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Exercice 1

Montrer par disjonction des cas que pour tout n , n (n +1 ) est un entier pair

Exercice 2

1) Montrer en utilisant la contraposée que si 7 divise x² + y² alors 7 divise x et 7 divise y

Exercice 3

Montrer par disjonction des cas que pour tout entier naturel n non nul, ݊ଵ଴ؠ

Exercice 4

soit tous les trois impairs soit deux sont pairs . 2)

Exercice 5

Exercice 6

Montrer par les trois raisonnements que si a² + 9 = -௡ alors a est impair .

Corrigé

Exercice 1

Première rédaction possible :

Tous les entiers peuvent se séparer en deux parties : les pairs et les impairs . : n = 2k et donc n(n+1) = 2k(2k+1) = 2(2k²+k) pair Si n impair : n = 2k + 1 donc n(n+1) = (2k+1)(2k+2)= 2 (2k+1)(k+1) pair

Deuxième rédaction possible :

La disjonction des cas peut aussi se présenter en travaillant modulo 2 N 0 1

N(N+1) 0 2ؠ

Pour les deux cas étudiés , le résultat donne un reste nul donc n(n+1) est divisible par 2

Exercice 2

1) La contraposée de la proposition est : si 7 ne divise pas x ou ne divise pas y alors 7 ne divise pas x² +

y² . Supposons donc que 7 ne divise pas x alors en travaillant modulo 7 , on a la table suivante

X 1 2 3 4 5 6

X² 1 4 2 2 4 1

Toujours modulo 7

Y 0 1 2 3 4 5 6

Y² 0 1 4 2 2 4 1

On a donc comme possibilités pour x² + y² :

Y²/X² 1 2 4

0 1 2 4

1 2 3 5

2 3 4 6

4 5 6 1

Et donc ݔ~EU~!r>y?

Donc 7 ne divise pas x² + y²

2) Supposons que 7 divise x² + y² et que 7 ne divise pas x . Alors ݔ~EU~ r>y?@KJ?T~ FU~>y? .

Puisque 7 ne divise pas x , 7 ne divise pas x² et donc 7 ne divise pas y² . On fait une table de

Exercices sur les différents types de raisonnements congruences modulo 7 sans les valeurs 0 et on remarque que x² + y² naura pas 0 en reste .

Contradiction .

Remarque : ces deux raisonnements ne sont pas ici les plus performants : le plus simple , faire une table de

congruence croisée : les x et leurs carrés en ligne ; les y et leurs carrés en colonne et le croisement est x² + y²

X 0 1 2 3 4 5 6

Y Y² // X² 0 1 4 2 2 4 1

0 0 0 1 4 2 2 4 1

1 1 1 2 5 3 3 5 2

2 4 4 5 1 6 6 1 5

3 2 2 3 6 4 4 6 3

4 2 2 3 6 4 4 6 3

5 4 4 5 1 6 6 1 5

6 1 1 2 5 3 3 5 2

Les seules valeurs de x et y qui donnent x² + y² ؠ si 7 divise x et y .

Exercice 3

On va travailler modulo 11

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Exercice 4

peut prendre deux parmi x , y et z impairs )

On a x = 2k + 1 , y = 2k + 1 et z² =2p donc x² +y² +z² = 4k² + 4k + 2 + 4k² + 4k + 4p² ؠ

seulement : x et y . Alors ͳEsEV~ Fs>t?AP@KJ?V~ Fs>t? s>t? donc z impair .

Contradiction .

Exercice 5

Ici , il ny a pas besoin de distinguer plusieurs cas , le seul cas est valable pour tout n

Exercice 6

1) Par contraposée : la contraposée est si a pair alors a² + 9 ്t௡

Si a est pair alors a² est pair donc a² + 9 est impair ; or -௡ est pair . Donc a² + 9 ്t௡

2) Par labsurde : supposons a² + 9 = -௡ et a pair . Alors 9 = -௡െ=~ pair contradiction

3) Par disjonction des cas :

On travaille modulo 2

A 0 1

A²+9 1 0

-௡ 0 0 On a légalité uniquement si a congru à 1 modulo 2 donc si a impairquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Exercice 1

Exercice 2

1) Montrer en utilisant la contraposée que si 7 divise x² + y² alors 7 divise x et 7 divise y

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Corrigé

Exercice 1

Première rédaction possible :

Deuxième rédaction possible :

N(N+1) 0 2ؠ

Exercice 2

1) La contraposée de la proposition est : si 7 ne divise pas x ou ne divise pas y alors 7 ne divise pas x² +

X 1 2 3 4 5 6

X² 1 4 2 2 4 1

Toujours modulo 7

Y 0 1 2 3 4 5 6

Y² 0 1 4 2 2 4 1

Y²/X² 1 2 4

0 1 2 4

1 2 3 5

2 3 4 6

4 5 6 1

Et donc ݔ~EU~!r>y?

Donc 7 ne divise pas x² + y²

2) Supposons que 7 divise x² + y² et que 7 ne divise pas x . Alors ݔ~EU~ r>y?@KJ?T~ FU~>y? .

Contradiction .

X 0 1 2 3 4 5 6

Y Y² // X² 0 1 4 2 2 4 1

0 0 0 1 4 2 2 4 1

1 1 1 2 5 3 3 5 2

2 4 4 5 1 6 6 1 5

3 2 2 3 6 4 4 6 3

4 2 2 3 6 4 4 6 3

5 4 4 5 1 6 6 1 5

6 1 1 2 5 3 3 5 2

Exercice 3

On va travailler modulo 11

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Exercice 4

Contradiction .

Exercice 5

Exercice 6

1) Par contraposée : la contraposée est si a pair alors a² + 9 ്t௡

2) Par labsurde : supposons a² + 9 = -௡ et a pair . Alors 9 = -௡െ=~ pair contradiction

3) Par disjonction des cas :

On travaille modulo 2

A²+9 1 0