[PDF] Les outils mathématiques de la mécanique quantique Emmanuel

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Les outils mathématiques de la mécanique quantique Les outils mathématiques de la mécanique quantique Emmanuel FromagerInstitut de Chimie de Strasbourg - Laboratoire de Chimie Quantique -

Université de Strasbourg /CNRS

ECPM, Strasbourg, France

ECPM, Strasbourg, France

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Les outils mathématiques de la mécanique quantique dérivées partielles où l"énergieEet la fonction d"onde'(r)sonttoutes deux inconnues : ~22mr2'(r) +V(r)'(r) =E'(r)

Dif ficile,a priori, de résoudre une telle équation de manière générale, d"où ces questions :

(1) Peut-on trouver une solution analytique ?

Existe-t-il toujours des solutions ?

(2) La quantitéEest interprétée comme une énergie : est-on sûr que seules des valeursréelles de

Eont une solution'(r)associée ? Ce n"est en effet pas évident de donner un sens physique à une

énergie complexe ...

(3) Cette formulation n"est pas assez général e (elle ne permet pour l"instant de décrir equ"une seule généralisable à n"importe quel système quantique ?ECPM, Strasbourg, FrancePage 2 Les outils mathématiques de la mécanique quantique

Intr oductiond"

opérateurs agissant sur les fonctions d"onde : f^O7!^Ofoùf:r7!f(r) ^Of:r7!Of(r)

Par exemple

^T=~22mr2!^Tf(r) =~22mr2f(r)

V=V(r) !^V f(r) =V(r)f(r)

^H'(r) =E'(r)où ^H=^T+^V opérateurhamiltonien

Analogie avec une

équation aux valeurs pr opres

: [A]W=Woù, par exemple, [A] =2 4 3 5 etW=2 4 w1 w 23
5 .W ! f'(r)gr2R3 !E [A] !^HECPM, Strasbourg, FrancePage 3 Les outils mathématiques de la mécanique quantique

Valeur et vecteur propres

-Définition: unvecteur propreWde la matrice[A]est un vecteur colonnenon nultel que [A]W=W oùest un nombre (réel ou complexe) que l"on appellevaleur pr opre. -Déterminationde: en notant[1] =2 4 1 0 0 13 5 la matrice identité, il vient [A][1] W= 0.

Nous en déduisons que

[A][1] n"est pas inversible sinon [A][1] 1 [A][1]

W= 0 =W absurde !

de sorte quedet [A][1] = 0-Dans notr eexemple = ()22= 0!=+ou=ECPM, Strasbourg, FrancePage 4 Les outils mathématiques de la mécanique quantique -DéterminationdeW: [A]W+= (+)W+!W+=w+2 4 1 13 5 [A]W= ()W!W=w2 4 1 13 5 oùw+etwsont deux nombres complexes non nuls quelconques.

Un vecteur colonne W=2

4 w1 w 23
5 est la r eprésentation d"un vecteur !w=w1!u1+w2!u2dans une base donnée n!u1;!u2o La r eprésentationchange si l"on utilise une autr ebase mais le vecteur reste le même!

Par exemple, en posant

!u01=!u1+!u2et!u02=!u1!u2, w=w12 u01+! u02 +w22 u01! u02 !W0=2 4 (w1+w2)=2 (w1w2)=23 5

ECPM, Strasbourg, France

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Les outils mathématiques de la mécanique quantique -Considérons un espace vectoriel "abstrait"ENde dimension quelconqueN(qui n"a rien à voir avec l"espace réel à trois dimensions) dont une base est notée n!uio i=1;N . Tout vecteur!wdeENpeut se décomposer dans cette base discrète w=w1!u1+w2!u2+:::+wN!uN=NX i=1w i!ui

Nous adoptons désormais les

notations de Dirac : tout vecteur !vde cet espace "abstrait" sera noté jviet appelé "ketv". On notera ainsijwitout élément (ket donc) deENet on écrira jwi=NX i=1w ijuii vecteur colonneWet l"ensemble des valeurs'(r)que prend la fonction d"onde lorsquervarie dansR3. jwi W=2 6

666664w

1 w 2 w N3 7

777775 ! f'(r)gr2R3! j'i=?ECPM, Strasbourg, FrancePage 6

Les outils mathématiques de la mécanique quantique Cas d"un espace E1de dimensioninfinie et de base continue fjuig2R:

8jwi 2 E1;jwi=Z

+1 1 dw ()jui La fonction w()représentele ket jwidans la basefjuig2R. Cas d"une particule se déplaçant sur l"axe des x: on peut construire, à partir de la fonction d"onde'(x)décrivant la particule, le ket j'i=Z +1 1 dx' (x)juxi: Dans la suite on notera simplementjxi=juxile ket que l"on associera à l"état quantique"la particule est à la positionx".

En mécanique quantique

les kets décrivent des états quantiques . Il est donc usuel d"employer le mot "état" au lieu du mot "ket".ECPM, Strasbourg, FrancePage 7 Les outils mathématiques de la mécanique quantique Espace des états quantiques et représentationjri

Constr uctiond"un espace vectoriel

décrivant les états possibles de la particule : on note jx;y;zi=jri le ket décrivant l"état "la particule est à la positionr". espace de dimension infinie dans lequel on passe continûment d"un vecteur (ou ket) de base à l"autre.

Étant donnée une fonction d"onde '(r)décrivant la particule, le ketj'ipeut être construit

comme suit j'i=Z R

3dr'(r)jriECPM, Strasbourg, FrancePage 8

Les outils mathématiques de la mécanique quantique Espace des états quantiques et représentationjri La fonction d"onde calculée en rest alors interprétée comme la composante du ketj'iselon le ket de basejri. En d"autres termes,la fonction d"onde est une r eprésentationdu ket j'iqui existe donc indépendamment de la base et que nous appellerons tout simplement

état quantique

de la particule

En résumé,

jwi=NX i=1w ijuii !j 'i=Z R

3dr'(r)jri

N X i=1 !Z R 3dr W=2 6

666664w

1 w 2 w N3 7

777775 ! f'(r)gr2R3ECPM, Strasbourg, FrancePage 9

Les outils mathématiques de la mécanique quantique Opérateur linéaire et représentation matricielle

Un opérateur

^Ade l"espace vectorielENtransforme un ket quelconquejwideENen un autre ket deENnoté^Ajwi. Dans la suite, tous les opérateurs que nous considér eronsser ont linéair es , c"est-à-dire qu"ils vérifient les relations suivantes : 8 jvi2 E N;8jwi2 E N;^A jvi+jwi =^Ajvi+^Ajwi;

82C;8jwi2 E N;^A

jwi =^Ajwi:

Du fait de sa linéarité,

si l"on sait comment ^Aagit sur les kets de basefjuiigi=1;Nalors on sait comment

^Aagit sur n"importe quel ketde ENet donc^Aest parfaitement défini.ECPM, Strasbourg, FrancePage 10

Les outils mathématiques de la mécanique quantique Opérateur linéaire et représentation matricielle

En effet, si

^Ajuji=NX i=1A ijjuiietjwi=NX j=1w jjujialors^Ajwi=NX i=1 NX j=1A ijwj! juii-Représentation matricielle dans la base fjuiigi=1;N:

A![^A]= 2

6

666664A

11A12:::A 1N

A

21A22:::A 2N

A

N1AN2:::A NN3

7

777775;

^Ajwi! 2 6

66666666666664N

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