[PDF] Chapitre 4 : La loi normale La valeur recherchée est

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La loi normale

Séance 7

S.Herrmann (UBFC)Loi normale1 / 17

Rappel :la loi normale correspond à une

loi de probabilité qui joue un rôle essentiel en statistique.Une fonction de référence

Pour une variable aléatoireZ N(0;1),

on définit la fonction de répartition

F(x) =P[Zx];

l"aire sous la densitéfqui se situe à

gauche dex(aire de couleur bleue).xxF(x)0f(x)Les principes de calcul des probabilités pour la loi normale sont:

six0 alors la valeurF(x)estlue dans la table du formulaire.six<0 alorsF(x) =1F(jxj)et la valeurF(jxj)est lue dans la table du

formulaire.une difficulté cependant : seulesdeux décimales app araissentdans la table !

S.Herrmann (UBFC)Loi normale2 / 17

Exemple

Une variable aléatoireZ N(0;1), quelle est la probabilité pour queZ0;89 ?On chercheP[Z0;89] =F(0;89) =0;813

Utilisation de la table du formulaire pourF(z)avecz0:S.Herrmann (UBFC)Loi normale3 / 17

Exemple

Une variable aléatoireZ N(0;1), quelle est la probabilité pour queZ0;89 ?On chercheP[Z0;89] =F(0;89)

Utilisation de la table du formulaire pourF(z)avecz0:

F(z) =F(0;89)Les deux premiers chiffres0 ;8déterminent la ligne à considérer dans la table et

la seconde décimale:::9détermine la colonne à considérer. z::: :::89 . ..0;8::: ::: :::0;81330;91;0F(0;89) =0;8133S.Herrmann (UBFC)Loi normale4 / 17

Exemple

Une variable aléatoireZ N(0;1), quelle est la probabilité pour queZ 2 ?On chercheP[Z 2] =F(2)=1F(2)

Utilisation de la table du formulaire pourF(z)avecz0:

F(z) =F(2;00)Les deux premiers chiffres2 ;0déterminent la ligne à considérer dans la table et

la seconde décimale:::0détermine la colonne à considérer. z0 1::: :::. ..2;00;97722;12;2F(2) =1F(2) =10;97720;0228:S.Herrmann (UBFC)Loi normale5 / 17

Exemple

Une variable aléatoireZ N(0;1), quelle est la probabilité pour que

2Z0;89 ?On calcule

P[2Z0;89]

=F(0;89)F(2) =F(0;89)(1F(2))=F(0;89) +F(2)1 =0;8133+0;97721 =0;7905

IciF(j 2j) =F(2).x20;89P[2Z0;89]4

Poura>0, on peut en déduire aussi que

P[aZa] =F(a)F(a) =F(a)(1F(a)) =2F(a)1:S.Herrmann (UBFC)Loi normale6 / 17

Exemple

Une variableZ N(0;1), quelle est la probabilité pour queZ1;516 ?P[Z1;516] =F(1;516):pas dans la tablede la loi normale centrée réduite !

z0 1 2::: ::: :::. .....1;5:::0;93450;9357::: ::: :::

1;61;7On peut utiliser une règle de proportionalité (interpolation linéaire) mais on

préfèrera simplement noter que

0;9345F(1;516)0;9357:

Pour avoir un résultat plus précis, il suffit d"utiliser la calculatrice pour obtenir la valeur deF(1;516).S.Herrmann (UBFC)Loi normale7 / 17

Exemple (Utilisation de la

calculatrice)Une variableZ N(0;1), quelle est la probabilité pour que 0;1Z1;516 ?P[0;1Z1;516] =F(1;516)F(0;1)

0;3954Calc. Casio: Dans MENU, choisir

STAT, puis dans DIST, choisir

NORMpuis Ncd.

Calc. TI: Taper DISTRIB(2nde

puisvar), choisir le deuxième item : normalFrépou normalcdf(cdf : cumulative distribution function).D.C. Normale

Data : Variable

Lower : 0.1

Upper : 1.516

: 1 : 0

Save Res : None

ExécuterD.C. Normale

P : 0.39541248

z:Low : 0.1 z:Up : 1.516normalcdf(0.1,1.516) .39541248

S.Herrmann (UBFC)Loi normale8 / 17

Exemple (Utilisation de la calculatrice)

Une variableZ N(0;1), quelle est la probabilité pour queZ1;516 ?Pour calculerP[Z1;516] =F(1;516), on transforme d"abord ce calcul en

P[Z1;516]P[aZ1;516] =F(1;516)F(a)

en prenantaassez petit pour que la valeur deF(a)soit très petite. Il suffit de prendrea=100 ou mêmea=10. On obtient alors des résultats avec une précision à 10

9près...On tape par exemple sur la TI :normalFrép(-10,1.516)ou

normalcdf(-10,1.516)

S.Herrmann (UBFC)Loi normale9 / 17

Lecture inverse de la table

x=?F(x) =0;8540

On cherche les deux valeurs

les plus proches de 0;854 dans la table (une plus p etite que

0;854 et l"autreplus grande ).Problème 1:Trouverxqui vérifie

P[Zx] =F(x) =0;854

On cherche dans la table de la loi normale

centrée réduite: z:::5 6:::. .....1;0:::0;85310;8554:::

1;11;2On remarque que 1;05x1;06.Pour être précis, il faut faire appel à la calculatrice.

S.Herrmann (UBFC)Loi normale10 / 17

Lecture inverse de la table

x=?Onne trouve pas la va leurde xdirectement dans la table de la loi normale car

F(x)<0;5

ainsixestnégatif.Problème 2:Trouverxqui vérifie P[Zx] =F(x) =0;146Commex<0, on utilise la symétrie de la loi normale:F(x) =1F(jxj):On cherchejxj dans la table avec

F(jxj) =10;146=0;854

z:::5 6:::. .....1;0:::0;85310;8554:::

1;1Commexest négatif, on obtient:1;05 jxj 1;061;06x 1;05S.Herrmann (UBFC)Loi normale11 / 17

Lecture inverse de la table

x=?5%Zfluctuation journalière de la tension artérielle systolique d"un individu, on supposeZ N(0;1).Trouver à partir de quel niveau excep- tionnel d"augmentation de la tension artérielle, le patient doit absolument venir consulter.Problème 3:Trouverxqui vérifie P[Z>x] =5%Il suffit de l"exprimer à l"aide deF: on sait par symétrie qu"on cherchex avecF(x) =95%. z:::4 5:::. .....1;6:::0;94950;9505:::

1;7(exceptionnel: se voit dans moins de 5%des cas ici).La valeur recherchée est juste au milieu des deux valeurs de la table :x1;645S.Herrmann (UBFC)Loi normale12 / 17

Lecture inverse de la table : utilisation de la calculatrice Exemple : calculerxpour queF(x) =95% =0;95.Calculatrice Casio:

Dans MENU, choisir STAT,

puis dans DIST, choisir

NORMpuisInvN .Normal inverse

Data : Variable

Tail : Left

Area : 0.95

: 1 : 0

Save Res : None

ExécuterinvNorm(0.95,0,1)

1.64485363Calculatrice TI:

Taper DISTRIB(2ndepuisvar),

choisir l"item : invNo rm.

S.Herrmann (UBFC)Loi normale13 / 17

Loi normale générale

Dans de nombreuses situations, les variables continues ne suivent pas la loi normale centrée réduiteN(0;1)mais une loi normale générale dépendant de deux paramètreset.Une loi de référenceN(;)X N(;)correspond à une variable de densité f(x) =1p22exp (x)222 :Même forme de courbe mais décalée.x0 La hauteur de la courbe et la largeur de la cloche est modifiée (cela dépend du paramètre) ainsi que la localisation du sommet de la cloche (enx=au lieu dex=0).S.Herrmann (UBFC)Loi normale14 / 17 Lien entreN(;)etN(0;1)Etant donnée une variable aléatoireXet deux nombreset. On construit alors une nouvelle variable: Z=X Alors

X N(;)est équivalent àZ N(0;1):Rappel: on utilisera toujours la lettreZpour désigner une variable aléatoire de

loi normalecentrée et réduite.En particulier: siX N(;),lamo yennede la va riableXestm(X) =l"écart-typede Xests(X) =.Application:pour calculerP(aXb), il suffit de transformer la variableX

en une variableZet utiliser les différents calculs effectués jusque là.S.Herrmann (UBFC)Loi normale15 / 17

Exemple :on dispose d"une variable aléatoireX N(3;4). Quelle est la probabilité que 1X10 ?L"idée est de remplacerX N(3;4)parZ=X34 qui suit une loi normale centrée réduite de fonction de répartitionF.

P[1X10] =Ph134

X34 1034
i =Ph134 Z1034 i =P[0;5Z1;75] =F(1;75)F(0;5) =F(1;75)1+F(0;5)

0;95991+0;69150;6514X110P[1X10]Z0:51:75F(1;75)F(0;5)S.Herrmann (UBFC)Loi normale16 / 17

Exemple de problème inverse:on dispose d"une variable aléatoire X N(3;7). Quelle est la valeur du premier quartileQ1?

Définition :le premierqua rtileQ1est défini parP[XQ1] =0;25le deuxième quartileQ2correspond à la médiane :P[XQ2] =0;50le troisième quartileQ3correspond àP[XQ3] =0;75.RemplacerX N(3;7)parZ=X37

qui suit une loi normale centrée réduite.0;25=P[XQ1] =PhX37 Q137 i =Ph ZQ137 i =FQ137 :On remarque que Q137 <0 et doncF Q 137
=1F Q137

1on chercheztel queF(z) =0;75. On trouve (calculatrice)

z0;6752on obtientQ1à l"aide de l"équationQ137 =z0;675.Ainsi Q

1370;675 1;725S.Herrmann (UBFC)Loi normale17 / 17

Effectifs théoriques pour une loi normale

PourXune variable aléatoire de loi connue,...on peut considérernobservations de la variable (échantillon de taillen), les

répartir dans différentes classes (variable continue) et comparer les effectifs observés avecles effectifs théoriquesde chaque classe (procédure particulière

pour la première et la dernière classe).Exemple:leQI par rangd"un individu ouQI standardest une variable

aléatoire qui suit une loi normale de moyenne 100 et d"écart-type 15.On considère un échantillon de 200 individus et on observe qu"il est possible de

les répartir dans les classesclasse[45;85[[85;100[[100;115[[115;145[total effectifs observés29708021200 effectifs théoriques????200 En théorie, combien devrait on avoir d"individus dans la première classe ? la seconde ? etc.

S.Herrmann (UBFC)Loi normale18 / 17

1comme la loi de la variable peut prendre toutes les valeurs réelles, il faut

faire unepremière transformation des classes:classe[45;85[[85;100[[100;115[[115;145[total effectifs observés29708021200 effectifs théoriques????200 classe<85[85;100[[100;115[115total effectifs observés29708021200 effectifs théoriques????200 Cette transformation ne change pas du tout les effectifs observés.

2Pour chaque classe, on calcule la probabilité queXsoit dans la classe et on

multiplie par la taille de l"échantillonn=200 :effectif théo rique.

P[X<85] =Ph

Z<8510015

i =P[Z<1]0;1587 On en déduit l"effectif théorique de la première classe : effectif th. 0;158720031;7Les effectifs théoriques ne sont pas des nombres entiers !

S.Herrmann (UBFC)Loi normale19 / 17

1comme la loi de la variable peut prendre toutes les valeurs réelles, il faut

faire unepremière transformation des classes:classe[45;85[[85;100[[100;115[[115;145[total effectifs observés29708021200 effectifs théoriques????200 classe<85[85;100[[100;115[115total effectifs observés29708021200 effectifs théoriques31,768,368,331,7200 Cette transformation ne change pas du tout les effectifs observés.

2Pour chaque classe, on calcule la probabilité queXsoit dans la classe et on

multiplie par la taille de l"échantillonn=200 :effectif théo rique.

P[X<85] =Ph

Z<8510015

i =P[Z<1]0;1587 On en déduit l"effectif théorique de la première classe : effectif th. 0;158720031;7Les effectifs théoriques ne sont pas des nombres entiers !

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