Différents types de raisonnement en mathématiques
3) Implication. Le principe même du raisonnement mathématique est l'implication (propriété directe) : un fait implique un autre une hypothèse implique une
Démontrer une implication ou une équivalence - %©NPOUSFS VOF
Conclusion : on a bien montré l'implication P =? Q. Pour montrer l'équivalence P ?? Q on peut : ou bien raisonner par double implication
Chapitre 4 Quelques types de raisonnement
Aide `a la rédaction d'un raisonnement Montrer une implication ... Le raisonnement par contraposition s'utilise lorsque l'assertion (non Q) est plus ...
Le raisonnement mathématique Limplication une notion polysémique
Le raisonnement mathématique. L'implication une notion polysémique. Nous présentons des résultats à deux items d'un questionnaire que nous avons proposé à
Raisonnement par implication
Tests de positionnement. Classe de seconde. Mathématiques eduscol.education.fr. Général. Technologique. Professionnel. Lycée. Raisonnement par implication
Raisonnement par implication
Tests de positionnement. Classe de seconde. Mathématiques eduscol.education.fr. Général. Technologique. Professionnel. Lycée. Raisonnement par implication
Éléments de logique et Raisonnement par récurrence
On crée également de nouvelles propositions à l'aide du connecteur =? . Définition 3. (Implication). A =? B (se lit "A implique B") signifie : Si A est vraie
Logique et raisonnements
Manipuler les quantificateurs. > Raisonner par implication ou par équivalence. > Utiliser un raisonnement par l'a‹surde ou par contraposition.
Logique.pdf
plus important de l'année car il est à la base de tous les raisonnements usuels (ou de la 3.5.3 Négation contraposée et réciproque d'une implication .
Démontrer une implication ou une équivalence
Pour montrer l?implication P =? Q on effectue un raisonnement direct qu?on rédige ou bien raisonner par double implication
[PDF] Logique
La contraposée d'une implication est équivalente à celle-ci Ceci fournira plus loin un type de raisonnement usuel : le raisonnement par contraposition
[PDF] Logique et raisonnements - Exo7 - Cours de mathématiques
Le raisonnement est le moyen de valider — ou d'infirmer — une Par définition l'implication « P =? Q » est l'assertion « (non P) ou Q »
[PDF] Logique et raisonnements
Raisonner par implication ou par équivalence > Utiliser un raisonnement par l'absurde ou par contraposition > Effectuer un raisonnement par récurrence simple
[PDF] Démontrer une implication ou une équivalence
Conclusion : on a bien montré l'implication P =? Q Pour montrer l'équivalence P ?? Q on peut : ou bien raisonner par double implication c'est-à-dire
[PDF] Raisonnement par implication - Eduscol
Proposer dans le désordre les différentes étapes du raisonnement permettant de démontrer que les droites (CD) et (EF) sont parallèles et demander de les
[PDF] Chapitre I : Logique et raisonnement I Eléments de logique
D'après la définition de l'implication une proposition fausse implique toutes les assertions possibles Note historique : on raconte qu'intrigué par ce
[PDF] Logique et Raisonnement
L'implication P ? Q est l'assertion (P) ? Q On dit que P est une condition su sante pour Q et que Q est une condition nécessaire pour P
[PDF] CH I : Logique et raisonnements mathématiques - Arnaud Jobin
Définition Implication Soient p et q deux propositions mathématiques • On note p ? q la proposition qui est : × vraie si q est vraie à chaque fois que p l'
[PDF] BASES DU RAISONNEMENT
10 sept 2006 · La réciproque de l'implication (P?Q) c'est l'assertion (Q?P) Elles sont vraies toutes les deux si et seulement si P?Q est vraie Exercice 6
[PDF] Chapitre 4 Quelques types de raisonnement
Aide `a la rédaction d'un raisonnement Montrer une implication Le raisonnement par contraposition s'utilise lorsque l'assertion (non Q) est plus
Quand utiliser l'implication ?
En logique mathématique, l'implication est l'un des connecteurs binaires du langage du calcul des propositions, généralement représenté par le symbole « ? » et se lisant « … implique … », « … seulement si … » ou, de façon équivalente, « si …, alors … » comme dans la phrase « s'il pleut, alors mon gazon est arrosé ».Comment démontrer l'implication ?
Démonstration d'une implication
Pour montrer que P implique Q , on suppose que P est vrai, et on démontre Q sous cette hypothèse. Cela suffit puisque si P est faux alors l'implication P?Q P ? Q est toujours vraie, quelle que soit la véracité de Q . La rédaction pourra ainsi débuter par : « Montrons que P implique Q .Pourquoi P implique Q est Non-p ou Q ?
En effet, Q est vraie, donc nonP OU Q est vraie, ce qui veut bien dire que P implique Q. On a même que P est équivalente à Q, puisque P et Q sont toutes les deux vraies, et que deux propositions sont équivalentes si et seulement si elles sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses.- La négation d'une implication n'est pas une implication
Les quantificateurs : Soit P(x) une propriété dépendant de x. « Il existe x P(x) » (« ? x P(x) ») est vraie dans une structure donnée si et seulement « Pour tout x, non P(x) ?st fausse dans la structure.
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??R´esum´edecours ?Notions de logiqueD´efinition : Proposition -.Uneproposition(ou assertion) est un ´enonc´emath´ematique qui
peut prendre deux valeurs : vrai (V) ou faux (F). D´efinition : N´egation d"une proposition -.SoitPune proposition. On appellen´egationdeP et on notenon Pla proposition d´efinie par :?non Pest vraie lorsquePest fausse; ?non Pest fausse lorsquePest vraie. D´efinition : Conjonction de deux propositions -.SoitPetQdeux propositions. On appelle conjonction dePetQla proposition not´eePetQ,etd´efinie de la mani`ere suivante : ?PetQest vraie lorsquePetQsont vraies; ?PetQest fausse lorsque l"une au moins des deux propositions est fausse. D´efinition : Disjonction de deux propositions -.SoitPetQdeux propositions. On appelledisjonction dePetQla proposition not´eePouQ,etd´efinie de la mani`ere suivante :?PouQest vraie lorsque l"une au moins des deux propositions est vraie;
?PouQest fausse lorsquePetQsont fausses. D´efinition : Implication -.SoitPetQdeux propositions. On appelle implication deQparPla propositionnon P ou Q. Cette proposition se noteP?Q. Vocabulaire :la propositionP?Qse lit?PimpliqueQ?ou encore?siPalorsQ? Remarque :lorsqueP?Qest vraie, on dit quePest unecondition suffisantepour avoirQ, ou queQest unecondition n´ecessairepour avoirP. D´efinition : R´eciproque -.SoitPetQdeux propositions. On appelle r´eciproque deP?Q l"implicationQ?P. D´efinition :´Equivalence -.SoitPetQdeux propositions. On appelle ´equivalence dePetQ la propositionP?QetQ?P. Cette proposition se noteP?Q. Vocabulaire :la propositionP?Qse lit?Psi et seulement siQ?. Remarque :lorsqueP?Qest vraie,Pest unecondition n´ecessaire et suffisantepour avoir Q. Ainsi, les ´equivalences sont les conditions n´ecessaires et suffisantes. Table de v´erit´e des connecteurs logiques :PQnon PPetQPouQP?QP?QVVFVVVV
VFFFVFF
FVVFVVF
FFVFFVV
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS5??
Remarque :d"apr`es cette table de v´erit´e, siPetP?Qsont vraies alorsQest vraie. C"est le principe de d´eduction.D´efinition : Contrapos´ee -.SoitPetQdeux propositions. On appelle contrapos´ee de l"implica-
tionP?Ql"implicationnon Q?non P Th´eor`eme 1.1.-SoitPetQdeux propositions. L"implicationP?Qet sa contrapos´ee sont´equivalentes. Autrement dit :
(P?Q)??(non Q?non P) Proposition 1.2.-SoitPetQdeux propositions. Alors : ?non(non P)??P ?non(PetQ)??(non P)ou(non Q) ?non(PouQ)??(non P)et(non Q) ?non(P?Q)??Pet(non Q) ?QuantificateursD´efinition :SoitP(x)une propri´et´ed´ependant d"un param`etrex,o`uxest un ´el´ement d"un en-
sembleE.Quantificateur universel :Pour signifier que la propri´et´eP(x)est vraie pour tous les ´el´ements
xdeE,on´ecrit : ?x?E, P(x) Le symbole?est appel´equantificateur universelet se lit?quel que soit?. Quantificateur existentiel -.Pour signifier que la propri´et´eP(x)est vraie pour au moins un ´el´ementxdeE,on´ecrit : ?x?E, P(x) Le symbole?est appel´equantificateur existentielet se lit?il existe?. Proposition 1.3.- N´egation des propositions avec quantificateurs -. ?La n´egation de la proposition?x?E, P(x)est:?x?E, non P(x). ?La n´egation de la proposition?x?E, P(x)est:?x?E, non P(x). Remarque :attention, l"ordre des quantificateurs est tr`es important. Lorsque plusieurs quantifi- cateurs apparaissent dans une proposition, on ne peut pas intervertir leur ordre sans changer (en g´en´eral) le sens de la proposition. Pour s"en convaincre, on pourra consulter leVrai/Faux. ??6CHAPITRE 1 ?Raisonnement par r´ecurrence Th´eor`eme 1.4." Propri´et´e fondamentale deN-.Toute partie non vide deNadmet un plus petit ´el´ement. Th´eor`eme 1.5.- Principe de r´ecurrence -.SoitP(n) une proposition d´ependant den?N,et n 0 ?N.SiInitialisation :la propositionP(n
0 )estvraie,H´er´edit´e:pour tout entiern?n
0 ,P(n) impliqueP(n+1); alors la propositionP(n) est vraie pour tout entiern?n 0 Th´eor`eme 1.6.- R´ecurrence double -.SoitP(n) une proposition d´ependant den?N,et n 0 ?N.SiInitialisation :les propri´et´esP(n
0 )etP(n 0 +1)sontvraies,H´er´edit´e:pour tout entiern?n
0 ,(P(n)etP(n+ 1)) impliqueP(n+2); alors la propositionP(n) est vraie pour tout entiern?n 0Th´eor`eme 1.7.- Principe de r´ecurrence forte (ou r´ecurrence avec pr´ed´ecesseurs) -.Soit
P(n) une proposition d´ependant den?N,etn
0 ?N.SiInitialisation :la propositionP(n
0 )estvraie,H´er´edit´e:pour tout entiern?n
0 P(n 0 )etP(n 0 +1)et···etP(n)? impliqueP(n+1); alors la propositionP(n) est vraie pour tout entiern?n 0LOGIQUE ET RAISONNEMENTS7??
??M´ethodes ?D´emontrer une proposition ?M´ethode 1.1.- Comment d´emontrer une proposition par d´eduction SiPetP?Qsont vraies, alorsQest vraie. C"est leprincipe de d´eduction.C"estun principe tr`es simple que l"on utilise en permanence : si l"on sait qu"une propositionPestvraie (propri´et´educours,r´esultat d"une question ant´erieure...) et que l"on sait d´emontrer
P?Q, alors on a d´emontr´e que la propositionQest vraie.Exemple :montrer que, pour toutx?R,x
2 -4x+5>0. On ax 2 -4x+5=x 2 -4x+4+1=(x-2) 2 +1.Or,(x-2) 2 ?0 (le carr´e d"un r´eel est positif) et 1>0. Par cons´equent, (x-2) 2 +1>0, c"est-`a-direx 2 -4x+5>0.Mise en uvre : tous les exercices!
?M´ethode 1.2.- Comment d´emontrer une proposition par disjonction de cas On est parfois amen´e`a distinguer plusieurs cas pour d´emontrer qu"une proposition est vraie. C"est le principe d"une d´emonstration pardisjonction de cas. En particulier, si l"on souhaite d´emontrer qu"une propositionP(x) est vraie pour tous les ´el´ementsxd"un ensembleE, on peut prouver la proposition pour tous les ´el´ements d"une partieAdeE, puis pour les ´el´ements deEn"appartenant pas `aA.Exemple :montrer que, pour toutn?N,
n(n+1) 2 est un entier naturel.Soitn?N.Onvad´emontrer que
n(n+1) 2 ?Nen distinguant les casnpair ou impair. ?Sinest pair, on peut ´ecriren=2k,o`uk?N.Alors n(n+1) 22k(2k+1)
2 =k(2k+1)?N. ?Sinest impair, on an=2p+1,o`up?N.Alors n(n+1) 2 (2p+1)(2p+2) 2 =(2p+1)(p+1)?N.Finalement, pour tout entier natureln,
n(n+1) 2 ?N.Mise en uvre : exercice 1.5, exercice 1.6.
?M´ethode 1.3.- Comment d´emontrer une proposition par l"absurde Pour d´emontrer qu"une propositionPest vraie, on peut utiliser unraisonnement par l"absurde. Pour cela, on suppose quePest fausse et on d´emontre que l"on aboutit alors `a une contradiction. Exemple :montrer qu"il n"existe pas d"entier naturel sup´erieur `a tous les autres. Nous allons d´emontrer cette proposition en raisonnant par l"absurde. Pour cela, on suppose qu"il existe un entier naturelN 0 sup´erieur `a tous les autres. On a alors, pour toutn?N,n?N 0 .La relation est donc vraie pour l"entiern=N 0 +1,doncN 0 +1?N 0 ; d"o`u1?0, ce qui est faux! Par cons´equent, il n"existe pas d"entier naturel sup´erieur `a tous les autres.Mise en uvre : exercice 1.9, exercice 1.12.
??8CHAPITRE 1 ?D´emontrer une implication ?M´ethode 1.4.- Comment d´emontrer une implication par raisonnement direct Pour montrer directement l"implicationP?Q, on suppose quePest vraie et on d´emontre queQest vraie. La d´emonstration commence par ?supposons quePest vraie ?et se termine par?Qest vraie?.Exemple :d´emontrer que, pourxetyr´eels,x
2 =y 2 =?|x|=|y|.Soitxetydeux r´eels tels quex
2 =y 2 . On a doncx 2 -y 2 =0,soit(x-y)(x+y)=0. Par cons´equent,x-y=0oux+y= 0. Ainsi,x=youx=-y,cequisignifieque|x|=|y|(xet ysont ´egaux ou oppos´es). On a donc d´emontr´e l"implication attendue. ?M´ethode 1.5.- Comment d´emontrer une implication par contraposition Le raisonnement par contraposition est bas´esurleth´eor`eme 1.1: l"implicationP?Qest ´equivalente `a sa contrapos´eenon Q?non P. Ainsi, pour montrer que l"implicationP?Qest vraie, on peut prouver que l"implication non Q?non Pest vraie. En pratique, on suppose donc quenon Qest vraie et on montre quenon Pest vraie.Exemple :soitnun entier naturel. Montrer que, sin
2 est pair, alorsnest pair.La proposition `ad´emontrer s"´ecrit :
?n 2 est pair?nest pair?. Nous allons raisonner par contraposition en d´emontrant la proposition (´equivalente) : ?nn"est pas pair?n 2 n"est pas pair ?,c"est-`a-dire?nest impair?nquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26[PDF] raisonnement par l'absurde exercices
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