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Mathématiques

par

Stéphane Perret

Version 3.310

I

Logique et

raisonnement II

Calcul

algébrique III

Trigonométrie

IV

Fonctions

VI

Continuité,

comportement asymptotique et dérivée VII

Calcul

intégral V

Géométrie

VIII

Combinatoire

et probabilités

Table des matièresI Logique et raisonnement1

1 Les principes de base de la logique3

1.1 Le principe de non-contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3

1.2 Le principe du tiers exclu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.3 Les implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 La réciproque d"une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

1.5 Les équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Le contraire d"une expression bien formée . . . . . . . . . . . .. . . . . . 6

1.7 La contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.8 Trois méthodes pour démontrer des implications . . . . . . .. . . . . . . 8

1.9 Contre-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.10 La découverte des nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 9

i

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Mathématiques : table des matièresCours de Mathématiques

II Calcul algébrique11

2 Ensembles, nombres et calcul algébrique 13

2.1 Ensembles et opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . .. . . . . 13

2.2 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 La droite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Écriture décimale et scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

2.4 Opérations sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

2.4.1 Addition, neutre additif, opposé et soustraction . . .. . . . . . . 19

2.4.2 Multiplication, neutre multiplicatif, inverse et division . . . . . . . 20

2.4.3 Règles concernant les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 22

2.4.4 Puissances, bases et exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

2.4.5 Les identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2.4.6 Les racinesn-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.7 Extension de la notion d"exposants . . . . . . . . . . . . . . . .. 27

2.4.8 Les logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.9 Analogies entre les diverses opérations . . . . . . . . . . .. . . . 29

2.4.10 Règle des signes, valeur absolue et distance . . . . . . .. . . . . . 30

2.4.11 Un peu de vocabulaire : simplifier, développer, factoriser . . . . . 30

3 Sommes, séries arithmétiques et géométriques 31

3.1 Le symbole somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Séries arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

3.3 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

3.4 Application : calculs d"intérêts et capitalisation . . .. . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.3 Équivalence de capitaux et échéance moyenne . . . . . . . .. . . 38

4 Équations polynomiales39

4.1 Résolution des équations du premier degré . . . . . . . . . . . .. . . . . 40

4.2 La propriété du produit dans les nombres réels . . . . . . . . .. . . . . . 40

4.3 Lien entre factorisation et recherche de solutions . . . .. . . . . . . . . . 40

4.4 Résolution des équations du deuxième degré . . . . . . . . . . .. . . . . 41

4.4.1 Les équations du deuxième degré camouflées . . . . . . . . . .. . 44

4.5 Résolution des équations de degré supérieur à deux . . . . .. . . . . . . 44

4.6 Systèmes d"équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 45

5 Factorisation de polynômes47

5.1 Polynômes de degrén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Factorisation des polynômes de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 48

5.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49

5.4 Factorisation des polynômes de degré 3 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 50

5.5 Autre preuve que la racine de 2 est irrationnelle . . . . . . .. . . . . . . 51

5.6 Le schéma de Horner (version la plus générale) . . . . . . . . .. . . . . . 52

5.7 Le lemme de Gauss (version la plus générale) . . . . . . . . . . .. . . . . 54

5.8 Factorisation de polynômes de degré supérieur à deux . . .. . . . . . . . 55

5.9 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57

S. Perret page ii Version 3.310

Cours de Mathématiques

Mathématiques : table des matièresLycée cantonal de Porrentruy

III Trigonométrie59

6 Trigonométrie61

6.1 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61

6.1.1 Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1.2 Le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1.3 Formules de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.4 Les fonctions tangente et cotangente . . . . . . . . . . . . . .. . 65

6.2 Valeurs des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 66

6.3 Les triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 67

6.4 Les triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 69

6.5 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 74

6.6 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 75

6.7 Formules trigonométriques d"additions des angles . . . .. . . . . . . . . 76

7 Un astrolabe79

Version 3.310 page iii S. Perret

Lycée cantonal de Porrentruy

Mathématiques : table des matièresCours de Mathématiques

IV Fonctions81

8 Fonctions83

8.1 Les fonctions et leur représentations . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 83

8.2 Images, domaine image, pré-images (antécédents) . . . . .. . . . . . . . 86

8.3 Les zéros d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

8.4 Graphes à savoir dessiner rapidement . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 87

8.4.1 Graphes des fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.4.2 Graphes des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . .. . . 88

8.4.3 Graphes des fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . .. . 89

8.4.4 Graphes des fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . .. . 90

8.4.5 Graphes des homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.5 Tableau de signes d"une fonction continue . . . . . . . . . . . .. . . . . 92

8.5.1 Comparaison des tableaux des différentes méthodes . . .. . . . . 98

8.6 Les fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 99

8.7 L"injectivité, la surjectivité et la bijectivité . . . . .. . . . . . . . . . . . 101

8.7.1 Utilité de l"injectivité pour les équations . . . . . . . .. . . . . . 103

8.8 Les fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 103

8.9 Fonctions transcendantes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 107

8.9.1 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 107

8.9.2 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108

8.9.3 Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

8.10 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 111

8.10.1 Addition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.10.2 Multiplication d"une fonction par un nombre . . . . . . .. . . . . 112

8.10.3 Multiplication de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 113

8.10.4 Division d"une fonction par une autre . . . . . . . . . . . . .. . . 114

8.10.5 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

9 Résolution d"inéquations117

9.1 Résolution d"inéquations du premier degré . . . . . . . . . . .. . . . . . 117

9.2 Résolution d"inéquations : méthode générale . . . . . . . . .. . . . . . . 117

10 Herbier de fonctions réelles119

S. Perret page iv Version 3.310

Cours de Mathématiques

Mathématiques : table des matièresLycée cantonal de Porrentruy

V Géométrie127

11 Les géométries plane et spatiale129

11.1 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

11.2 Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.3 Vecteurs dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.4 Vecteurs dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

11.5 Opérations sur les vecteurs dans le plan . . . . . . . . . . . . .. . . . 134

11.6 Opérations sur les vecteurs dans l"espace . . . . . . . . . . .. . . . . . 135

11.7 Combinaisons linéaires et bases dans le plan . . . . . . . . .. . . . . . 136

11.8 Combinaisons linéaires et bases dans l"espace . . . . . . .. . . . . . . 137

11.9 Vecteurs et points dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138

11.10 Vecteurs et points dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 139

11.11 Représentations paramétriques dans le plan . . . . . . . .. . . . . . . 140

11.12 Représentations paramétriques dans l"espace . . . . . .. . . . . . . . . 141

11.13 Équations cartésiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 146

11.14 Équations cartésiennes dans l"espace . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 147

11.15 Notion de pente pour les droites dans le plan . . . . . . . . .. . . . . 148

11.16 Traces de droite et de plan dans l"espace . . . . . . . . . . . .. . . . . 149

11.17 Droites remarquables dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 150

11.18 Droites et plans remarquables dans l"espace . . . . . . . .. . . . . . . 151

11.19 Norme et produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . .. . . . 154

11.20 Norme et produit scalaire dans l"espace . . . . . . . . . . . .. . . . . 155

11.21 Droite dans le plan et produit scalaire . . . . . . . . . . . . .. . . . . 158

11.22 Plan dans l"espace et produit scalaire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 159

11.23 Aire d"un parallélogramme dans le plan . . . . . . . . . . . . .. . . . 160

11.24 Aire d"un parallélogramme dans l"espace . . . . . . . . . . .. . . . . . 161

11.26 Volume d"un parallélépipède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 163

11.27 Aire d"un triangle dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 164

11.28 Aire d"un triangle dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 165

11.30 Volume d"un tétraèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

11.31 Propriétés du déterminant dans le plan . . . . . . . . . . . . .. . . . . 166

11.32 Propriétés du produit vectoriel dans l"espace . . . . . .. . . . . . . . . 167

11.33 Distances dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

11.34 Distances dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169

11.35 Cercle dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11.36 Sphère dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

11.37 Rappel : déterminant en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 178

11.38 Complément : déterminant en dimension 3 . . . . . . . . . . . .. . . . 179

11.39 Sur le cercle inscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 180

11.40 Sur le cercle inscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 181

11.42 Sur la sphère inscrite à un tétraèdre . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 181

Version 3.310 page v S. Perret

Lycée cantonal de Porrentruy

Mathématiques : table des matièresCours de Mathématiques VI Continuité, comportement asymptotique et dérivée 184

12 Notions de limite185

12.1 Le nombre d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.2 Les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

12.2.1 Définition intuitive des limites . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 186

12.2.2 La droite réelle vue par Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . .. . 187

12.2.3 Lien entre les limites et les limites à gauche et à droite . . . . . . 187

12.2.4 Calculs de limites et types de limites . . . . . . . . . . . . .. . . 188

12.3 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 190

12.4 Continuité d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 191

12.5 Comportement asymptotique des fonctions continues (par morceaux) . . 192

12.5.1 Comportement local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

12.5.2 Comportement à l"infini des fonctions rationnelles .. . . . . . . . 193

12.5.3 Comportement à l"infini des fonctions non rationnelles . . . . . . 198

12.5.4 Compléments sur le comportement asymptotique à l"infini . . . . 199

13 Dérivation201

13.1 La dérivée en un point d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 201

13.2 La dérivée d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 203

13.2.1 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

13.3 Équation de la tangente au graphe d"une fonction . . . . . .. . . . . . . 204

13.4 Règles de dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205

13.4.1 Règle de la somme et de la soustraction . . . . . . . . . . . . .. . 205

13.4.2 Règle de la multiplication par un nombre . . . . . . . . . . .. . . 205

13.4.3 Règle du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

13.4.4 Règle de la composition ou de la dérivation en cascade. . . . . . 206

13.4.5 Règle de la puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

13.4.6 Règle du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

13.5 Dérivées des fonctions transcendantes usuelles . . . . .. . . . . . . . . . 210

13.5.1 Dérivée de la fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

13.5.2 La dérivée des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213

13.5.3 Le logarithme népérien et sa dérivée . . . . . . . . . . . . . .. . 214

13.5.4 La dérivée des fonctions exponentielles . . . . . . . . . .. . . . . 214

13.6 Table de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

14 Quelques applications des dérivées217

14.1 Problèmes d"optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 217

14.2 La courbure (l"accélération en physique) . . . . . . . . . . .. . . . . . . 220

14.3 Extrema locaux et points d"inflexion . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 221

14.4 Étude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

14.5 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14.6 Le théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 227

14.7 Règle de l"Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228

14.8 Problèmes de taux d"accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 229

14.8.1 Notation de Leibniz et dérivation en cascade . . . . . . .. . . . . 230

14.8.2 Les dérivées implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236

15 Démonstration de la règle de l"Hospital 237

S. Perret page vi Version 3.310

Cours de Mathématiques

Mathématiques : table des matièresLycée cantonal de Porrentruy

VII Calcul intégral243

16 Intégrales et primitives245

16.1 Définition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245

16.2 Définition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245

16.3 Pourquoi l"intégrale est une aire signée . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 247

16.3.1 Pour être sûr d"avoir l"aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249

16.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

16.5 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 252

16.6 La valeur moyenne d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 253

16.7 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

16.7.1 Le théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . .. . . . 254

16.8 Trois façons de résoudre une intégrale . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 256

16.8.1 Intégration par devinette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 256

16.8.2 Intégration par parties : intégrale définie . . . . . . . .. . . . . . 257

16.8.3 Intégration par parties : intégrale indéfinie . . . . . .. . . . . . . 258

16.8.4 Intégration par substitution : à partir de la définition . . . . . . . 259

16.8.5 Intégration par substitution : intégrale définie . . .. . . . . . . . 260

16.8.6 Intégration par substitution : intégrale indéfinie .. . . . . . . . . 261

17 Quelques applications des intégrales263

17.1 Volumes de révolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 263

17.1.1 Autour du premier axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

17.1.2 Autour du deuxième axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

17.2 Longueur d"une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265

17.3 L"aire entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 266

17.4 Un calcul d"intégrale sophistiqué . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 267

Version 3.310 page vii S. Perret

Lycée cantonal de Porrentruy

Mathématiques : table des matièresCours de Mathématiques

VIII Combinatoire et probabilités 269

18 Dénombrement : permutations, arrangements et combinaisons 271

18.1 Les permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

18.1.1 Permutations d"objets distincts . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 271

18.1.2 Permutations d"objets avec multiplicité . . . . . . . . .. . . . . . 272

18.2 Les arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

18.2.1 Arrangements sans répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 273

18.2.2 Arrangements avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 274

18.3 Les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

18.3.1 Combinaisons sans répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 275

18.3.2 Combinaisons avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 276

18.4 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 277

18.5 Triangle de Pascal des coefficients binomiaux . . . . . . . . .. . . . . . . 277

19 Probabilités279

19.1 Univers, événements et probabilités . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 279

19.1.1 Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

19.1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

19.1.3 Probabilités : la fonction probabilité . . . . . . . . . . .. . . . . 281

19.1.4 Événements équiprobables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

19.2 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 283

19.2.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 283

19.2.2 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

19.3 Méthodes de calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 286

19.3.1 Par dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

19.3.2 Par arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

19.3.3 Par la technique des anagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . .287

19.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

19.5 Une application des probabilités conditionnelles . . .. . . . . . . . . . . 288

19.6 La loi binomiale et la loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 290

19.7 L"espérance de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291

S. Perret page viii Version 3.310

Première

partie

Logique et

raisonnement

Implications

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