[PDF] Espace vectoriel réel 1.5.2 Exemples importants

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Espace vectoriel réel

Table des matières

1 Structure d"espace vectoriel réel 2

1.1 Structure sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Espaces vectoriels de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5.2 Exemples importants de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Familles d"éléments d"un espace vectoriel 6

2.1 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3 Dimension d"un espace vectoriel 10

3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.2 Familles libres en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.3 Familles génératrices en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.4 Bases en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.5 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.6 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.6.1 Rang d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.6.2 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.6.3 Rang de la matrice transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.6.4 Inversibilité d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 1

1 Structure d"espace vectoriel réel

1.1 Structure sur un ensembleOn appelle structure sur un ensemble une série de lois de composition (addition, produit, etc...) et de

propriétés vérifiées par ces lois. Il y a deux intérêts à structurer un ensemble :

•Dégager des propriétés obtenues à l"aide de cette structure. •Généraliser ces propriétés à tout autre ensemble qui aura la même structure.

1.2 DéfinitionDéfinition 1.1 :Espace vectoriel réel

SoitEun ensemblenon videmuni d"une loi d"addition interne, notée+, et d"une loi de produit externe

par un réel, notée·. On dit que(E,+,·)est un espace vectoriel réel(ouR-espace vectoriel) si : •Propriétés de la loi+:

Comm utativité: ?x,y?E,x+y=y+x.

Asso ciativité: ?x,y,z?E,(x+y) +z=x+ (y+z).

Élémen tneutre : ?0E?Etel que?x?E,x+ 0E= 0E+x=x. Cet élément, appelé élément nul(ou vecteur nul), est forcément unique. Élémen tsymétrique : ?x?E, il existe un unique élémenty?Etel quex+y= 0E. Cet élément, forcément unique, est noté-x. •Propriétés de la loi·: Asso ciativité: ?x?Eet?λ,μ?R,λ·(μ·x) = (λμ)·x=μ·(λ·x).

Élémen tneutre : ?x?E,1·x=x.

•Distributivité de la loi·sur la loi+: -?x,y?E,?λ?R,λ·(x+y) =λ·x+λ·y. Les éléments deRsont appelés scalaireset les éléments deEsont appelés vecteurs.

Remarque 1.2 :Règles de calcul dans un espace vectoriel•? x?E,0·x= 0Eet?λ?R, λ·0E= 0E.

? λ?R,?x?E, λ·x= 0E??λ= 0oux= 0E.1.3 Espaces vectoriels de référence

On va donner un certain nombre d"exemples d"espaces vectoriels. Pour chacun de ces espaces vectoriels,

on va détailler l"addition et le produit externe et donner l"élément nul.

L"ensembleRn=Mn,1(R)ouM1,n(R)

Un élémentxdeRns"écrit (on choisit de les écrire en colonnes ici, mais on peut également les écrire en

lignes) x=( ((((((x 1 x 2 x 3... x n) ))))))avec?i?[[1,n]], xi?R 2 L"addition et le produit externe sont réalisés coordonnée à coordonnée : ((((((x 1 x 2 x 3... x n) ((((((y 1 y 2 y 3... y n) ((((((x 1+y1 x 2+y2 x

3+y3...

x n+yn) ))))))etλ·( ((((((x 1 x 2 x 3... x n) ((((((λx 1 λx 2 λx 3... λx n)

L"élément nul deRnest le vecteur nul

0 n,1=( ((((((0 0 0 0) L"ensembleRndes vecteurs àncoordonnées réelles est unR-espace vectoriel.

L"ensembleMn,p(R)des matrices

A=( ((((a

1,1a1,2... a1,p

a

2,1a2,2... a2,p.........

a n,1an,2... an,p) ))))avec?i?[[1,n]],?j?[[1,p]], ai,j?R L"addition et le produit externe sont réalisés coordonnée à coordonnée : ((((a

1,1a1,2... a1,p

a

2,1a2,2... a2,p.........

a n,1an,2... an,p) ((((b

1,1b1,2... b1,p

b

2,1b2,2... b2,p.........

b n,1bn,2... bn,p) ((((a

1,1+b1,1a1,2+b1,2... a1,p+b1,p

a

2,1+b2,1a2,2+b2,2... a2,p+b2,p.........

a n,1+bn,1an,2+bn,2... an,p+bn,p) etλ·( ((((a

1,1a1,2... a1,p

a

2,1a2,2... a2,p.........

a n,1an,2... an,p) ((((λa

1,1λa1,2... λa1,p

λa

2,1λa2,2... λa2,p.........

λa n,1λan,2... λan,p)

L"élément nul deMn,p(R)est la matrice nulle

0 n,p=( ((((0 0...0

0 0...0

0 0...0)

L"ensembleMn,p(R)des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients réels est unR-espace vectoriel.

L"ensembleA(D,R)des applications

SoitD?R, un élémentfdeA(D,R)s"écrit :

f:D→R x?→f(x) L"addition et le produit externe sont définis de la manière suivante : ?x?D,(f+g)(x) =f(x) +g(x)et(λ·f)(x) =λf(x). 3 L"élément nul deA(D,R)est l"application nullefvérifiant ?x?D, f(x) = 0. L"ensembleA(D,R)des applications deDdansRest unR-espace vectoriel.

L"ensembleR[X]des polynômes

Un élémentPdeR[X]s"écrit aveca0,a1,...,andes réels

P=a0+a1X+···+anXn=n?

i=0a

iXi.En prenantPetQde degré inférieur ou égal àr, l"addition et le produit externe sont ceux définis classiquement

sur les fonctions :

P+Q=r?

i=0(ai+bi)Xietλ·P=r? i=0λa iXi,avecP=r? i=0a iXietQ=r? i=0b iXi. L"élément nul deR[X]est le polynôme nulPvérifiant P= 0. L"ensembleR[X]des polynômes à coefficients réels est unR-espace vectoriel.

L"ensembleRNdes suites

Un élémentudeRNs"écrit

u= (un)n?N. L"addition et le produit externe sont également ceux définis classiquement sur les fonctions : ?n?N,(u+v)n=un+vnet(λ·u)n=λun. L"élément nul deRNest la suite nulleuvérifiant ?n?N, un= 0. L"ensembleRNdes suites réelles est unR-espace vectoriel.Remarque 1.3

On remarque donc que, selon le contexte, les éléments d"un espace vectoriel peuvent être des matrices, des

n-uplets de réels, des polynômes, des fonctions, des suites... L"étude générale des espaces vectoriels permet

de dégager des propriétés communes à tous ces ensembles structurés.1.4 Combinaisons linéaires

Définition 1.4 :Combinaison linéaire

Un vecteurxdeEest ditcombinaison linéairede la famille(f1,...,fp), s"il existepéléments

λ1,λ2,...,λp?Rtels que

x=λ1f1+···+λpfp=p? i=1λ ifiMéthode 1.5 :Comment montrer qu"un vecteur est combinaison linéaire d"une famille?

Pour montrer qu"un vecteurxdeEest combinaison linéaire d"une famille(f1,...,fp), on résout l"équation

vectorielle (amenant à un système d"équation)x=λ1f1+···+λpfp, d"inconnuesλ1,...,λp.4

Méthode 1.5 :Comment montrer qu"un vecteur est combinaison linéaire d"une famille?Pour montrer qu"un vecteurxdeEest combinaison linéaire d"une famille(f1,...,fp), on résout l"équation

vectorielle (amenant à un système d"équation)x=λ1f1+···+λpfp, d"inconnuesλ1,...,λp.Exemple 1.DansR3, le vecteurx=(

(2 5 9) )est-il combinaison linéaire de la famille( (1 1 1) (0 1 1) (0 0 1)

Exemple 2.

DansM2(R), la matriceA=

?2 1 -1 1? est-elle combinaison linéaire de la famille ??1 0 0 1? ,?1 1 1 1??

Exemple 3.DansR[X], le polynômeP=X3+7est-il combinaison linéaire de la famille?(X+ 2)3,(X+ 1)2,1??

1.5 Sous-espaces vectoriels

1.5.1 DéfinitionDéfinition 1.6 :Sous-espace vectorielSoit(E,+,·)unR-espace vectoriel etF?Eune partie non-vide deE.

On dit queFest un sous-espace vectorieldeE, si :

? x,y?F,x+y?F.(stabilité par addition)

? x?F,?λ?R,λ·x?F.(stabilité par multiplication externe)Remarque 1.7 :Existence d"au moins deux sous-espaces vectorielsUn espace vectorielEa toujours au moins deux sous-espaces vectoriels qui sontElui-même et{0E}.Propriété 1.8 :Un sous-espace vectoriel est un espace vectorielSoient(E,+,·)unR-espace vectoriel etFun sous-espace vectoriel deE.

L"ensembleFest lui-même unR-espace vectoriel pour les lois+et·.

La caractérisation d"un sous-espace vectoriel est beaucoup plus simple que celle d"un espace vectoriel.

C"est en utilisant cette propriété, qu"on montrera qu"un ensemble est un espace vectoriel, en montrant que

c"est un sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel de référence.Proposition 1.9 :Caractérisation d"un sous-espace vectoriel

SoitFunR-espace vectoriel, on dit qu"un ensembleFest unsous-espace vectorieldeEsi et seulement si : •F?E •0E?F(ouF?=?) ? x,y?F,?λ,μ?R,λx+μy?F.(stabilité par combinaison linéaire)

On note que l"on peut remplacer la condition de stabilité par addition et par multiplication par un scalaire

par la stabilité par combinaison linéaire.Exemple 4. SoitR[X]leR-espace vectoriel des polynômes. Soienta?RetEal"ensemble des polynômes qui s"annulent ena. Montrer queEaest un sous-espace vectoriel deR[X].

Exemple 5.

SoitRNleR-espace vectoriel des suites. Montrer que l"ensemble des suites convergentesScest un sous-espace vectoriel deRN. 5

1.5.2 Exemples importants de sous-espaces vectoriels

Les ensemblesRn[X]Soitnun entier naturel, l"ensembleRn[X]des polynômes de degré inférieur ou égal ànest un sous-espace

vectoriel deR[X]. L"ensemble des solutions d"un système d"équations linéaires homogènes

L"ensemble des solutions d"un système d"équations linéaires homogènes est un sous-espace vectoriel deRp.

(S)? ?????a

1,1x1+a1,2x2+···+a1,pxp= 0,(E1)

a

2,1x1+a2,2x2+···+a2,pxp= 0,(E2)

a n,1x1+an,2x2+···+an,pxp= 0,(Ep)

Démonstration.

•Les solutions du systèmeSsont dansRp. •Le vecteur nul est solution du systèmeS. •SoientXetX?deux solutions deSetλ,μ?R, nous avonsλX+μX?solution deS. L"ensemble des solutions du systèmeSest donc stable par combinaison linéaire.

?→L"ensemble des solutions du systèmeSest un sous-espace vectoriel deRp.2 Familles d"éléments d"un espace vectoriel

2.1 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteursProposition 2.1 :Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs

Soit(f1,...,fp)une famille finie de vecteurs d"un espace vectorielE. L"ensemble des combinaisons linéaires de la famille(f1,...,fp)se note Vect(f1,...,fp) ={λ1f1+λ2f2+···+λpfp|(λ1,...,λp)?Rp} Vect

(f1,...,fp)est un sous-espace vectoriel deE, c"est lesous-espace vectoriel engendré par(f1,...,fp).Démonstration.Nous avons

•Par définition deVect(f1,...,fp), c"est un sous-ensemble deE. •Comme0E= 0f1+ 0f2+···+ 0fp, alors0E?Vect(f1,...,fp). u=p? i=1a ifietv=p? i=1b ifi.

Soientλ,μ?R, alors nous avons

λu+μv=λp?

i=1a ifi+μp? i=1b ifi=p? i=1(λai+μbi)fi. Ainsiλu+μv?Vect(f1,...,fp).Vect(f1,...,fp)est donc stable par combinaison linéaire.

?→Vect(f1,...,fp)est un sous-espace vectoriel deE.Exemple 6.Quel est l"ensembleVect(1,X,X2)?Méthode 2.2 :Espace vectoriel engendré par une famille

Une manière efficace de montrer qu"un ensemble est un espace vectoriel est de montrer qu"il est un

sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.6

Méthode 2.2 :Espace vectoriel engendré par une familleUne manière efficace de montrer qu"un ensemble est un espace vectoriel est de montrer qu"il est un

sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.Exemple 7.Montrer que l"ensembleF=??λ

1+λ2λ2

1λ1-λ2?

?????(λ1,λ2)?R2? est unR-espace vectoriel.

Exemple 8.

Montrer que l"ensembleG=

1?X2+ 1?+λ2?X2-1?+λ3??(λ1,λ2,λ3)?R3?

est unR- espace vectoriel.

2.2 Familles génératricesDéfinition 2.3 :Famille génératriceUne famille(f1,...,fp)de vecteurs deEest dite génératricesi :

Vect(f1,...,fp) =E.

Cela revient à dire que tout vecteur deEest une combinaison linéaire de la famille(f1,...,fp), ou encore :

?x?E,?(λ1,...,λp)?Rp, x=λ1f1+λ2f2+···+λpfp=p? i=1λ ifi.Exemple 9.Déterminer une famille génératrice deF=? (x y z) )?R3? ??????3x-y+ 4z= 0?

Exemple 10.

Poura?R, on a vu que l"ensemble des polynômes s"annulant enaétait un espace vectoriel.

L"ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 s"annulant enaest également un espace vectoriel.

Déterminer une famille génératrice deG={P?R2[X]|P(1) = 0}l"espace vectoriel des polynômes de degré

inférieur ou égal à2s"annulant en1.Proposition 2.4 :Invariance de l"espace engendré (1)Les opérations élémentairessur la famille(f1,f2,...,fp)sont

•la multiplication d"un des vecteurs par un scalaire non nul, •l"ajout d"un multiple d"un des vecteurs de la famille à un autre, •l"échange de deux vecteurs.

La famille obtenue après une ou plusieurs opérations de ce type engendre encore le même espace.Exemple 11.SimplifierVect(

(1 1 2) (2 1 -1) (-4 -1 7) 7 Proposition 2.5 :Invariance de l"espace engendré (2)Soit(f1,...,fp)une famille telle quefp= p-1? i=1λ ifi. (c"est-à-dire quefp?Vect(f1,...,fp-1)est une combinaison linéaire desp-1autres vecteurs). Alors Vect(f1,...,fp-1,fp) = Vect(f1,...,fp-1).Exemple 12.

SimplifierVect(

(1 1 2) (2 1 -1) (-4 -1 7) )en observant qu"un des vecteurs de cette famille est combinaison linéaire des autres.Remarque 2.6

Un espace vectoriel admettant une famille génératrice admet en fait une infinité de familles génératrices,

certaines étant plus simples que d"autres. Les deux propositions précédentes sont utiles pour simplifier

une famille génératrice, ce qui permettra en particulier de déterminer son rang.2.3 Familles libres

Définition 2.7 :Famille libre, famille liéeUne famille(f1,...,fp)de vecteurs deEest dite libresi pour tout(λ1,...,λp)?Rptel que

p? i=1λ ifi= 0E? ?λ1=···=λp= 0.

Une famille qui n"est pas libre est dite liée.

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