TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE
Lecture de la table: Pour z=1.24 (intersection de la ligne 1.2 et de la colonne 0.04) on a la proportion P(Z < 1
Annexe 3 : La lecture dune table statistique
L'objectif de ce document est d'indiquer comment lire les valeurs La table z donne tous les points le long de la courbe comme on le voit dans la Figure ...
Chapitre 4 : La loi normale
La valeur recherchée est juste au milieu des deux valeurs de la table : x ? 1 645. S.Herrmann (UBFC). Loi normale. 12 / 17. Page 13. Lecture inverse de la
Table de la loi normale
En utilisant le petit tableau situé au dessous de la grande table on note que ce 99e centile est 2.326. Autrement dit
TABLES STATISTIQUES Loi binomiale Loi normale Loi de Student
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. (probabilité F(z) de trouver une valeur inférieure `a z) z. 000.
Chapitre 5 : Estimation
Il existe une unique valeur positive z? tel que P[?z? ? Z ? z?] = 1 ? ?. Lecture inverse (table) : prendre z? avec F(z?) = 1 ? ?/2.
Mieux comprendre les scores z pour bien les utiliser
table indique que la probabilité d'avoir un score supérieur à z = 0 est 0 Il faut procéder à des études poussées pour décider au cas par cas comment un.
La loi normale
aire grisée = P(X ? z) z. ? courbe symétrique par rapport `a µ. ? forme de cloche. ? l'aire grisée représente la On cherche 156 dans la table :.
7 Lois de probabilité
peut alors évaluer Pr (Z > 2) à l'aide de la table de la loi normale : veut pour déduire comment obtenir le point critique. Exercices.
Chapitre 3 Méthode du simplexe
La dernière ligne du tableau ˜cx ? z = ?2 fournie toujours la valeur de z = ˜cx + 2. Même si les coefficients de c ont été modifiés le principe de base
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Chapitre 3
La loi normale
Universite de Paris Ouest2012{2013
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Sommaire
1Le mo deled ela lo in ormale
Un exemple
Proprietes de la loi normale
2C alculsp ratiques
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple pour commencer : Test de memoire
Etude de lacapacite de memoired'adultes atteints d'une maladie neurologique. Chaque individu lit 30 mots et doit ensuite en reciter le plus possible. IPopulationP=fpatients atteints de la maladieg
IVariablequantitativeX= "nombre de mots retenus"
I2 parametres;.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
La courbe "en cloche"
En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
La courbe "en cloche"
En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Premieres proprietes de la loi normale
SiXsuit cette distribution "modele", on lui associe une courbe : I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Premieres proprietes de la loi normale
I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.On la noteN(;).Cas particulier
= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale
N(;), on ecrit
X N(;):Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.On la noteN(;).Cas particulier
= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale
N(;), on ecrit
X N(;):Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Pour les plus matheux : l'equation de la courbe
Pour la tracer a la calculatrice/ordinateur,
y=1 p2exp (x)222Cette formule n'est pas utile pour ce cours!
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Exemple : QI
Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Exemple : QI
Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normaleN(;) : a retenir
I distribution "modele"pour desvariables quantitatives continues I moyenne, ecart-type I allure de la courbe : I aires = proportions cumuleesChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Sommaire
1Le mo deled ela lo in ormale
2C alculsp ratiques
Loi normale centree/reduite
Loi normale quelconque
Quantiles
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportiond'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013
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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportiond'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).On cherche
1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).On cherche
1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesA retenir :
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Calculs avec laN(0;1), tous les cas
Pour n'importe quela>0,
IP(Xa)0a
)tableIIP(Xa)0a = 10a )cas IIIIP(X a)0-a=0a )cas IIIVP(X a)0-a=0a )cas IChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
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Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?
Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?
Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?0,14Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?0,14z
0,86=1 ,08Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14-1,080,14z
0,86=1 ,08Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)
A retenir :
z =z100,14-1,080,14z0,86=1 ,08par exemple : z
0;14=z0;86.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile d'une loi normale quelconque
NotonsQle quantile d'ordre alpha d'uneloi normale quelconque N(;).A retenir :
Q =+z: On "dereduit"et on "decentre"le quantile de la loi normale centree/reduite.Exercice Quel est le quantile a 90% pour une loi normaleN(11;2)?Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile d'une loi normale quelconque
NotonsQle quantile d'ordre alpha d'uneloi normale quelconque N(;).A retenir :
Q =+z: On "dereduit"et on "decentre"le quantile de la loi normale centree/reduite.Exercice Quel est le quantile a 90% pour une loi normaleN(11;2)?Chapitre 32012{2013quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] comment lire une courbe granulométrique
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