Intégrales dépendant dun paramètre PDF

rapidement ce que représente une dérivée ou une intégrale pour comprendre ... que la dérivée nous permet d'examiner localement comment une fonction se.

Sommaire 1. Nature dune intégrale impropre

Définition : Quand une intégrale ne converge pas on dit qu'elle diverge. La nature d'une intégrale admet une dérivée partielle par rapport à x qui est.

Intégrales dépendant dun paramètre

? f. ? x. (x t) dt . On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx. ? b.

Chapitre4 : Intégrale dune fonction continue sur un segment et

donc f est continue sur ce segment) est dérivable de dérivée f. Démonstration : Soit x0 P I. Montrons que F est dérivable en x0 et que F1(x0) = f(x0).

Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Pour calculer cette intégrale il suffit de trouver une primitive de f

La dérivée lintégrale

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA04012.pdf

Calcul Différentiel et Intégral

Il est fortement déconseillé de chercher à retenir la formule pour la dérivée de ?. Par contre il faut savoir qu'elle existe et comment la retrouver : une

Intégrale stochastique

1 L'intégrale stochastique générale 2 Cas particulier: Intégrale de Wiener ... Le coefficient b s'appelle la dérive (ou le drift) du processus et ?.

Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles - Formulaire

Dans chaque ligne f? est la dérivée de la fonction f sur l'intervalle I. f (x). I f? (x) ? (constante). R. 0 x. R. 1 xn (n ? N?). R nxn?1. 1.

6) Vannes de régulation

Influence du paramètre temps dérivé en boucle fermée . En régulation proportionnelle intégrale dérivée on cherche le temps intégral correct en ...

Intégrales dépen-

dant d"un paramètreTrès souvent, la solution d"une équation différentielle aboutit au calcul d"une primitive :

F(x) =Z

b a

f(x,t)dt.Dans de nombreux cas, il n"y a pas de forme explicite pour cette primitive et il faut donc étudier la fonctionF(x)

telle qu"elle nous est donnée, c"est-à-dire sous la forme d"une intégrale, qui dépend du paramètrex. Dans ce chapitre

nous donnons des conditions afin que cette fonctionF(x)soit continue et dérivable. Le point-clé des démonstrations

sera la continuité uniforme. Nous appliquons ces méthodes à la transformation de Laplace et à celle de Fourier. Ne

vous lancez pas dans ce chapitre sans de solides bases d"analyse : révisez les chapitres sur les limites, la continuité, la

dérivabilité, et l"intégration.

1. Continuité et dérivabilité d"une intégrale dépendant d"un para-

mètre

1.1. Fonction définie par une intégrale

Soitf:(x,t)7!f(x,t)une fonction de deux variables,xett. Nous considéronsxcomme un paramètre ett2[a,b]

comme une variable d"intégration. Cela nous permet de définir

F(x) =Z

b a f(x,t)dt.

Unxétant fixé, pour queF(x)existe, il suffit que l"application partiellet7!f(x,t)soit continue sur[a,b]. Mais ceci

ne garantit pas la continuité de la fonctionF. Nous donnons des conditions suffisantes pour queFsoit continue, puis

dérivable.

1.2. ContinuitéThéorème 1.

SoientIun intervalle deRetJ= [a,b]un intervalle fermé borné. Soitfune fonction continue surIJà valeurs

dansR(ouC). Alors la fonction F définie pour tout x2I par

F(x) =Z

b a f(x,t)dt est continue sur I.Exemple 1. Soit

F(x) =Z

0 sin(x+t)ext2dt, définie pourx2I=R. La fonction(x,t)7!f(x,t) =sin(x+t)ext2est continue surR[0,], donc la fonction x7!F(x)est continue surR.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE2On calcule queF(0) =R

0sin(t)1dt=

cos (t) 0 =2. Même si on n"a pas de formule pourF(x)en général, on déduit de la continuité queF(x)!F(0) =2 lorsquex!0.

Les démonstrations de cette section utilisent la continuité uniforme, qui fait l"objet de la section suivante.

Démonstration.

Soitx0un point deI. Quitte à restreindre l"intervalle en considérantI\[x0,x0+], on suppose

queIest un intervalle fermé borné. Le théorème de Heine (théorème6 ) s"applique alors à la fonctionfsurIJ:

elle est donc uniformément continue. En particulier, pour tout >0, il existe >0 tel que,pour tout t2J,

jxx0j< =)f(x,t)f(x0,t)6ba.

Dans ce cas,

F(x)F(x0)=

Z b a f(x,t)f(x0,t)dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)dt

6(ba)ba=.

DoncFest continue enx0.1.3. Dérivabilité

Théorème 2.

Soient I un intervalle deRet J= [a,b]un intervalle fermé borné. On suppose que : (x,t)7!f(x,t)est une fonction continue sur IJ (à valeurs dansRouC), la dérivée partielle(x,t)7!@f@x(x,t)existe et est continue sur IJ. Alors la fonction F définie pour tout x2I par F(x) =Z b a f(x,t)dt est de classeC1sur I et :F

0(x) =Z

a@f@x(x,t)dt.On peut retenir l"abréviation mnémotechnique d"interversion dérivée/intégrale :

ddxZ b a =Z b a@@x

Exemple 2.

ÉtudionsF(x) =R1

0dtx

2+t2pourx2]0,+1[. Posonsf(x,t) =1x

2+t2. Alors :

fest continue sur]0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2x(x2+t2)2est continue sur]0,+1[[0,1].

On aura donc

0(x) =Z

02x(x2+t2)2dt.

Pour cet exemple on peut calculer explicitementF(x):

F(x) =1x

2Z 1

0dt1+tx

2=1x h arctantx i t=1 t=0=1x arctan1x 1x arctan1x =1x

2arctan1x

311+x2.

Ce qui prouveZ

02x(x2+t2)2dt=1x

2arctan1x

1x(1+x2).

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE3

Démonstration.Soitx02I. Pour simplifier l"écriture nous supposerons quex0n"est pas une extrémité deI. Nous

devons démontrer que, pour tout >0, il existe >0 tel que, pour toutx2[x0,x0+]etx6=x0:F(x)F(x0)xx0Z

b a@f@x(x0,t)dt 6.

Écrivons :

F(x)F(x0)(xx0)Z

b a@f@x(x0,t)dt Z b f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t) dt 6 Z b a f(x,t)f(x0,t)(xx0)@f@x(x0,t)dt.

Par le théorème des accroissements finis, pour toutt2[a,b], il existex1strictement compris entrex0etxtel que

f(x,t)f(x0,t) = (xx0)@f@x(x1,t).

Fixons >0tel que[x0,x0+]soit inclus dansI: la dérivée partielle@f=@xest uniformément continue sur

[x0,x0+][a,b], d"après le théorème de Heine (théorème6 ). Il existe donc >0tel que, pour toutxvérifiant

jxx0j< et pour tout t2[a,b],@f@x(x,t)@f@x(x0,t)Sijxx0j< , alors toutx1strictement compris entrex0etxest encore tel quejx1x0j< , donc :@f@x(x1,t)@f@x(x0,t) En reportant dans l"expression ci-dessus, on obtient :

6jxx0jba.

Il reste à intégrer par rapport àtentreaetb:F(x)F(x0)(xx0)Z b a@f@x(x0,t)dt 6Z b a jxx0jbadt=jxx0j, d"où le résultat en divisant parjxx0j.Exemple 3.

Calculonsl"intégrale de Gauss:Z

+1 0 et2dt=p 2e t2Posons, pourx2I= [0,+1[:

F(x) =Z

1 0e x2(t2+1)t

2+1dt G(x) =Z

x 0 et2dt 2

H(x) =F(x)+G(x)

1.Étude deF(x).

En posantf(x,t) =ex2(t2+1)t

2+1, on note que :

fest une fonction continue sur[0,+1[[0,1], @f@x(x,t) =2xex2(t2+1)est aussi continue.

Donc, par le théorème

2 ,Fest continue, dérivable et F

0(x) =Z

0@f@x(x,t)dt=2Z

1 0 xex2(t2+1)dt=2xex2Z1 0 ex2t2dt.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE4

2.Étude deG(x).

Gn"est pas à proprement parler une intégrale dépendant d"un paramètre. Si on noteG0(x) =Rx

0et2dt,G0est

simplement une primitive dex7!ex2etG(x) =G0(x)2. CommeG0

0(x) =ex2(la dérivée d"une primitive est la

fonction elle-même), on a : G

0(x) =ddxG0(x)2=2G0

0(x)G0(x) =2ex2Zx

0 et2dt=2xex2Z1 0 ex2u2du

Pour la dernière égalité, on a posé le changement de variablet=xu(et doncdt=xdu,u=txetuvarie de0à1

lorsquetvarie de 0 àx).

3.Étude deH(x).

Par nos calculs précédents, on trouveH0(x) =F0(x)+G0(x) =0, pour toutx2[0,+1[. Cela veut dire que la

fonctionHest une fonction constante. Or

H(0) =F(0)+G(0) =Z

1 01t

2+1dt+0="

arctant 1 0=4

DoncHest la fonction constante égale à4

4.Limite deH(x)en+1.

Lorsquex!+1, alorsG(x)!R+1

0et2dt

EtF(x)!0 car

F(x)= Z 1 0e x2(t2+1)t 2+1dt 6Z 1 0 ex2dt=ex2Z1 0

1dt=ex2!0.

DoncH(x) =F(x)+G(x)!R+1

0et2dt

5.Conclusion.

est une fonction constante :H(x) =4, sa limite en+1est donc aussi4. Mais on a calculé cette limite d"une

autre façon, ce qui prouve :Z+1 0 et2dt=s 4 =p 2

1.4. Théorème de FubiniThéorème 3(Théorème de Fubini).

SoientI= [,]etJ= [a,b]deux intervalles fermés bornés. Soitfune fonction continue surIJ, à valeurs dansR

(ouC). Alors la fonction F définie pour tout x2I par

F(x) =Z

b a f(x,t)dt est intégrable sur I et Z

F(x)dx=Z

Zb a f(x,t)dt dx=Z b a Z f(x,t)dx dt.On retient que l"on peut intervertir l"ordre d"intégration : Z Z b a =Z b aZ Géométriquement, on se souvient que calculer une intégraleRb af(t)dtrevient à déterminer l"aire sous le graphe,

comme somme de segments de hauteurf(t). Ces segments sont en fait des rectangles de largeur infinitésimale dt.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE5xt

abxt

abIci, pour nos fonctions de deux variables, on calcule d"abord l"aire d"une tranche parallèle à l"axe dest(en vert sur

la figure), puis on fait la somme (c"est-à-dire on effectue une seconde intégration) des aires de toutes les tranches

(qui ont en fait une épaisseur infinitésimale). On pourrait faire la même opération en commençant par les tranches

parallèles à l"axe desx(en rouge sur la figure). Le théorème de Fubini affirme que ces deux méthodes conduisent à la

même valeur. Ce nombre correspond au volume sous la portion de surface.

Exemple 4.

Calculons :

I=Z 0 Z1 0 (tsinx+2x)dt dx Première méthode.On intègre d"abord par rapport àt, puis àx: I=Z x= x=0 Zt=1 t=0(tsinx+2x)dt dx=Z x= x=0" t22 sinx+2xt t=1 t=0dx Z x= sinx2 +2x dx="cosx2 +x2x= x=0=2+1

Seconde méthode.

On utilise le théorème de Fubini qui affirme que l"on peut d"abord intégrer par rapport àx, puis

par rapport àt: I=Z x= x=0 Zt=1 t=0(tsinx+2x)dt dx=Z t=1 t=0Z x= x=0(tsinx+2x)dx dtpar Fubini Z t=1 t=0" tcosx+x2x= x=0dt=Z t=1 t=0(2t+2)dt=" t2+2t t=1 t=0=2+1

Démonstration.

Par le théorème

1 , la fonctionFest continue surI, donc intégrable. Pourx2I, considérons la fonction : '(x,t) =Z x f(y,t)dy. C"est une fonction continue surIJ. (Pour le prouver considérer'(x,t)'(x0,t0) =Rx x

0f(y,t)dy+Rx0

af(y,t) f

(y,t0)dy. Le premier terme est petit pourxproche dex0carfest bornée; le second est petit par continuité

uniforme def, exactement comme dans la preuve théorème du1 .)

La dérivée partielle par rapport àxde'(x,t)est@'@x(x,t) =f(x,t), qui est elle aussi continue surIJ. On peut

donc lui appliquer le théorème 2 . La fonction qui àxassocie (x) =Z b a '(x,t)dt=Z b aZ x f(y,t)dy dt est dérivable et sa dérivée est :

0(x) =Z

b a@'@x(x,t)dt=Z b a f(x,t)dt.

On obtient donc, pour toutx2I:

Z b aZ x f(y,t)dy dt=(x) =Z x

0(y)dy=Z

x Zb a f(y,t)dt dy.

D"où le résultat en prenantx=.

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE1. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D"UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE6

1.5. Bornes qui varient

Une catégorie un peu différente d"intégrales est lorsque ce sont les bornes qui sont les paramètres de la fonction :

G(x) =Z

v(x) u(x)f(t)dt

oùu,vsont des fonctions dex.Théorème 4.Soitfune fonction continue sur un intervalle[a,b]à valeurs dansR(ouC). SoientIun intervalle deRetu,v:I!

[a,b]deux fonctions de classeC1. Alors la fonction G définie sur l"intervalle I par

G(x) =Z

v(x) u(x)f(t)dt est de classeC1et G

0(x) =v0(x)fv(x)u0(x)fu(x).Exemple 5.

Calculons la dérivée de

G(x) =Z

x2 xdtlnt

pourx>1. Pour appliquer le théorème4 ,on se restreint à un intervalle[a,b]tel que,pourxfixé,x2[a,b]]1,+1[.

Avecf(t) =1lnt,u(x) =x,v(x) =x2, on a :

0(x) =v0(x)fv(x)u0(x)fu(x)=2x1ln(x2)11lnx=x1lnx

Le plus simple n"est pas d"apprendre la formule mais de refaire le calcul à chaque fois, car ce calcul est juste la dérivée

d"une composition. Démonstration.Considérons d"abord la fonctionHdéfinie par

H(x) =Z

v(x) a f(t)dt. Cette fonctionHest la composée de deux fonctions :

H(x) =Fv(x)= (Fv)(x)

oùFest la primitive

F(x) =Z

x a f(t)dt. CommeFetvsont de classeC1alorsHest de classeC1et par la formule de dérivée d"une composition : H

0(x) =v0(x)F0v(x).

Mais commeF0(x) =f(x)alors

0(x) =v0(x)fv(x).

Si on fait le même calcul pourK(x) =Ru(x)

af(t)dt, on trouveK0(x) =u0(x)fu(x).

Finalement

G(x) =Z

v(x) u(x)f(t)dt=Z a u(x)f(t)dt+Z v(x) a f(t)dt=K(x)+H(x), donc G

0(x) =K0(x)+H0(x) =u0(x)fu(x)+v0(x)fv(x).Mini-exercices.1.

SoitF(x) =R1

0cos(xt)dtdéfinie pourx2[0,].Fest-elle continue? Dérivable? Si oui,

que vaut sa dérivée? CalculerR

0F(x)dxde deux façons différentes.

SoitF(x) =R1

0etsinxdtdéfinie pourx2R.Fest-elle continue? Dérivable? Si oui, que vaut sa dérivée? Que

valent les limiteslimx!0F(x)etlimx!0F0(x)? Retrouver ces résultats en calculant une expression explicite de

F(x).

INTÉGRALES DÉPENDANT D"UN PARAMÈTRE2. CONTINUITÉ UNIFORME73.Calculer le volume sous la portion de surface sous le graphe def(x,y) =px+x y+yx+1pour(x,y)2

[0,1][2,3]. 4. Soitf(t) =sintt. Justifier quefpeut être prolongée en une fonction continue en0. SoitF(x) =Rx3 x

2sintt

définie pourx2[0,+1[. CalculerF(0)etF0(x). En déduire le signe deF(x)pourxproche de 0.2. Continuité uniforme

Cette section a pour but de détailler les outils qui ont servi aux preuves de la section précédente et peut être éludée

lors d"une première lecture. Le résultat principal est le théorème de Heine qui affirme que toute fonction continue sur

un intervalle fermé borné est uniformément continue.

2.1. Fonctions d"une variable

La continuité uniforme est une notion plus forte que la continuité. On peut dire que la continuité uniforme est à la

continuité ce que la convergence uniforme est à la convergence simple.Définition 1. SoientIun intervalle deRetfune fonction définie surI, à valeurs dansR(ouC). 1.

On dit que festcontinuesurIsi

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Intégrales dépen-

F(x) =Z

1. Continuité et dérivabilité d"une intégrale dépendant d"un para-

1.1. Fonction définie par une intégrale

F(x) =Z

1.2. ContinuitéThéorème 1.

F(x) =Z

F(x) =Z

0sin(t)1dt=

Démonstration.

Dans ce cas,

F(x)F(x0)=

6(ba)ba=.

DoncFest continue enx0.1.3. Dérivabilité

Théorème 2.

0(x) =Z

Exemple 2.

ÉtudionsF(x) =R1

2+t2pourx2]0,+1[. Posonsf(x,t) =1x

2+t2. Alors :

On aura donc

0(x) =Z

02x(x2+t2)2dt.

F(x) =1x

0dt1+tx

2arctan1x

311+x2.

Ce qui prouveZ

02x(x2+t2)2dt=1x

2arctan1x

1x(1+x2).

Écrivons :

F(x)F(x0)(xx0)Z

6jxx0jba.

Calculonsl"intégrale de Gauss:Z

F(x) =Z

2+1dt G(x) =Z

H(x) =F(x)+G(x)

1.Étude deF(x).

En posantf(x,t) =ex2(t2+1)t

2+1, on note que :

Donc, par le théorème

0(x) =Z

0@f@x(x,t)dt=2Z

2.Étude deG(x).

0et2dt,G0est

0(x) =ex2(la dérivée d"une primitive est la

0(x) =ddxG0(x)2=2G0

0(x)G0(x) =2ex2Zx

3.Étude deH(x).

H(0) =F(0)+G(0) =Z

2+1dt+0="

DoncHest la fonction constante égale à4

4.Limite deH(x)en+1.

Lorsquex!+1, alorsG(x)!R+1

0et2dt

EtF(x)!0 car

1dt=ex2!0.

DoncH(x) =F(x)+G(x)!R+1

0et2dt

5.Conclusion.

1.4. Théorème de FubiniThéorème 3(Théorème de Fubini).

F(x) =Z

F(x)dx=Z

Exemple 4.

Calculons :

Seconde méthode.

Démonstration.

Par le théorème

0f(y,t)dy+Rx0

0(x) =Z

On obtient donc, pour toutx2I:

0(y)dy=Z

D"où le résultat en prenantx=.

1.5. Bornes qui varient

G(x) =Z

G(x) =Z

0(x) =v0(x)fv(x)u0(x)fu(x).Exemple 5.

Calculons la dérivée de

Lorsquex!+1, alorsG(x)!R+1

0et2dt

DoncH(x) =F(x)+G(x)!R+1

0et2dt