[PDF] TD n 1: Logique et raisonnement .

View - Download TD n 1: Logique et raisonnement .

Previous PDF

Next PDF

. Lycée JoffreAnnée 2016-2017

PCSI 1. Feuille 1

TD n

◦1: Logique et raisonnement .1.Montrer des implications ou des équivalencesExercice 1Montrer, sans calculatrice, que⎷

2?3⎷

3.

Exercice 2Montrer, sans calculatrice, que⎷

52?2
⎷3.

Exercice 3Soitn?N?. Montrer que⎷

n+ 1-⎷ n?1

2⎷

n?⎷ n-⎷ n-1.

Exercice 4Soit(a,b,c,d)?Q. Montrer quea+b⎷

2 =c+d⎷

2?b=deta=c.

Exercice 5Soit(a,b,c,d)?Q. Montrer quealn2 +bln3 =cln2 +dln3?b= deta=c.

Exercice 6Soitz?C, montrer quez?iR? |z-1|=|z+ 1|.

Exercice 7Soitz?C, montrer queRe(z) =Im(z)? |z-1|=|z-i.|

2.Raisonner par l"absurdeExercice 8Montrer queln(2)

ln(3)/?Q.

Exercice 9Montrer que⎷3/?Q.

Exercice 10Soitn?N?. On répartit au hasardn+ 1chaussettes dansntiroirs. Montrer qu"il existe au moins un tiroir contenant deux chaussettes. Exercice 11Une classe contient 40 élèves. Montrer qu"il existe au moinsquatre

élèves nés le même mois.

Exercice 12Soientaetbdeux rationnels strictement positifs. On suppose que⎷ a et⎷ bsont irrationnels. Montrer que⎷ a+⎷ best irrationnel. Exercice 13(?)Montrer qu"il n"existe pas d"entiers strictement compris entre⎷ n+⎷ n+ 1et⎷

4n+ 2.

Exercice 14Montrer qu"il n"existe pas d"entier strictement compris entre? n(n+ 2)et(n+ 1).Exercice 15Soientr?Qetx /?Q. Montrer quer+x /?Q. Exercice 16Soientr?Qetx /?Q. Montrer querx?Q?r= 0. Exercice 17Soitfla fonction définie parf(x) =ax+ 1aveca?R. Montrer que sifne change pas de signe alorsa= 0. Exercice 18Soitnun entier naturel. Montrer quen2impair impliquenimpair.

3.Raisonner par récurrenceExercice 19Pour toutn?N?, on poseSn= 1·2+2·3+···+(n-1)·n.

Démontrer que l"on aSn=1

3n(n-1)(n+ 1).

Exercice 20Pour toutn?N?, on poseSn= 13+ 23+···+n3. Démontrer que l"on aSn=?n(n+1) 2? 2. Exercice 21Soient(x1,...,xn)des réels appartenant à[0,1]. Montrer que : Exercice 22On considère la suite(vn)n?Ndéfinie parv0= 1,v1= 3et v n+2= 4vn+1-4vn. Montrer que?n?N,vn= 2n? 1 +n 2? Exercice 23On considère la suite définie parun+2= 3un+1-2un,u0= 1et u

1= 1 +α,α?R. Montrer que?n?N,un= 1-α+α2n.

Exercice 24Soitu0= 2,u1= 5et?n?N,un+2= 5un+1-6un. Montrer que ?n?N,un= 2n+ 3n. Exercice 25(?)Montrer que pour tout entiern?N?, il existe(m,q)?N2tel quen= 2mqavecqimpair.

4.Raisonner par analyse/synthèse

Exercice 26Montrer que toute fonction continue s"écrit comme la somme d"une fonction linéairex?→axet d"une fonction dont l"intégrale entre 0 et

1 est nulle.

Exercice 27Montrer que toute fonction deRdansRs"écrit comme la somme d"une fonction s"annulant en 0 et d"une fonction constante. Exercice 28Montrer que tout polynôme s"écrit comme la somme d"un polynôme s"annulant en 1 et d"un polynôme constant.

Exercice 29Soitu?C. Montrer que|u|= 1? ?z?C?,u=

zz. Exercice 30Déterminer l"ensemble des réelsxtels quex+ 1 =⎷ x+ 3. Exercice 31(?)Soitnun entier naturel non nul. Montrer que sin= 4mavec mun nombre premier impair, alors il s"écrit comme la différence de deux carrés de même parité. Memo

•Comment montrer une propriété?

-Utiliser un raisonnement direct -Raisonner par équivalence -Raisonner par l"absurde -Raisonner par analyse/synthèse

•Comment montrer une implication ?

-Utiliser un raisonnement direct -Raisonner par l"absurde -Raisonner par contraposée

•Comment montrer une équivalence?

-Raisonner par équivalence -Raisonner par double implication •Comment montrer une propriété valable pour tout entier? -Faire une récurrence -Utiliser un raisonnement direct

Indications

1,2,3,6 et 7: Raisonner par équivalence.

4Raisonner par double implication et utiliser le fait que⎷

2/?Q.

5Raisonner par double implication et utiliser le fait queln2ln3/?Q.

8,9,10,11,12 et 15:Raisonner par l"absurde.

13Raisonner par l"absurde puis par équivalence.

14Raisonner par l"absurde puis par équivalence.

16Supposerr= 0puisr?= 0.

17Supposera?= 0et trouver deux images de signes opposés.

18Montrer la contraposée.

19,20 et 21Raisonner par récurrence surn.

22,23,24 et 25Raisonner par récurrence forte surn.

26Supposer que c"est le cas et déterminer la valeur dea.

27Supposer que c"est le cas et déterminer la fonction constante.

28Supposer que c"est le cas et déterminer le polynôme constant.

29Écriveru=eiθetz=reiρet trouver une condition nécessaire surz.

30Supposer qu"un telxexiste et regarder ce que cela implique, en gardant en tête

le fait quexest alors positif.

31Supposer que4m=a2-b2et déterminer les valeurs possibles pouraetb.

quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] contre exemple math

[PDF] les types de raisonnement pdf

[PDF] modèle moléculaire du méthane

[PDF] molecule de l air

[PDF] molécule de l'oxygène

[PDF] n2 molécule

[PDF] raisonnement par contre exemple

[PDF] raisonnement par absurde

[PDF] raisonnement par disjonction de cas

[PDF] bilan énergétique de la glycolyse

[PDF] glycolyse aérobie

[PDF] glycolyse anaérobie

[PDF] glycolyse étapes

[PDF] formule semi développée du fructose

[PDF] qu est ce qu un atome