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Cours Mathématiques MP

david Delaunay

16 octobre 2015

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Première partie

Algèbre

3

Chapitre 1

Groupes

1.1 L"ensembleZ=nZ

1.1.1 Relation d"équivalence

DéfinitionOn appelle relation d"équivalence sur un ensembleEtoute relation binaireRvérifiant1)Rest réflexive i.e.8x2E;xRx;2)Rest symétrique i.e.8x;y2E;xRy)yRx:3)Rest transitive i.e.8x;y;z2E;xRyetyRz)xRz;ExempleL"égalité est une relation d"équivalence surE.

ExempleL"équivalence des suites (ou de fonctions au voisinage dea2R) est une relation d"équivalence.

ExempleL"équivalence des matrices deMn;p(K).

RemarquePlus généralement, pour une applicationf:E!F, la relationRdonnée par xRy,f(x) =f(y) définit une relation d"équivalence surE. RemarqueEn fait, une relation d"équivalence se comprend comme "une égalité modulo certains critères» . 5

1.1. L"ENSEMBLEZ=NZ1.1.2 Classe d"équivalence

SoitRune relation d"équivalence surE.

DéfinitionOn appelle classe d"équivalence d"un élémentxdeEpour la relationR, le sous-ensemble noté

Cl(x)formé des éléments qui sont en relation avecx

Cl(x)=

déffy2E=xRyg

La classe d"équivalence dexest encore souvent notéex;x;^x,...ExempleConsidéronsE=fa;b;c;d;egetf:E! f0;1;2gdéfinie par

f(a) = 0;f(b) = 1;f(c) = 0;f(d) = 1etf(e) = 2

La relationRdéfinie par

xRy,f(x) =f(y)

est une relation d"équivalence que l"on peut visualiser ainsiPour celle-ciCl(a) =Cl(c) =fa;cg,Cl(b) =Cl(d) =fb;dgetCl(e) =feg.

RemarqueCl(x)réunit les éléments deEqui sont "égaux modulo la relationR» .

Théorèmea)8x2E;x2Cl(x);b)8x;y2E,xRy)Cl(x) =Cl(y);c)8x;y2E,x6 Ry)Cl(x)\Cl(y) =;Ainsi une classe d"équivalence n"est jamais vide et deux classes d"équivalence distinctes sont

disjointes.dém. : x2Cl(x)car la relationRest réflexive. SixRyalors pour toutz2Cl(y)on ayRzet doncxRzpar transitivité. AinsiCl(y)Cl(x)et par symétrie on a l"autre inclusion et donc l"égalité. Enfin, par contraposée, siCl(x)\Cl(y)6=;alors pour un certainz2Cl(x)\Cl(y), on axRzetyRz donc par symétrie et transitivité, on obtientxRy. RemarqueSiyest élément d"une classe d"équivalenceCl(x)alorsxRyet doncCl(x) =Cl(y). Ainsi,

tout élément d"une classe d"équivalence détermine celle-ci.http://mp.cpgedupuydelome.fr 6

CHAPITRE 1. GROUPES

Définition

Tout élémentyd"une classe d"équivalence est appelé représentant de celle-ci.1.1.3 Ensemble quotient

SoitRune relation d"équivalence surE. Les classes d"équivalence réalisent une partition deE; cette

partition est obtenue en regroupant entre eux les éléments qui sont "égaux modulo la relationR» .

ExempleConsidérons la relation d"équivalence précédente surE=fa;b;c;d;eg. Celle-ci réalise une partition deEen 3 classes d"équivalence. DéfinitionOn appelle ensemble quotient deEparRl"ensemble des classes d"équivalence pour rela-

tionR.On le noteE=R.RemarqueE=Rse comprend comme l"ensemble obtenu lorsqu"on "identifie entre eux les éléments

qui sont égaux moduloR» . ExempleL"ensembleQdes nombres rationnels se construit comme l"ensemble quotient deZZ? pour la relation (a;b)R(c;d),ad=bc La classe d"équivalence d"un couple(a;b)est alors notéea=b.

1.1.4 L"ensembleZ=nZ

Soitn2N?.

DéfinitionOn définit surZla relation de congruence modulonpar ab[n],nj(ba)Proposition La relation de congruence modulonest une relation d"équivalence surZ.dém. : La relation est réflexive caraa[n]puisquenj(aa). La relation est symétrique carab[n])ba[n]puisquenj(ba))nj(ab). Enfin, la relation est transitive carab[n]etbc[n])ac[n]puisquenj(ba)etnj (cb))nj(ca). http://mp.cpgedupuydelome.fr 7

1.1. L"ENSEMBLEZ=NZDéfinition

Poura2Z, on noteala classe d"équivalence dea2Zpour la relation de congruence modulon.Ainsi a=fa+kn=k2Zg=a+nZDéfinition On noteZ=nZl"ensemble quotient deZpour la relation de congruence modulon.Théorème Z=nZest un ensemble fini ànéléments qui sont

0;1;:::;(n1)dém. :

0;1;:::;(n1)sont des éléments deZ=nZ.

Poura;b2 f0;:::;n1g,

a=b)nj(ba))a=b

Par suite, les classes

0;1;:::;(n1)sont deux à deux distinctes.

Pour touta2Z=nZ, en considérant le rester2 f0;1;:::;n1gde la division euclidienne deaparn, on obtienta= r. Ainsi toutes les classes d"équivalence figurent parmi0;1;:::;(n1). ExempleZ=2Z=f0;1g,Z=3Z=f0;1;2g,Z=4Z=f0;1;2;3g, etc.

PropositionPour touta;b;a0;b02Z,

aa0[n]etbb0[n])a+ba0+b0[n]etaba0b0[n]dém. : nja0aetnjb0bentraînentnj(a0+b0)(a+b) = (a0a) + (b0b)etnj(a0b0)(ab) = (a0a)b0+a(b0b) DéfinitionOn définit deux opérations+etsurZ=nZen posant a+b= défa+betab= défab

RemarqueLa définition ci-dessus est consistante puisque le résultat de ces opérations ne dépend pas

des représentantsa;bchoisis pour chaque classe.http://mp.cpgedupuydelome.fr 8

CHAPITRE 1. GROUPES

ExempleDansZ=6Z,3 +5 =8 =2ou encore3 +5 =3 +1 =2.35 =15 =

3ou encore35 =31 =3 =3.

1.2 Structure de groupe

1.2.1 Définition

DéfinitionOn appelle groupe tout couple(G; ?)formé d"un ensembleGet d"une loi de composition interne?surGvérifiant :1)?est associative i.e.

8a;b;c2G;(a ? b)? c=a ?(b ? c);

2)?possède un neutre i.e.

9e2G;8a2G;a ? e=a=e ? a

cet élémenteest alors unique;3) tout élément deGest symétrisable?i.e.

8a2G;9b2G;a ? b=e=b ? a

cet élémentbest alors unique et appelé symétrique dea, notéa1.Si de plus la loi?est commutative, on parle de groupe abélien.Lorsque la loi est notéeou., on dit que le groupe est noté multiplicativement (e!1,

a ? b!ab)Lorsque la loi est notée +, on dit que le groupe est noté additivement(e!0,a ? b!a+b, a

1! a). Cette dernière notation est réservée au groupe commutatif.Attention :Lorsque la loi?n"est pas commutative :

- la neutralité deese vérifie par deux compositions; - l"inversibilité d"un élément se vérifie par deux compositions; - on a(a ? b)1=b1? a1. Exemple(C;+);(R;+);(Z;+)sont des groupes abéliens de neutre 0. Exemple(C?;);(R?;);(R+?;)sont des groupes abéliens de neutre 1. Exemple(GLn(K);)est un groupe non commutatif de neutreIn.http://mp.cpgedupuydelome.fr 9

1.2. STRUCTURE DE GROUPE

1.2.2 Itéré d"un élément

Soit(G;?)un groupe de neutree.

DéfinitionPoura2Getk2Z, on noteakl"itéré d"ordrekde l"élémenta:- pourk >0,ak= défa ?? a(ktermes);- pourk= 0,a0= défe;- pourk <0,ak= défa1?? a1(jkjtermes).Proposition On a

8k;`2Z,ak? a`=ak+`et(ak)`=ak`dém. :

Il suffit de discuter selon les signes des exposants d"itérations considérés, c"est un peu lourd...

RemarqueSi le groupe est noté additivement, on notek:al"itéré d"ordrekdea. On a alors k:a+`:a= (k+`):aet`:(k:a) = (k`):a

Attention :En général

(a ? b)p6=ap? bp

En effet

(a ? b)p= (a ? b)?(a ? b)? ::: ?(a ? b) et a p? bp= (a ? a ? ::: ? a)?(b ? b ? ::: ? b)

Cependant, siaetbcommutent alors(a ? b)p=ap? bp

1.2.3 Le groupe symétrique

DéfinitionOn noteSEl"ensemble des permutations deEi.e. des bijections deEversE.Théorème

(SE;)est un groupe de neutre IdE.Ce groupe est non commutatif dès que CardE>3.ExempleSn=S(f1;:::;ng)est un groupe de cardinaln!.

Parmi ses éléments signalons :

- les transpositions= (i j)vérifiant2=Id; - lesp-cyclesc= (a1a2::: ap)vérifiantcp=Id.http://mp.cpgedupuydelome.fr 10

CHAPITRE 1. GROUPES

1.2.4 Le groupe(Z=nZ;+)

Théorème(Z=nZ;+)est un groupe abélien ànéléments de neutre0.De plus

8a2Z=nZ,a=(a)dém. :

a+b=(a+b) =(b+a) =b+ adonc+est commutative surZ=nZ. (a+b) + c=a+b+ c=(a+b) +c=a+ (b+c) = a+ (b+ c)donc+est associative surZ=nZ. a+0 =a+ 0 = a=0 + adonc0est élément neutre de(Z=nZ;+). a+(a) =aa=0 =(a) + adoncaest symétrisable eta=(a).

Exemplen= 2,Z=2Z=f0;1g.

01 0 01 1

10Exemplen= 3,Z=3Z=f0;1;2g.

012 0 012 1 120
2

201RemarqueDans une table d"opérations, sur chaque ligne figure chaque élément de groupe; cela

provient de la bijectivité de l"applicationx7!a ? xsurG. On a la même propriété sur les colonnes.

ThéorèmePour touta2Z=nZetk2Z

k:a=kadém. :

Par récurrence pourk2N.

Cask= 0:0:a=0 =0:a.

Supposons la propriété vraie au rangk>0.

(k+ 1):a=k:a+ a=

HRka+ a=ka+a=(k+ 1)a

Récurrence établie.

Pourk2Z, on peut écrirek=pavecp2N.

On a alors

k:a=(p:a) =pa=pa=ka http://mp.cpgedupuydelome.fr 11

1.2. STRUCTURE DE GROUPE

1.2.5 Produit fini de groupes

DéfinitionSoit?1;:::;?ndes lois de composition interne sur des ensemblesE1;:::;En. On appelle loi produit surE=E1 Enla loi?définie par (x1;:::;xn)?(y1;:::;yn)= déf(x1?1y1;:::;xn?nyn)Proposition Si(G1;?1),...,(Gn;?n)sont des groupes de neutrese1;:::;enalorsG=G1:::Gn muni de la loi produit?est un groupe de neutree= (e1;:::;en).De plus :

- l"inverse d"un élément(x1;:::;xn)2Gest(x11;:::;x1n);- si tous les groupes(G1;?1),...,(Gn;?n)sont commutatifs, le groupe(G;?)l"est aussi.dém. :

Soitx= (x1;:::;xn),y= (y1;:::;yn)etz= (z1;:::;zn)éléments deG1:::Gn. On a x ?(y ? z) = (:::;xi?i(yi?izi);:::) et (x ? y)? z= (:::;(xi?iyi)?izi;:::)

Puisque les lois?isont associatives, on obtient

x ?(y ? z) = (x ? y)? z

L"élémenteest neutre car

x ? e= (:::;xi?iei;:::) =xete ? x= (:::;ei?ixi;:::) =x L"élémentxest symétrisable de symétriquex0= (x11;:::;x1n)car x ? x

0= (:::;xi?ix1

i;:::) =eetx0? x= (:::;x1 i?ixi;:::) =e

Ainsi(G;?)est bien un groupe.

Si de plus les lois?isont toutes commutatives

x ? y= (:::;xi? yi;:::) = (:::;yi? xi;:::) =y ? x ExempleSi(G;?)est un groupe de neutreealors(Gn;?)est un groupe de neutre(e;:::;e). ExemplePour(G1;?1) = (G2;?2) = (Z;+), la loi produit surZ2que nous notons+est définie par : (x1;x2) + (y1;y2) = (x1+y1;x2+y2) (Z2;+)est un groupe abélien de neutre0Z2= (0;0).http://mp.cpgedupuydelome.fr 12

CHAPITRE 1. GROUPES

ExemplePour(G1;?1) = (R+?;)et(G2;?2) = (R;+), la loi produit surR+?Rque nous notons ?est définie par : (r;)?(r0;0) = (rr0;+0) (R+?R;?)est alors un groupe abélien de neutree= (1;0).

De plus

(r;)1= (1=r;)

1.3 Sous-groupes

(G;?)désigne un groupe de neutree.

1.3.1 Définition

DéfinitionOn appelle sous-groupe d"un groupe(G;?)toute partieHdeGvérifiant :1)e2H;2)8x;y2H;x ? y12H.ExemplefegetGdes sont sous-groupes de(G;?).

RemarqueLe point 1) peut aussi être transposé enH6=;car alorsH6=;et 2) entraînee2H. Le point 2) peut aussi être transposé en 2a)8x;y2H;x ? y2Het 2.b)8x2H;x12H. RemarqueSi le groupe est noté additivement 1) et 2) se relisent02Het8x;y2H;xy2H.

ThéorèmeSiHest un sous-groupe d"un groupe(G;?)alors(H;?)est un groupe de même neutre.ExempleL"ensemble des racinesn-ième de l"unité est

U n=fz2C=zn= 1g

C"est un sous-groupe de(C?;).

(Un;)est le groupe des racinesn-ième de l"unité.

Rappelons

U n=n e2ik=n=k2J0;n1Ko =!k=k2J0;n1K avec!= e2i=n.

ExempleL"ensemble des matrices orthogonale est

O n(R) =A2 Mn(R)=tAA=In

C"est un sous-groupe de(GLn(R);).

(On(R);)est un groupe, c"est le groupe orthogonal d"ordren.http://mp.cpgedupuydelome.fr 13

1.3. SOUS-GROUPES

1.3.2 Intersection d"une famille de sous-groupes

ThéorèmeSi(Hi)i2Iest une famille de sous-groupes de(G;?)alors leur intersectionH=\ i2IH iest un sous-groupe de(G;?).dém. :

HGete2Hcareest élément de chaqueHi.

Soitx;y2H. Pour touti2I,x;y2Hidoncx ? y12Hipuisx ? y12H.

RemarqueLa réunion de deux sous-groupes n"est pas un sous-groupe sauf cas d"inclusion de l"un dans

l"autre.

1.3.3 Sous-groupe engendré par un élément

DéfinitionOn appelle sous-groupe engendré par un élémenta2Gl"ensemble hai= défak=k2ZRemarqueEn notation additive, hai=fk:a=k2Zg Théorèmehaiest un sous-groupe de(G;?)contenanta.De plus, pour tout sous-groupeHdeG a2H) hai H Ainsihaiapparaît comme le plus petit sous-groupe contenanta.dém. : hai G,e=a02 haiet pour toutx;y2 hai, on peut écrirex=ak,y=a`aveck;`2Zet alors x ? y

1=ak`2 hai

haiest donc un sous-groupe de(G;?)eta=a12 hai. De plus, siHest un sous-groupe de(G; ?)contenantaalors a

0=e2H,a1=a2H,a2=a ? a2H,a3=a2? a2H,...

Par une récurrence facile,

8k2N,ak2H

Pourk2Z,k=pavecp2N,ak=ap= (ap)12Hcarap2H.

Ainsi

8k2Z;ak2Hhttp://mp.cpgedupuydelome.fr 14

CHAPITRE 1. GROUPES

ce qui signifiehai H. RemarqueMême si la loi?n"est pas commutative, le sous-groupehaiest commutatif car a k? a`=ak+`=a`+k=a`? ak

ExempleDans(C;+),

hai=fak=k2Zg=aZ

ExempleDans(C?;),

hai=ak=k2Z

En particulier

h2i=2k=k2Z=f:::;1=8;1=4;1=2;1;2;4;8;:::g et pour!= e2i=n h!i=!k=k2Z=1;!;:::;!n1=Un car!n= 1.

ExempleDans(S4;)considérons le cyclec=1 2 3 4.

hci=Id;1 2 3 4;1 32 4;4 3 2 1

1.3.4 Sous-groupe engendré par une partie

DéfinitionOn appelle groupe engendré par une partieAdeGl"intersection de tous les sous-groupes de

(G; ?)qui contiennentA. On le notehAiThéorème hAiest un sous-groupe de(G;?)qui contientA.De plus, pour tout sous-groupeHde(G; ?),

AH) hAi H

AinsihAiapparaît comme le plus petit sous-groupe contenantA.dém. : PosonsS=fHsous - groupe de(G;?)=AHg. Par définition hAi=\

H2SHhttp://mp.cpgedupuydelome.fr 15

1.3. SOUS-GROUPES

hAiest un sous-groupe car intersection d"une famille de sous-groupes.

PuisqueAest inclus dans chaqueH2 S, on aA hAi.

Enfin, siHest un sous-groupe de(G;?)

AH)H2 S ) hAi H

ExemplePoura2G,

hfagi=ak=k2Z=hai

ExemplePoura;b2G,

En fait

hfa;bgi=fproduits finis d"itérés deaetbg

Siaetbcommutent, on peut simplifier

hfa;bgi=akb`=k;`2Z

ExempleDans(Z2;+)

hf(a;b);(c;d)gi=f(ka+`c;kb+`d)=k;`2Zg On peut montrer que ce groupe se confond avecZ2si, et seulement si,adbc=1. ExempleDansSn, considéronsTl"ensemble des transpositions éléments deSn. On a hT i=Sn car il est connu que toute permutation peut s"écrire comme un produit de transpositions.

1.3.5 Les sous-groupes de(Z;+)

ThéorèmeLes sous-groupes de(Z;+)sont lesnZavecn2N.dém. : nZest un sous-groupe de(Z;+)car nZ=fkn=k2Zg=hni

Inversement, soitHun sous-groupe de(Z;+).

CasH=f0g: on aH=nZavecn= 0.

CasH6=f0g: on introduitH+=fx2H=x >0g.http://mp.cpgedupuydelome.fr 16

CHAPITRE 1. GROUPES

Il existex02Htel quex06= 0. Six0>0alorsx02H+, sinonx02H+. Dans les deux casH+6=;. Rappelons : Toute partie non vide deNadmet un plus petit élément. IciH+est une partie non vide deN, on peut donc introduiren= minH+.

On an2HdoncnZ=hni H.

Inversement, soitx2H. Par division euclidienne,x=qn+ravec06r < n.

On a alorsr=xqn2Hcarqn2nZH.

Sir >0alorsr2H+ce qui est impossible carr < n= minH+.

Il rester= 0et doncx=qn2nZ.

AinsiHnZpuis par double inclusionH=nZ.

RemarqueLe naturelntel queH=nZest unique car

SiH=f0galorsn= 0et siH6=f0galorsn= minfx2H=x >0g.

1.4 Morphisme de groupes

Soit(G;?),(G0;>)et(G00;?)des groupes.

1.4.1 Définition

DéfinitionOn appelle morphisme du groupe(G;?)vers le groupe(G0;>)toute application':G!G0 vérifiant

8x;y2G;'(x ? y) ='(x)>'(y)ExempleL"application constante':G!Gdéfinie par'(x) =eest un morphisme du groupe(G;?)

vers lui-même. ExempleL"identité IdGest un morphisme du groupe(G;?)vers lui-même. RemarqueUn morphisme d"un groupe vers lui-même est souvent appelé endomorphisme.

Exemplelnest un morphisme de(R+?;)vers(R;+).

En effet, pour touta;b >0,

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Exempleexpest un morphisme de(C;+)vers(C?;).

En effet, pour toutz;z02C,

exp(z+z0) = exp(z)exp(z0)

ExempleLe déterminant définit par restriction un morphisme de(GLn(K);)vers(K?;)http://mp.cpgedupuydelome.fr 17

1.4. MORPHISME DE GROUPES

ExempleLa signature":Sn! f1;1gavec

"() =Y

16i est un morphisme du groupe(Sn;)vers(f1;1g;).

En effet,

8;02 Sn;"(0) ="()"(0)

Rappelons que siest une transposition alors"() =1. En conséquence, sicest un cycle de longueurpalors"(c) = (1)p1carcest un produit dep1 transpositions a1a2::: ap=a1a2a2a3:::ap1ap

ExempleSoitaun élément d"un groupe(G;?).

L"application':Z!Gdéfinie par'(k) =akest un morphisme de groupes.

En effet

'(n+p) =a?(n+p)=a?n? a?p='(n)? '(p)

1.4.2 Propriétés

PropositionSi':G!G0et :G0!G00sont des morphismes de groupes alors ':G!G00en est un aussi.dém. :

Soitx;y2G. On a

'(x ? y) = ('(x)>'(y)) = ( '(x))?( '(y)) RemarqueLa composée de deux endomorphismes d"un groupe(G;?)est un endomorphisme du groupe(G;?). PropositionSi'est un morphisme d"un groupe(G;?)vers un groupe(H;>)alors '(e) =e0et8x2G,'(x1) ='(x)1

Plus généralement

8x2G;8n2Z;'(xn) ='(x)ndém. :

'(e) ='(e ? e) ='(e)>'(e)et en composant par'(e)1on obtiente0='(e). Aussi'(x)>'(x1) ='(x ? x1) ='(e) =e0donc en composant par'(x)1à gauche on obtient '(x1) ='(x)1http://mp.cpgedupuydelome.fr 18

CHAPITRE 1. GROUPES

Par récurrence, on vérifie aisément

8n2N;'(xn) ='(x)n

puis par passage au symétrique, on étend cette propriété àn2Z.

RemarqueOn peut aussi établir

8x1;:::;xn2G;fn?i=1xi

=n>i=1f(xi)

ThéorèmeL"image directe (resp. réciproque) d"un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-

groupe.dém. :

Soit':G!G0morphisme de groupes.

SoitHun sous-groupe de(G;?). Montrons que

'(H) =f'(x)=x2Hg est un sous-groupe de(G0;>).

D"une parte02'(H)care0='(e)avece2H.

D"autre part, pourx0;y02'(H), on peut écrirex0='(x)ety0='(y)avecx;y2Het alors x

0>y01='(x ? y1)2'(H)

carx ? y12H.

Ainsi'(H)est un sous-groupe de(G0;>).

SoitH0un sous-groupe de(G;>). Montrons que

1(H0) =fx2G='(x)2H0g

est un sous-groupe de(G;?).

D"une parte2'1(H0)car'(e) =e02H0.

D"autre part, pourx;y2'1(H0), on a'(x ? y1) ='(x)>'(y)12H0car'(x);'(y)2H0.

Ainsi'1(H0)est un sous-groupe de(G; ?).

1.4.3 Noyau et image

DéfinitionSi'est un morphisme du groupe(G;?)vers le groupe(G0;>), on introduit- son noyauker'='1(fe0g)qui est un sous-groupe de(G;?);- son image Im'='(G)qui est un sous-groupe de(G0;>).ExempleDéterminons image et noyau du morphisme de':C?!C?défini par'(z) =jzj.

Im'=R+?etker'=Uhttp://mp.cpgedupuydelome.fr 19

1.4. MORPHISME DE GROUPES

ExempleDéterminons image et noyau du morphismeexp :C!C?.

Pourz=a+ib, on aexp(z) = eaeib.

PourZ2C?, on peut écrireZ=rei.

En posantz= lnr+i, on aexp(z) =Z. Ainsi

Im(exp) =C?

Aussi, pourz=a+ib

exp(z) = 1,ea= 1eteib= 1

Par suite

ker(exp) = 2iZ ExempleDéterminons image et noyau dedet :GLn(K)!K?. On a Imdet =K?car avec une matrice diagonale il est facile de construire une matrice inversible de déterminant tel que voulu. Aussi kerdet =fM2GLn(K)=detM= 1g=SLn(K) appelé groupe spécial linéaire d"ordren. ExempleDéterminons image et noyau de":Sn! f1;1gpourn>2.

On a Im"=f1;1get

ker"=An appelé groupe alterné (ou groupe des permutations paires).

ThéorèmeSoit'un morphisme du groupe(G;?)vers le groupe(G0;>).a)'est injectif si, et seulement si,ker'=feg.b)'est surjectif si, et seulement si, Im'=G0.dém. :

a) Si'est injectif,e0possède au plus un antécédent par'. Puisque'(e) =e0, on obtient ker'=feg Inversement, supposonsker'=feg. Soitx;y2Gtels que'(x) ='(y). On a'(x ? y1) ='(x)>'(y)1=e0et doncx ? y12ker'. Ainsix ? y1=epuisx=y. b) C"est une évidence et ne dépend du fait que'soit un morphisme.

1.4.4 Isomorphisme de groupes

DéfinitionOn appelle isomorphisme de groupes tout morphisme de groupes bijectif. Exempleln :R+?!Rest un isomorphisme deR+?;vers(R;+).http://mp.cpgedupuydelome.fr 20

CHAPITRE 1. GROUPES

Proposition

Si':G!G0et :G0!G00sont des isomorphismes de groupes alors ':G!G00en est un aussi.Théorème Si':G!G0est un isomorphisme de groupes alors'1:G0!Gest un isomorphisme de groupes.dém. : dém. : Pour toutx0;y02G0, il existex;y2Gtel que'(x) =x0et'(y) =y0.

On a alors

1(x0>y0) ='1('(x)>'(y)) ='1('(x ? y)) =x ? y='1(x0)? '1(y0)

Ainsi'1est un morphisme de groupes et il est de plus bien connu que'1est bijective. DéfinitionOn appelle automorphisme du groupe(G;?)tout isomorphisme du groupe(G;?)dans lui- même.ExempleSiaest un élément du groupe(G;?)alors l"applicationa:G!Gdéfinie par a(x) =axa1 est un automorphisme de groupe. PropositionL"ensemble Aut(G)des automorphismes d"un groupe(G;?)est un sous-groupe de(SG;).dém. :

Aut(G)est bien une partie deSG.

L"identité est automorphisme de groupe, la composée de deux automorphismes de groupe est un auto-

morphisme de groupe et, enfin, l"application réciproque d"un automorphisme de groupe est encore un

automorphisme de groupe.

1.4.5 Groupes isomorphes

DéfinitionS"il existe un isomorphisme entre deux groupes, ceux-ci sont dits isomorphes. Ceux-ci se comportent alors de façon identique d"un point de vue calculatoire. ExempleLes groupesR+?;et(R;+)sont isomorphes (via le logarithme népérien). La multiplication surR+?et l"addition surRont les mêmes propriétés. En revanche les groupes(R?;)et(R;+)ne sont pas isomorphes. En effet, l"équationx2= 1possède deux solutions dans(R?;)alors que l"équation analogue2x= 0 n"en possède qu"une dans(R;+).http://mp.cpgedupuydelome.fr 21

1.5. GROUPES ENGENDRÉ PAR UN ÉLÉMENT

ExempleComparons les tables d"opérations dans(Z=4Z;+)et(U4;): 0123
0 0123
1 1230
2quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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