par exemple siPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion
"P et Q» est vraie si la carte est l"as de coeur et est fausse pour toute autre carte.L"opérateur logique "ou»
L"assertion "PouQ» est vraie si l"une (au moins) des deux assertionsPouQest vraie. L"assertion "Pou
Q» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.On reprend ceci dans la table de vérité :
PnQVF VVV FVFFIGURE1.2 - Table de vérité de "P ou Q»
SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion "PouQ»
est vraie si la carte est un as ou bien un coeur (en particulier elle est vraie pour l"as de coeur).Remarque.
Pour définir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les motsou,et! Les
tables de vérités permettent d"éviter ce problème.La négation "non»
L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE3
PVF nonPFVFIGURE1.3 - Table de vérité de "non P»
L"implication=)
La définition mathématique est la suivante :L"assertion "(non P) ou Q» est notée "P=)Q».Sa table de vérité est donc la suivante :
PnQVF VVF FVVFIGURE1.4 - Table de vérité de "P=)Q»
L"assertion "P=)Q» se lit en français "P implique Q». Elle se lit souvent aussi "si P est vraie alors Q est vraie» ou "si P alors Q».Par exemple :
" 06x625=)px65 » est vraie (prendre la racine carrée). "x2]1,4[ =)x2+3x4>0 » est vraie (étudier le binôme). " sin() =0=)=0 » est fausse (regarder pour=2par exemple). •"2+2=5=)p2=2» est vraie! Eh oui, siPest fausse alors l"assertion "P=)Q» est toujours vraie.L"équivalence()
L"équivalenceest définie par :"P()Q» est l"assertion "(P=)Q) et (Q=)P)».On dira "Pest équivalent àQ» ou "Péquivaut àQ» ou "Psi et seulement siQ». Cette assertion est vraie
lorsquePetQsont vraies ou lorsquePetQsont fausses. La table de vérité est : PnQVF VVF FFVFIGURE1.5 - Table de vérité de "P()Q»
Exemples :
Pourx,x02R, l"équivalence "xx0=0()(x=0ou x0=0)» est vraie. Voici une équivalencetoujours fausse(quelle que soit l"assertionP) : "P()non(P)».On s"intéresse davantage aux assertions vraies qu"aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors de ce
chapitre on écrira "P()Q» ou "P=)Q» uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Parexemple si l"on écrit "P()Q» cela sous-entend "P()Qest vraie». Attention rien ne dit quePetQ
soient vraies. Cela signifie quePetQsont vraies en même temps ou fausses en même temps.Proposition 1.
Soient P,Q,R trois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes : 1.P ()non(non(P))
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE42.(PetQ)()(QetP)3.(PouQ)()(QouP)
4.non(PetQ)()(nonP)ou(nonQ)
5.non(PouQ)()(nonP)et(nonQ)
6.Pet(QouR)()(PetQ)ou(PetR)
7.Pou(QetR)()(PouQ)et(PouR)
8. " P =)Q »()"non(Q) =)non(P)»Démonstration.Voici des exemples de démonstrations :4.Il suffit de comparer les deux assertions "non(P et Q)» et "(non P)ou(non Q)» pour toutes les valeurs
possibles dePetQ. Par exemple siPest vrai etQest vrai alors "PetQ» est vrai donc "non(P et Q)»est faux; d"autre part (nonP) est faux, (nonQ) est faux donc "(non P)ou(non Q)» est faux. Ainsi dans
ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi les deux tables de vérités et
comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes. PnQVF VFV FVV FIGURE1.6 - Tables de vérité de "non(P et Q)» et de "(non P)ou(non Q)» 6.On fait la même chose mais il y a trois variables :P,Q,R. On compare donc les tables de vérité d"abord
dans le cas oùPest vrai (à gauche), puis dans le cas oùPest faux (à droite). Dans les deux cas les deux
assertions "P et(Q ou R)» et "(P et Q)ou(P et R)» ont la même table de vérité donc les assertions
sont équivalentes. QnRVF VVV FVF QnRVF VFF FFF 8.Par définition, l"implication "P=)Q» est l"assertion "(nonP) ouQ». Donc l"implication "non(Q) =)
non(P)» est équivalente à "non(non(Q))ou non(P)» qui équivaut encore à "Q ou non(P)» et donc est
équivalente à "P=)Q». On aurait aussi pu encore une fois dresser les deux tables de vérité et voir
qu"elles sont égales.1.2. QuantificateursLe quantificateur8: "pour tout»
Une assertionPpeut dépendre d"un paramètrex, par exemple "x2>1», l"assertionP(x)est vraie ou
fausse selon la valeur dex.L"assertion
8x2E P(x)
est une assertion vraie lorsque les assertionsP(x)sont vraies pour tous les élémentsxde l"ensembleE.
On lit "Pour tout x appartenant à E, P(x)», sous-entendu "Pour tout x appartenant à E, P(x)est vraie».
Par exemple :
"8x2[1,+1[ (x2>1)» est une assertion vraie. "8x2R(x2>1)» est une assertion fausse. "8n2Nn(n+1)est divisible par2 » est vraie.LOGIQUE ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE5
Le quantificateur9: "il existe»
L"assertion
9x2E P(x)est une assertion vraie lorsque l"on peut trouver au moins unxdeEpour lequelP(x)est vraie. On lit "il
existe x appartenant à E tel que P(x)(soit vraie)».Par exemple :
"9x2R(x(x1)<0)» est vraie (par exemplex=12 vérifie bien la propriété). "9n2Nn2n>n» est vraie (il y a plein de choix, par exemplen=3convient, mais aussin=10ou mêmen=100, un seul suffit pour dire que l"assertion est vraie). "9x2R(x2=1)» est fausse (aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif). La négation des quantificateursLa négation de "8x2E P(x)» est "9x2E non P(x)» . Par exemple la négation de "8x2[1,+1[ (x2>1)» est l"assertion "9x2[1,+1[ (x2<1)». Eneffet la négation dex2>1 est non(x2>1)mais s"écrit plus simplementx2<1.La négation de "9x2E P(x)» est "8x2E non P(x)».Voici des exemples :
La négation de "9z2C(z2+z+1=0)» est "8z2C(z2+z+16=0)». La négation de "8x2R(x+12Z)» est "9x2R(x+1=2Z)». Ce n"est pas plus difficile d"écrire la négation de phrases complexes. Pour l"assertion :8x2R9y>0(x+y>10)
sa négation est9x2R8y>0(x+y610).
Remarques
L"ordre des quantificateurs est très important. Par exemple les deux phrases logiques8x2R9y2R(x+y>0)et9y2R8x2R(x+y>0).
sont différentes. La première est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase logique se lit de gauche à
droite, ainsi la première phrase affirme "Pour tout réelx, il existe un réely(qui peut donc dépendre dex)
tel quex+y>0.» (par exemple on peut prendrey=jxj+1). C"est donc une phrase vraie. Par contre ladeuxième se lit : "Il existe un réely, tel que pour tout réelx,x+y>0.» Cette phrase est fausse, cela ne
peut pas être le mêmeyqui convient pour tous lesx!On retrouve la même différence dans les phrases en français suivantes. Voici une phrase vraie "Pour toute
personne, il existe un numéro de téléphone», bien sûr le numéro dépend de la personne. Par contre cette
phrase est fausse : "Il existe un numéro, pour toutes les personnes». Ce serait le même numéro pour tout le
monde!Terminons avec d"autres remarques.
Quand on écrit "9x2R(f(x) =0)» cela signifie juste qu"il existe un réel pour lequelfs"annule. Rien
ne dit que cexest unique. Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi : "il existeau moins
un réelxtel quef(x) =0». Afin de préciser quefs"annule en une unique valeur, on rajoute un point
d"exclamation :9!x2R(f(x) =0).
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS6
•Pour la négation d"une phrase logique, il n"est pas nécessaire de savoir si la phrase est fausse ou vraie.
Le procédé est algorithmique : on change le "pour tout» en "il existe» et inversement, puis on prend la
négation de l"assertionP.Pour la négation d"une proposition, il faut être précis : la négation de l"inégalité stricte "<» est l"inégalité
large ">», et inversement.Les quantificateurs ne sont pas des abréviations. Soit vous écrivez une phrase en français : "Pour tout
réel x, si f(x) =1alors x>0.» , soit vous écrivez la phrase logique :8x2R(f(x) =1=)x>0).
Mais surtout n"écrivez pas "8xréel, sif(x) =1=)xpositif ou nul». Enfin, pour passer d"une ligne à
l"autre d"un raisonnement, préférez plutôt "donc» à "=)». Il est défendu d"écrire69,6=). Ces symboles n"existent pas!Mini-exercices. 1.Écrire la table de vérité du "ou exclusif». (C"est leoudans la phrase "fromage ou dessert», l"un ou
l"autre mais pas les deux.) 2. Écrire la table de vérité de " non (P et Q)». Que remarquez vous? 3.Écrire la négation de " P=)Q».
4. Démontrer les assertions restantes de la proposition ??. 5.Écrire la négation de " P et(Q ou R)».
6.Écrire à l"aide des quantificateurs la phrase suivante : "Pour tout nombre réel, son carré est positif».
Puis écrire la négation.
7.Mêmes questions avec les phrases : "Pour chaque réel, je peux trouver un entier relatif tel que leur
produit soit strictement plus grand que1». Puis "Pour tout entiern, il existe un unique réelxtel que
exp(x)égale n».2. Raisonnements Voici des méthodes classiques de raisonnements.2.1. Raisonnement direct
On veut montrer que l"assertion "P=)Q» est vraie. On suppose quePest vraie et on montre qu"alorsQ est vraie. C"est la méthode à laquelle vous êtes le plus habitué.Exemple 1.
Montrer que sia,b2Qalorsa+b2Q.
Démonstration.
Prenonsa2Q,b2Q. Rappelons que les rationnelsQsont l"ensemble des réels s"écrivant pq avecp2Zetq2N. Alorsa=pqpour un certainp2Zet un certainq2N. De mêmeb=p0q0avecp02Zetq02N. Maintenant
a+b=pq +p0q0=pq0+qp0qq
0.Or le numérateurpq0+qp0est bien un élément deZ; le dénominateurqq0est lui un élément deN. Donc
a+bs"écrit bien de la formea+b=p00q00avecp002Z,q002N. Ainsia+b2Q.
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS7
2.2. Cas par casSi l"on souhaite vérifier une assertionP(x)pour tous lesxdans un ensembleE, on montre l"assertion pour
lesxdans une partieAdeE, puis pour lesxn"appartenant pas àA. C"est la méthode dedisjonctionou du
cas par cas.Exemple 2.
Montrer que pour toutx2R,jx1j6x2x+1.
Démonstration.Soitx2R. Nous distinguons deux cas. Premier cas :x>1.Alorsjx1j=x1. Calculons alorsx2x+1jx1j. x2x+1jx1j=x2x+1(x1)
=x22x+2 = (x1)2+1>0.Ainsix2x+1jx1j>0 et doncx2x+1>jx1j.
Deuxièmecas:x<
1.Alorsjx1j=(x1). Nousobtenonsx2x+1jx1j=x2x+1+(x1) =x2>0.
Et doncx2x+1>jx1j.
Conclusion.Dans tous les casjx1j6x2x+1.2.3. ContraposéeLe raisonnement parcontrapositionest basé sur l"équivalence suivante (voir la proposition??) :L"assertion "P=)Q» est équivalente à "non(Q) =)non(P)».
Donc si l"on souhaite montrer l"assertion "P=)Q», on montre en fait que sinon(Q)est vraie alorsnon(P)
est vraie.Exemple 3.
Soitn2N. Montrer que sin2est pair alorsnest pair.
Démonstration.
Nous supposons quenn"estpas pair. Nous voulons montrerqu"alorsn2n"estpas pair. Comme nn"estpaspair,ilestimpairetdoncilexistek2Ntelquen=2k+1. Alorsn2= (2k+1)2=4k2+4k+1=2`+1 avec`=2k2+2k2N. Et doncn2est impair.Conclusion : nous avons montré que sinest impair alorsn2est impair. Par contraposition ceci est équivalent
à : sin2est pair alorsnest pair.2.4. Absurde
Leraisonnement par l"absurdepour montrer "P=)Q» repose sur le principe suivant : on suppose à la
fois quePest vraie et queQest fausse et on cherche une contradiction. Ainsi siPest vraie alorsQdoit être
vraie et donc "P=)Q» est vraie.Exemple 4.
Soienta,b>0. Montrer que sia1+b=b1+aalorsa=b.
Démonstration.
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] raisonnement hypothético-déductif exemple
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