Matrice et application linéaire
Ce chapitre est l'aboutissement de toutes les notions d'algèbre linéaire vues jusqu'ici : espaces vectoriels dimension
REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES
Théorème (Matrice dans les bases canoniques de l'application linéaire canoniquement associée à une matrice). Soit A ? np(). Si on note A l'application
MATRICES ET APPLICATIONS LINEAIRES
1. Déterminer l'application linéaire f à partir de l'expression analytique g : Soit E un espace vectoriel de base (e1e2
Matrices dapplications linéaires
R 2 La matrice d'une application linéaire dans des bases B de E et B de F est unique. Autrement dit deux applications linéaires f et g de L(E
Applications linéaires matrices
http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf
Représentation matricielle des applications linéaires
18/08/2017 applications linéaires. Table des matières. 1 Matrice d'une application linéaire. 2. 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A ...
Matrices (canoniques) des applications linéaires
La matrice d'une application linéaire de Rq dans Rp a p lignes et q colonnes. C'est pour ça qu'on a toujours mis q avant p. Exo corrigé. Combien de lignes
RÉSUMÉ n°24 : MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES
Tous les espaces vectoriels seront de dimension finie dans ce chapitre. ÉCRITURE MATRICIELLE D'UNE APPLICATION LINÉAIRE. D1 On considère le schéma suivant : (. ).
I Représentation dun application linéaire par une ma- trice
Matrices et applications linéaires. Introduction. Un hommage à René Descartes (17ième siècle) : en fixant un repère (resp. une base).
Matrice dune application linéaire
Matrice d'une application linéaire. Corrections d'Arnaud Bodin. Exercice 1. Soit R2 muni de la base canonique S = (ij). Soit f : R2 ? R2 la projection sur
[PDF] Matrice et application linéaire - Exo7 - Cours de mathématiques
Ce chapitre est l'aboutissement de toutes les notions d'algèbre linéaire vues jusqu'ici : espaces vectoriels dimension applications linéaires matrices
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Applications linéaires matrices déterminants Pascal Lainé 3 Exercice 11 Soit un endomorphisme de ? 3 dont l'image de la base canonique = ( 1
[PDF] Matrices et applications linéaires - Mathieu Mansuy
La matrice d'une application linéaire dépend des bases choisies au départ et `a l'arrivée ! Cas d'un endomorphisme E = F on prend alors la même base au départ
[PDF] REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES
Tout rang d'application linéaire peut donc être calculé comme le rang d'une matrice grâce à l'ALGORITHME DU PIVOT Démonstration D'après le théorème analogue
[PDF] Math S2 PeiP Chapitre 5 Applications linéaires et calcul matriciel
A s'appelle la matrice de l'application linéaire f dans les bases cano- niques et on écrit A = Mat(f) Partant de A on retrouve l'image de la base canonique
[PDF] Chapitre 4 : Matrices et applications linéaires - IRMA Strasbourg
La matrice d'une application linéaire dépend clairement du choix des base B et B ii Une application linéaire est donc entièrement déterminée par l'image des
[PDF] Matrices dapplications linéaires
La matrice de l'application linéaire f relativement aux bases B et B est la matrice dont les colonnes représentent les vecteurs f(??e1 )f(??e2 ) f(??
[PDF] On consid`ere lapplication linéaire : f : R 4 ? R2 (x1x2x3
1) Quelle est la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et R4 ? 2) Déterminer le noyau de f L'application linéaire f est-elle injective ?
[PDF] MATRICES ET APPLICATIONS LINEAIRES - Celene Insa CVL
Connaître le lien entre matrices et applications linéaires Savoir calculer une matrice de passage Savoir utiliser les formules de changement de bases
[PDF] Cours 2 : Applications linéaires introduction des matrices
Schéma récapitulatif Clément Rau Cours 2 : Applications linéaires introduction des matrices Page 35 Application linéaires Vers les matrices Opérations
Comment montrer qu'une matrice est une application linéaire ?
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + ?v) = f(u) + ?f(v) pour tous u, v ? E,? ? K. Propriétés. Si f:E ? F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(?1u1 + ··· + ?nun) = ?1f(u1) + ··· + ?nf(un).Comment définir une application linéaire ?
En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire, et préserve ainsi plus généralement les combinaisons linéaires.Quel est le but principal du calcul matriciel ?
Un intérêt principal des matrices est qu'elles permettent d'écrire commodément les opérations habituelles de l'alg?re linéaire, avec une certaine canonicité.- Une structure matricielle repose sur le principe de dualité au niveau du contrôle et de la gestion. La structure de l'entreprise se fait selon deux niveaux – opérationnel et fonctionnel – et le découpage de l'activité se fait selon deux critères – la fonction et le projet.
Matrice d"une application linéaire
Corrections d"Arnaud Bodin.
Exercice 1SoitR2muni de la base canoniqueB= (~i;~j). Soitf:R2!R2la projection sur l"axe des abscissesR~i
parallèlement àR(~i+~j). Déterminer MatB;B(f), la matrice defdans la base(~i;~j).Même question avec Mat
B0;B(f)oùB0est la base(~i~j;2~i+3~j)deR2. Même question avec MatB0;B0(f).Soient trois vecteurse1;e2;e3formant une base deR3. On notefl"application linéaire définie parf(e1) =e3,
f(e2) =e1+e2+e3etf(e3) =e3. 1. Écrire la matrice Adefdans la base(e1;e2;e3). Déterminer le noyau de cette application. 2. On pose f1=e1e3,f2=e1e2,f3=e1+e2+e3. Calculere1;e2;e3en fonction def1;f2;f3. Les vecteursf1;f2;f3forment-ils une base deR3? 3. Calculer f(f1);f(f2);f(f3)en fonction def1;f2;f3. Écrire la matriceBdefdans la base(f1;f2;f3)et trouver la nature de l"applicationf. 4.On pose P=0
@1 11 01 11 0 11
A . Vérifier quePest inversible et calculerP1. Quelle relation lieA,B,P etP1? Soitfl"endomorphisme deR3dont la matrice par rapport à la base canonique(e1;e2;e3)est A=0 @1511 52015 8
87 61A
Montrer que les vecteurs
e forment une base deR3et calculer la matrice defpar rapport à cette base.SoitA=0
BBBBBB@0:::0 1
... 1 0 0 11 0:::01
C CCCCCA. En utilisant l"application linéaire associée deL(Rn;Rn), calculerAppour p2Z. 1SoientA;Bdeux matrices semblables (i.e. il existePinversible telle queB=P1AP). Montrer que si l"une est
inversible, l"autre aussi; que si l"une est idempotente, l"autre aussi; que si l"une est nilpotente, l"autre aussi;
que siA=lI, alorsA=B.Soitfl"endomorphisme deR2de matriceA=223
5223
dans la base canonique. Soiente1=2 3 et e 2=2 5 1. Montrer que B0= (e1;e2)est une base deR2et déterminer MatB0(f). 2.
Calculer Anpourn2N.
3. Déterminer l"ensemble des suites réelles qui vérifient 8n2N8 :x n+1=2xn+23 yn y n+1=52 xn23 yn.Soitaetbdeux réels etAla matrice
A=0 @a21b3 0 14
5 41 21
A Montrer que rg(A)>2. Pour quelles valeurs deaetba-t-on rg(A) =2 ?SoientA=0
BB@1 2 1
3 4 1 5 6 17 8 11
CCA;B=0
BB@2 21 7
4 31 11
01 243 32 111
C CA. Calculer rg(A)et rg(B). Déterminer une base du noyau et une base de l"image pour chacune des applications linéaires associéesfAetfB. SoitEun espace vectoriel etfune application linéaire deEdans lui-même telle quef2=f. 1.Montrer que E=KerfImf.
2. Supposons que Esoit de dimension finien. Posonsr=dimImf. Montrer qu"il existe une baseB= (e1;:::;en)deEtelle que :f(ei) =eisii6retf(ei) =0 sii>r. Déterminer la matrice defdans cette baseB. Trouver toutes les matrices deM3(R)qui vérifient 21.M2=0 ;
2.M2=M;
3.M2=I.
Soitfl"application deRn[X]dansR[X]définie en posant pour toutP(X)2Rn[X]:f(P(X)) =P(X+1)+P(X1)2P(X):
1. Montrer que fest linéaire et que son image est incluse dansRn[X]. 2. Dans le cas où n=3, donner la matrice defdans la base 1;X;X2;X3. Déterminer ensuite, pour une valeur denquelconque, la matrice defdans la base 1;X;:::;Xn. 3. Déterminer le no yauet l"image de f. Calculer leur dimension respective. 4. Soit Qun élément de l"image def. Montrer qu"il existe un uniqueP2Rn[X]tel que :f(P) =QetP(0) =P0(0) =0.
Pour toute matrice carréeAde dimensionn, on appelle trace deA, et l"on note trA, la somme des éléments
diagonaux deA: trA=nå i=1a i;i 1. Montrer que si A;Bsont deux matrices carrées d"ordren, alors tr(AB) =tr(BA). 2. Montrer que si fest un endomorphisme d"un espace vectorielEde dimensionn,Msa matrice par rapportà une basee,M0sa matrice par rapport à une basee0, alors trM=trM0. On note trfla valeur commune
de ces quantités. 3. Montrer que si gest un autre endomorphisme deE, tr(fggf) =0. Indication pourl"exer cice1 Nfest l"application qui àx y associexy 0 .Indication pourl"exer cice5 NAestidempotentes"il existe unntel queAn=I(la matrice identité).Aestnilpotentes"il existe unntel queAn= (0)(la matrice nulle).Indication pourl"exer cice10 NIl faut trouver les propriétés de l"application linéairefassociée à chacune de ces matrices. Les résultats
s"expriment en explicitant une (ou plusieurs) matriceM0qui est la matrice defdans une base bien choisie
et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la formeM=P1M0P.Plus en détails pour chacun des cas :
1. Im fKerfet discuter suivant la dimension du noyau. 2.Utiliser l"e xercice
9 : K erfImfet il existe une base telle quef(ei) =0 ouf(ei) =ei. 3.Poser N=I+M2
(et doncM=) chercher à quelle conditionM2=I.4Correction del"exer cice1 NL"expression defdans la baseBest la suivantef(x;y)=(xy;0). Autrement dit à un vecteurx
y on associe le vecteur xy 0 . On note quefest bien une application linéaire. Cette expression nous permet de calculer les matrices demandées.Remarque : commeBest la base canonique on notex
y pourx y B qui est le vecteurx~i+y~j. 1. Calcul de Mat (f;B;B). CommeB= (~i;~j), la matrice s"obtient en calculantf(~i)etf(~j): f(~i) =f1 0 =1 0 ~i f(~j) =f0 1 =1 0 =~i doncMat(f;B;B) =11
0 0 2.On g ardela même application linéaire mais la base de départ change (la base d"arri véereste B). Si on
note~u=~i~jet~v=2~i+3~j, on aB0= (~i~j;2~i+3~j) = (~u;~v). On exprimef(~u)etf(~v)dans la base d"arrivéeB. f(~u) =f(~i~j) =f1 1 =2 0 f(~v) =f(2~i+3~j) =f2 3 =5 0 doncMat(f;B0;B) =25
0 0 3.T oujoursa vecle même fon prendB0comme base de départ et d"arrivée, il s"agit donc d"exprimerf(~u)
etf(~v)dans la baseB0= (~u;~v). Nous venons de calculer que f(~u) =f(~i~j) =f1 1 =2 0 =2~i f(~v) =f(2~i+3~j) =f2 3 =5 0 =5~i Mais il nous faut obtenir une expression en fonction de la baseB0. Remarquons que ~u=~i~j ~v=2~i+3~j=)~i=3~u+~v ~j=2~u+~v Donc f(~u) =f(~i~j) =2~i=6~u+2~v=6 2 B0f(~v) =f(2~i+3~j) =5~i=15~u5~v=15
5 B 0 DoncMat(f;B0;B0) =615
25Remarque :
x y B0désigne le vecteurx~u+y~v.Correction del"exer cice2 N5
1.On note la base B=(e1;e2;e3)etX=0
@x y z1 AB=xe1+ye2+ze3. La matriceA=MatB(f)est composée
des vecteurs colonnesf(ei), on sait f(e1) =e3=0 @0 0 11 ABf(e2) =e1+e2+e3=0
@1 1 11 ABf(e3) =e3=0
@0 0 11 A B doncA=0 @01 0 0 1 01 1 11
ALe noyau def(ou celui deA) est l"ensemble deX=0
@x y z1 A tel queAX=0.AX=0()0
@01 0 0 1 01 1 11
A 0 @x y z1 A =0 @0 0 01 A ()8 :y=0 y=0 x+y+z=0DoncKerf=0
@x 0 x1 AB2R3jx2R=Vect0
@1 0 11 AB=Vect(e1e3). Lenoyauestdoncdedimension
1. 2. On applique le pi votde Gauss comme si c"était un système linéaire : 8< :e1e3=f1L1e
1e2=f2L2e1+e2+e3=f3L3()8
:e1e3=f1
e2+e3=f2f1L2L1e2=f3+f1L3+L1
On en déduit
8< :e1=f1+f2+f3
e2=f1+f3
e3=f2+f3
Donc tous les vecteurs de la baseB= (e1;e2;e3)s"expriment en fonction de(f1;f2;f3), ainsi la famille(f1;f2;f3)est génératrice. Comme elle a exactement 3 éléments dans l"espace vectorielR3de dimension
3 alorsB0= (f1;f2;f3)est une base.
3. f(f1) =f(e1e3) =f(e1)f(e3) =e3e3=0 f(f2) =f(e1e2) =f(e1)f(e2) =e3(e1+e2+e3) =e1e2=f2 f(f3) =f(e1+e2+e3) =f(e1)+f(e2)+f(e3) =e1+e2+e3=f3Donc, dans la baseB0= (f1;f2;f3), nous avons
f(f1) =0=0 @0 0 01 A B0f(f2) =f2=0
@0 1 01 A B0f(f3) =f3=0
@0 0 11 A B 0 6Donc la matrice defdans la baseB0est
B=0 @0 0 0 0 1 00 0 11
Afest la projection sur Vect(f2;f3)parallèlement à Vect(f1)(autrement dit c"est la projection sur le plan
d"équation(x0=0), parallèlement à l"axe desx0, ceci dans la baseB0).4.Pest la matrice de passage deBversB0. En effet la matrice de passage contient -en colonnes- les
coordonnées des vecteurs de la nouvelle baseB0exprimés dans l"ancienne baseB. Si un vecteur a pour coordonnéesXdans la baseBetX0dans la baseB0alorsPX0=X(attention à l"ordre). Et siAest la matrice defdans la baseBetBest la matrice defdans la baseB0alorsB=P1AP
(Une matrice de passage entre deux bases est inversible.)Ici on calcule l"inverse deP:
P 1=0 @1 1 0 1 0 11 1 11
A doncB=P1AP=0 @0 0 0 0 1 00 0 11
AOn retrouve donc bien les mêmes résultats que précédemment.Correction del"exer cice3 NNotons l"ancienne baseB= (e1;e2;e3)et ce qui sera la nouvelle baseB0= (e01;e02;e03). SoitPla matrice
de passage qui contient -en colonnes- les coordonnées des vecteurs de la nouvelle baseB0exprimés dans
l"ancienne baseB P=0 @2 3 1 3 4 21 1 21
AOn vérifie quePest inversible (on va même calculer son inverse) doncB0est bien une base. De plus
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