[PDF] Résumé de cours: Espaces vectoriels normés

View - Download Résumé de cours: Espaces vectoriels normés

Previous PDF

Next PDF

Mamouni, CPGE RabatMP-MathsR´esum´e de cours Espaces vectoriels norm´esmamouni.myismail@gmail.com myismail.chez.com

CPGE My Youssef, Rabat

R´esum´e de cours:Espaces vectoriels norm´es

18 novembre 2009

Blague du jour

Bientˆot vous serez ingenieur, peut ˆetre inge´enieur informaticien. V´erifier sur la liste ci-

dessous si vous avez le profil, les types d"ing´enieurs en informatique sont : •L"ing´enieur DISQUE DUR : il se rappelle tout, POUR TOUJOURS. •L"ing´enieur CD-ROM : il va toujours plus vite avec le temps. •L"ing´enieur RAM : il oublie tout de vous, d`es le moment o`u vous lui tournez le dos. •L"ing´enieur WINDOWS : Tout le monde sait qu"il ne peut pas faire une chose correcte- ment, mais personne ne peut s"en passer de ses services. •L"ing´enieur ECONOMISEUR D"ECRAN : Il est bon `a rien, mais au moins, il est marrant !

Math´ematicen du jourLipschitz

Rudolph Otto Sigismund Lipschitz (1832-1903) ´etait un math´ematicien allemand. Lipschitz a laiss´e son nom aux applications `a d´eriv´ee born´ee (Applica- tion lipschitzienne). En r´ealit´e, son travail s"´etend sur des domaines aussi vari´es que la th´eorie des nombres, l"analyse, la g´eom´etrie diff´erentielle et la m´ecanique classique, en particulier la r´esolution des´equations du mou- vement dans le formalisme d"Hamilton-Jacobi. Dans tout le r´esum´eK=RouC, etEd´esigne unK-espace vectoriel .

1 G´en´eralit´es.

1.1 Notion de normes.

D´efinition 1.On appelle norme sur toute application

N:E-→R+

x?-→N(x) v´erifiant les propri´et´es suivantes : -N(x) = 0??x= 0E,condition de s´eparabilit´e. -N(λx) =|λ|N(x),?x?E.

Vocabulaire et notations.

- UnK-espace vectorielEest dit un espace vectoriel norm´equand il est muni d"une normeN. - Pour toutx?E,N(x)s"appelle la norme dexet se note en g´en´eral?x?. - On dit alors que(E,?.?)est un espace vectoriel norm´e.

Dans toute la suite, sauf mention du contraire, on consid`ere que(E,?.?)est un espace vectoriel norm´e.

- Pour tousx,y?E,d(x,y) =?x-y?s"appelle la distance entrexety.

Page 1 / 8

Mamouni, CPGE RabatMP-MathsR´esum´e de cours Espaces vectoriels norm´esmamouni.myismail@gmail.com myismail.chez.com - Pour touta?E,r >0,B(a,r) ={x?Etel qued(x,a)< r}s"appelle boule ouverte de centre aet de rayonr. En particulierx?B(a,r)?? ?x-a?< r. - Pour touta?E,r≥0, aet de rayonr. En particulierx?

Normes classiques

1) Pour toutx= (xk)?Kn, on pose :

- Norme de la convergence absolue :?x?1=n k=1|xk|. - Norme de la convergence quadratique :?x?2= n k=1|xk|2.

2) Pour toutf? C([a,b],K), on pose :

- Norme de la convergence absolue :?f?1= ?b a |f(t)|dt. - Norme de la convergence quadratique :?f?2= ?b a |f(t)|2dt. - Norme de la convergence uniforme :?f?∞= sup [0,1]|f(t)| produit cartesien,E=n i=1E i, la norme suivante, dite norme produit :

D´efinition 2.

- Une partieA?Eest dite born´ee dans(E,?.?)si et seulement si

Autrement dit,A?B(0E,R).

- Unef:X-→(E,?.?)est dite born´ee si et seulement sif(X)est born´ee dans(E,?.?) D´efinition 3.Une applicationf: (E,?.?E)-→(F,?.?)Fest ditek-lipschitzienne si et seulement si

Dans ce casf(B(x,R))?B(f(x),kR)

Proposition 1.

- La somme de deux applications lipschitziennes est lipschitzienne. - Le produit d"une application lipschitzienne avec une autre born´ee est lipschitzienne.

1.2 Quelques notions de topologie.

D´efinition 4.Soita?EetU?E.

- On dira queUest un voisinage deasi?r >0tel queB(a,r)?U. - On dira queUest un ouvert deEs"il est voisinage de tous ses points, i.e. ?a?U,?r >0tel queB(a,r)?U - On dira queUest un ferm´e deEsi son compl´ementaireUcest un ouvert deE, i.e, ?a /?U,?r >0tel queB(a,r)∩U=∅

Page 2 / 8

Mamouni, CPGE RabatMP-MathsR´esum´e de cours Espaces vectoriels norm´esmamouni.myismail@gmail.com myismail.chez.com

Proposition 2.

-∅etEsont `a la fois ouverts et ferm´es dansE. - La ru´enion quelconque (mˆeme infinie) d"ouverts est un ouvert. - L"intersection finie d"ouverts est un ouvert. - La ru´enion finie de ferm´es est un ferm´e. - L"intersection quelconque (mˆeme infinie) de ferm´es est un ferm´e.

D´efinition 5.SoitU?Eeta?U.

- On dira queaest un point int´erieur deUquandUest un voisinage dea, on ´ecrit alorsa?°U. -a?°U?? ?r >0tel queB(a,r)?U. -°Us"appelle l"int´erieur deU. Proposition 3.SoitUune partie deE, on a les propri´et´es suivantes : -°Uest un ouvert deU. -°Uest le plus grand ouvert inclu dansU. -Uest un ouvert si et seulement si°U=U. -°°U=U. - SiVest une autre partie deEtelle queU?V, alors°U?°V

D´efinition 6.SoitU?Eeta?E.

- On dira queaest un point adh´erant `aUsi et seulement si ?ε >0,on aB(a,ε)∩U?=∅

On ´ecrit alorsa?

U.

Us"appelle la fronti`ere deU.

Proposition 4.SoitUune partie deE, on a les propri´et´es suivantes :

Uest un ferm´e deE.

Uest le plus petit ferm´e deEcontenantU.

-Uest un ferm´e si et seulement si U=U. U=U. - SiVest une autre partie deEtelle queU?V, alors U?V ?U ?c=° ?Uc. Proposition 5.L"Adh´erence d"une boule ouverte est exactement sa boule ferm´ee associ´ee.

B(a,r) =B(a,r),?a?U,?r >0

D´efinition 7.SoitUune partie deE. On appelle fronti`ere deU, l"ensemble not´e∂U ouFr(U)d´efinie par la relation :

Fr(U) =

U\°U

Plus pr´ecisementa?Fr(U)?? ?ε >0,on aB(a,ε)∩U?=∅etB(a,ε)∩Uc?=∅ Proposition 6.SoitUune partie deE, on a les propri´et´es suivantes : -Fr(U) =

X\Uc. En particulierFr(U)est ferm´ee.

-Fr(U) =Fr(Uc).

U=U?Fr(U).

- Un ensemble est un ferm´e si et seulement s"il contient sa propre fronti`ere. - Un ensemble est un ouvert si et seulement s"il est disjoint de sa propre fronti`ere. - Un ensemble est `a la fois ouvert et ferm´e si et seulement sisa fronti`ere est vide.

Page 3 / 8

Mamouni, CPGE RabatMP-MathsR´esum´e de cours Espaces vectoriels norm´esmamouni.myismail@gmail.com myismail.chez.com D´efinition 8.On dit qu"une partieUdeEest dense dansE, lorsque son adh´erence est `egal `aEtout entier. i.e, U=E. En g´en´eral, on dit qu"une partieUdeEest dense dans une autre partieVdeE, lorsqueV? U. Proposition 7.SoitU,Vdeux parties deE, les propri´et´es suivantes sont ´equivalents : -Udense dansV. -?x?V,?ε0U∩B(x,ε)?=∅. -?x?V,?ε0, U∩B(x,ε)contient une infinit´e d"´el´ements.

1.3 Notion de limite

1.3.1 Suites convergentes

D´efinition 9.Une suite(xn)`a valeur dans un espace vectoriel norm´e(E,?.?)est dite

convergente vers un ´el´ementx?Esilimn→+∞?xn-x?= 0. On ´ecrit alorslimn→+∞xn=x

Dans le cas contraire, o`u(xn)n"admet pas de limite dansE, on dit qu"elle est diver- gente. Proposition 8.Soit(xn)une suite `a valeur dans un espace vectoriel norm´e(E,?.?)et x?E. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : -limn→+∞xn=x. -limn→+∞d(xn,x) = 0. -?ε >0, on a(xn)?B(x,ε), `a partir d"un certain rang. Proposition 9.Toute suite extraite d"une suite convergente, est aussi convergente et converge vers la mˆeme limite. Th´eor`eme 1.Caract´erisations s´equentielles. SoitApartie d"un espace vectoriel norm´e(E,?.?)etx?E, on a les caract´erisation suivante : -x?

A?? ?(xn)?Atel quelimn→+∞xn=x.

-Aest ferm´ee si et seulement si toute suite `a valeurs dansAqui converge, admet sa limite dansA. Proposition 10.Soient(E,?.?)et(F,?.?)deux espace vectoriel norm´e. Une suite (xn,yn)`a valeurs dansE×Fconverge dansF×Fsi et seulement si(xn)converge dansEet(yn)converge dansF, dans ce cas lim n→+∞(xn,yn) = ( limn→+∞xn,limn→+∞yn)

1.3.2 Notion de limite en un point adh´erant.

D´efinition 10.Soient(E,?.?)et(F,?.?)deux espace vectoriel norm´e. SoitXune par- tie deEetf:X-→F. Soita?

Xet??F.

On dit quefadmet?comme limite enasi et seulement silim?x-a?→0?f(x)-??= 0, on

´ecrit alors

limx→af(x) =?

Page 4 / 8

Mamouni, CPGE RabatMP-MathsR´esum´e de cours Espaces vectoriels norm´esmamouni.myismail@gmail.com myismail.chez.com

Proposition 11.Avec les notations de la d´efinition pr´ec´edente, les propri´et´es sui-

vantes sont ´equivalentes : -limx→af(x) =?. -limd(x-a)→0d(f(x)-?) = 0. -?ε >0,?r >0tel que?x?X,?x-a?< r=? ?f(x)-??< ε. -?ε >0,?r >0tel quef(B(x,r)∩X)?B(?,ε). Th´eor`eme 2. Caract´erisation s´equentielle de la limite. Avec les notations de la d´efinition pr´ec´edente, les propri´et´es suivantes sont

´equivalentes :

-limx→af(x) =?. - Pour toute suite(xn)`a valeurs dansEqui converge versa, on alimn→+∞f(xn) =?. D´efinition 11.On d´efinit la notion de limite infinie dans les cas suivants par : - Sif:R-→F, et??F. - On ´ecrit quelimn→+∞f=???limn→+∞?f(t)-??= 0. Plus pr´ecisement :?ε >0,?A >0tel que?t?R, on a :t > A=? ?f(t)-??< ε. - On ´ecrit quelimn→-∞f=???limn→-∞?f(t)-??= 0. Plus pr´ecisement :?ε >0,?A <0tel que?t?R, on a :t < A=? ?f(t)-??< ε. - Sif:E-→R, eta?F. - On ´ecrit quelimx→af= +∞ ??lim?x-a?→0f(x) = +∞. Plus pr´ecisement :?A >0,?ε >0tel que?x?E, on a :?x-a?< ε=?f(x)> A. - On ´ecrit quelimx→af=-∞ ??lim?x-a?→0f(x) =-∞. Plus pr´ecisement :?A <0,?ε >0tel que?x?E, on a :?x-a?< ε=?f(x)< A.

1.3.3 Relations de comparaison.

D´efinition 12.Soit Soient(E,?.?)et(F,?.?)deux espace vectoriel norm´e,f: (E,?.?)-→(F,?.?)eta?E. - On dira quefest domin´ee pargau voisinage deasi et seulement si?M >0,?r >

On ´ecrit alors :f=aO(g).

- On dira quefest n´egilgeable devantgau voisinage deasi et seulement si?ε >

On ´ecrit alors :f=ao(g).

- On dira quefest ´equivalente `agau voisinage deasi et seulement sif-g=oa(g).

On ´ecrit alors :f≂ag.

Proposition 12.Avec les notations de la d´efinition pr´ec´edente, on a les propri´et´es

suivantes : -f=aO(1)??fest born´ee au voisinage dea. -?λ?= 0, on af=aO(g)??λf=aO(g)??f=aO(λg).f=aO(1)??limx→af= 0. -?λ?= 0, on af=ao(g)??λf=ao(g)??f=ao(λg). - la relation≂est une relation d"´equivalence.

Page 5 / 8

Mamouni, CPGE RabatMP-MathsR´esum´e de cours Espaces vectoriels norm´esmamouni.myismail@gmail.com myismail.chez.com

1.4 Continuit´e.

D´efinition 13.Soit Soient(E,?.?)et(F,?.?)deux espace vectoriel norm´e,f: (E,?.?)-→(F,?.?)eta?E. - On dit quefest continue au pointasi et seulement silimx→af(x) =f(a). - On dit quefest continue sur une partieXdeEsi et seulement sifest continue en tout pointx?X.

L"ensemble de telles fonctions se noteC(X,F).

Proposition 13.

- La somme et compos´ee de fonctions continues est continue. - Toute fonction polynomiale surRnest continue. - Toute fonction lipschitzienne est continue. - L"image r´eciproque d"un ouvert deFpar une application continue est un ouvert deE. - L"image r´eciproque d"un ferm´e deFpar une application continue est un ferm´e de E.

Application:Soitf:E-→R,α,β?R, alors :

-{x?Etel quef(x)α},{x?Etel quef(x)< α}et{x?Etel queα < f(x)< β}sont des ouverts. ferm´es. -{x?Etel quef(x) =α}est un ferm´e, alors{x?Etel quef(x)?=α}est un ouvert.

2 Espaces vectoriels de dimension finie.

2.1 Suites de Cauchy

D´efinition 14.On appelle suite de Cauchy dans un espace vectoriel norm´e(E,?.?), toute suite(xn)`a valeurs dansE, v´erifiant la propri´et´e suivante : ?ε >0, existsn0?Ntel que?p,q≥n0on a :?xp-xq?< ε Proposition 14.Soit(xn)une suite `a valeurs dansE, les propri´et´es suivantes sont

´equivalentes :

-(xn)est de Cauchy. -?ε >0, existsn0?Ntel que?n≥n0,?n?Non a :?xn+p-xn?< ε. -limn→+∞ sup p?N?xn+p-xn? = 0.

Th´eor`eme 3.

- Toute suite convergente est de Cauchy. - Toute suite de Cauchy qui admet une suite extraite convergente est aussi conver- gente. D´efinition 15.un espace vectoriel norm´eEest dit complet (ou espace de Banach), si toute suite de Cauchy `a valeurs dansE, converge dansE.

Th´eor`eme 4.Rnest complet.

Th´eor`eme 5.SiEest complet, etf:X-→Elipshcitzienne, alorsfest prolongeable par continuit´e en tout pointa? X.

Page 6 / 8

Mamouni, CPGE RabatMP-MathsR´esum´e de cours Espaces vectoriels norm´esmamouni.myismail@gmail.com myismail.chez.com

2.2 Compacit´e.

Proposition 15.Soit(xn)une suite `a valeurs dansE, eta?E, alorsaest une valeur d"adh´erance de(xn)?? ?(x?(n))suite extraite de(xn)telle quea= limn→+∞x?(n) D´efinition 16.Une partieXd"un espace vectoriel norm´e(E,?.?)est dite compacte, si de toute suite `a valeurs dansX, on peut en extraire une sous suite convergente dansX.

Proposition 16.

- Toute partie ferm´ee d"une partie compacte est compacte. - Le produit d"une famille finie de compacts est un compact. - L"image d"un compact par une application continue est un compact. Th´eor`eme 6.Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass : Toute suite born´ee `avaleurs dans un espace vectoriel norm´ede dimension finie poss`ede une valeur d"adh´erence. Autrement dit, on peut en extraire une sous-suite convergente. Th´eor`eme 7.Dans un espace vectoriel norm´ede dimension finie, une partie est com- pacte si et seulement si elle est ferm´ee et born´ee.

2.3 Connexit´e par arcs

D´efinition 17.Soit(E,?.?)un espace vectoriel norm´eetX?E. - On appelle chemin dansX, toute application continueγ: [0,1]-→X. - On dit queXest connexe par arcs si pour toutx,y?X,?γ: [0,1]-→Xcontinue tel queγ(0) =x, γ(1) =y.

Proposition 17.

- Une partie convexe est connexe par arcs. - Les sous-espace vectoriel deEsont connexes par arcs. - L"image d"un connexe par arcs par une application continueest connexe par arc. Th´eor`eme 8. Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires: Une partie est connexe par arcs dansRsi et seulement si c"est un intervalle. D´efinition 18.Soit(E,?.?)un espace vectoriel norm´eetX?E. La relation d´efinie surE, par : x,y?X,?γ: [0,1]-→Xcontinue tel queγ(0) =x, γ(1) =y est une relation d"´equivalence, dont la classe d"´equivalence s"appellent composantes connexes deX. Pour toutx?X, sa classe d"´equivalence se noteC(x), et s"appelle la composante connexe dex. Proposition 18.Soit(E,?.?)un espace vectoriel norm´eetX?E, on a les propri´et´es suivantes : - Les composantes connexes deXsont des parties connexes deE, maximales pour l"inclusion. - Les composantes connexes d"une partie deRsont intervalles maximales pour l"in- clusion. - Soitx?Xetf:E-→Fcontinue, alorsf(C(x))?C(x), avec ´egalit´e sifest surjective. En particulier, l"image d"une composante connexe d"un ´el´ement par une application continue surjective est la comosante connexe de l"image de cet ´el´ement.

Page 7 / 8

Mamouni, CPGE RabatMP-MathsR´esum´e de cours Espaces vectoriels norm´esmamouni.myismail@gmail.com myismail.chez.com

2.4 Normes ´equivalentes.

D´efinition 19.Deux normesN1etN2sur un espace vectoriel sont dites ´equivalentes si Remarque 1.Dans un espace vectoriel norm´e, les notions suivantes sontintrins`eques et ne d´ependent pas du choix de la norme entre des normes ´equivalentes : - Les notions de voisinage, ouvert, ferm´e, adh´erance, fronti`ere, densit´e. - Les notions de suites ou applications bron´ees. - La notion de suite de Cauchy. - La convergence d"une suite ou l"existence de la limite d"une application en un point adh´erant. - La limite d"une suite convergente et celle d"une application en un point adh´erant. - La continuit´e et la notion d"application lipschitzienne. Th´eor`eme 9.Dans un espace vectoriel norm´ede dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes.

3 Normes subordonn´ees

D´efinition 20.Soit(E,?.?)et(F,?.?)deux espace vectoriel norm´e, l"ensemble des applications lin´eaires continues deEversFse noteLc(E,F), surlequel on d´efinit la norme not´ee|?.?|, appell´ee norme subordonn´ees aux normes `a celles deEetF, d´efinie par la relation suivante : |?f?|= sup x?=0?f(x)? ?x? Proposition 19.Soit(E,?.?)et(F,?.?)deux espace vectoriel norm´e,f? Lc(E,F), on a les propri´et´es suivantes : -|?f?|= sup ?x?=1?f(x)?= sup En particulier, dansLc(E), la norme subordonn´ee est une norme d"alg`ebre. Th´eor`eme 10.En dimension finie (d´epart et arriv´ee), toutes les applications lin´eaires, bilin´eaires, multinlin´eaires sont continues.

Proposition 20.DansMn(R), on a :

|?A?|2=|?tA?|2= |?tAA?|2

Fin`a la prochaine

Page 8 / 8

quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

[PDF] résumé des cours de botanique

[PDF] résumé des cours de français 3as pdf

[PDF] résumé des cours de français 4am pdf

[PDF] résumé des cours de français 5ap

[PDF] resume des cours de medecine pdf

[PDF] resume practice questions

[PDF] resume review questions

[PDF] resume true or false questions

[PDF] resume writing skills test

[PDF] retail link walmart

[PDF] retail market share

[PDF] reteaching activity 8 the judicial branch answers

[PDF] retirement benefit calculator

[PDF] retour en france covid

[PDF] return stack