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EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES

Resume de cours de calcul dierentiel 2 L3 de B. Calmes, Universite d'Artois (version du 18 avril 2016)

1.Rappels en dimension1

On rappelle que l'equation homogene

x

0=axaveca:I!Rcontinue

a pour solutions l'ensemble des fonctions de la formeCeRaouRadesigne une primitive dea.

En presence d'une equation avec second membre

x

0=ax+baveca;b:I!Rcontinues

on remarque qu'etant donnee une solutionxp, toutes les autres dierent de celle-ci par une solution de l'equation homogene (qu'on a deja resolue). Si on dispose d'une telle solutionxp, c'est termine, sinon, la methode dite devariation de la constante consiste a dire que l'equation equivaut a

0=beRa

ou=xeRa=x=xhouxhest une solution de l'equation homogene precedente. On obtient alorscomme primitiveRbeRa. En pratique, il peut bien entendu ^etre penible (voire impossible) d'exprimer de telles primitives en utilisant des fonctions classiques.

2.Rappels sur l'exponentielle d'une matrice et d'un endomorphisme

On rappelle les faits suivants. SiA2Mn(R) est une matrice, on note exp(A) =1X k=0A kk! sonexponentielle, qui est donc egalement un element de Mn(R) (la somme innie converge pour toute matriceA). LorsqueDest une matrice diagonale, son exponen- tielle est donc evidemment la matrice diagonale obtenue en prenant l'exponentielle de chaque terme sur la diagonale. LorsqueNest une matrice nilpotente d'ordrep, alors la somme denissant exp(N) est nie et s'arr^ete ap. Puisque le sous-espace vectorielR[A] de Mn(R) est de dimension nie, il est ferme et complet, donc la somme innie denissant exp(A) converge en fait dedans, et il existe donc un polyn^omePA(dependant deA) tel que exp(A) =PA(A). En particulier, exp(A) commute avecA. Prendre l'exponentielle commute au changement de base : exp(PAP1) =Pexp(A)P1 Ceci permet par exemple de denir l'exponentielle d'un endomorphisme (en dimen- sion nie) en choisissant une base pour se ramener a une matrice, puisque cela montre que le resultat est independant de la base choisie. 1 2

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES

LorsqueAest diagonalisable, avecPDP1=A, on a donc exp(A) =Pexp(D)P1, cette derniere etant evidente a calculer. On peut montrer que lorsque les matrices

AetBcommutent, on a bien

exp(A+B) = exp(A)exp(B) (et que c'est faux en general). En particulier, siA=D+NouDest diagonale, Nest nilpotente etDetNcommutent, alors exp(A) = exp(D)exp(N), ces deux dernieres etant evidentes a calculer. Cela montre egalement que exp(A) est toujours inversible, d'inverse exp(A). La derivee de la fonctiont7!exp(tA) estt7!exp(tA)A=Aexp(tA). Attention, siA(t) :R!Mn(R) est une fonction derivable, il n'est pas vrai que la derivee det7!exp(A(t)) soitt7!exp(A(t))A0(t) niA0(t)exp(A(t)). C'est toutefois vrai si A(t) commute aA0(t) (en particulier dans le cas ouA(t) =tApour une matrice

A2Mn(R).

3.

Equations lineaires

Nous discutons maintenant des systemes d'un nombre ni d'equations dieren- tielles dites lineaires denies sur un intervalleIdeR. Nous supposerons pour l'instant que ce systeme s'ecrit (3.1)x0=ax+v oux:I!Eest derivable etv:I!Eeta:I! L(E) sont continues. Nous dirons qu'une telle equation dierentielle est sous formenormale.

3.1.Remarque.SiE=Rn, et qu'on interpr^ete l'equation dierentielle sous forme

normale comme un systeme, il aura autant d'equations que de fonctions inconnues.

3.2.Remarque.Siaetbsont derivables (resp.C1), alorsxest automatiquement

deux fois derivable (resp.C2).

3.3.Theoreme.Etant donnet02Iety02E, l'equation dierentielle(3.1)admet

une unique solutionx:I!Etelle quex(t0) =y0.

Soit une equation lineaire homogene

(3.2)x0=ax: Ses solutions forment de maniere evidente un espace vectoriel.

3.4.Corollaire.L'application deEvers l'espace vectoriel des solutions de(3.2)

envoyanty0sur l'unique solution de(3.2)qui vauty0ent0est lineaire et est un isomorphisme. En particulier, la dimension deEet celle de cet espace de solutions sont egales. Etant donne une solutionx0(quelconque) de l'equation totale (3.1), toutes ses solutions sont alors exactement les fonctionsxde la formex=xh+x0ou etxhest dans l'espace vectoriel solution de l'equation homogene ( 3.2 La structure de l'espace des solutions etant etablie, on s'interesse maintenant a des methodes de resolutions explicites.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES 3

4.Variation des constantes

Le but de cette partie est d'expliquer comment trouver par calcul de primitives des solutions de l'equation avec second membre ( 3.1 ) quand on conna^t deja les solutions de l'equation homogene ( 3.2 Soientx1;:::;xnune base des solutions de l'equation homogene. Remarquons qu'en toutt, les vecteursx1;:::;xnsont lineairement independants par l'unicite de la solution au probleme de Cauchy.

4.1.Lemme.Six:I!Eest une fonction derivable quelconque, il existe d'uniques

fonctions1;:::;ntoutes derivables et deI!Rtelles quex=Pn i=1ixi. Appliquant ce lemme a une solutionxde l'equation avec second membre (3.1), et en utilisant l'equation, on trouve immediatement que lesi:I!Rdoivent veriernX i=1

0ixi=b

ce qui determine les0itoujours par le m^eme lemme. Il sut alors d'en prendre des primitives.

5.Coefficients constants

On considere tout d'abord une equation dierentiellehomogeneet a coecients constants, sous forme normale : (5.1)x0=Ax ouA2Mn(R), et dont on veut expliciter les solutionsx:R!Rn.Etant donnees les proprietes de l'exponentielle deja rappelees, on a immediatement :

5.1.Theoreme.Les solutions de l'equation(5.1)sont exactement les fonctions de

la forme x(t) =etAy0 ouy02Rnest un vecteur quelconque.

5.2.Remarque.Bien entendu,x(0) =y0. On a donc la solution au probleme de

Cauchy ent0= 0. La solution au probleme de Cauchy en un autre pointt0, imposant x(t0) =y0, est donc obtenue par decalage :x(t) =e(tt0)Ay0=etAet0Ay0.

5.3.Remarque.Par denition de l'exponentielle,

x(t) =etAx0=1X k=0t nn!Anx0 ce qui donne explicitement un developpement en series entieres de la solutionx. On peut alors avoir les solutions de l'equation avec second membre par la methode de variation des constantes.

6.Methodes de calcul

Toujours dans le cas desequations lineaires a coecients constants, voici quelques methodes qui permettent dans certains cas de donner plus facilement les solutions. 4

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES

6.1.Changement de base.Par un changement de base adequatB=P1AP,

le calcul deetA=PetBP1peut-^etre grandement simplie, si par exempleBest diagonale, ou nilpotente, ou une sommeD+NavecDetNqui commutent. On peut par exemple choisirBdiagonale siAest diagonalisable, voire seulement B=D+Nsi le polyn^ome minimal deAest scinde surR. Si ce n'est pas le cas, on peut eventuellement passer aux nombres complexes, les raisonnements de ce chap^tre s'appliquant egalement pour des fonctionsI!C. 6.2. Equation scalaire d'ordren.Partant d'une equation lineaire scalaire a coecients constants et d'ordren, de la forme (6.1)x(n)+an1x(n1)++a0x=b (dont les solutions sont donc deRdansR) nous avons vu precedemment qu'on peut se ramener a une equation d'ordre 1, mais dansRn. Elle serait de la forme y

0=Ay+Bavecy:R!Rnet la matriceAa des 1 juste au-dessus de la diagonale,

et les coecientsa0;:::;an1sur la derniere ligne (et des zeros partout ailleurs).

Nous savons donc que l'equation homogene associee

(6.2)x(n)+an1x(n1)++a0x= 0 a pour ensemble de solution un espace vectoriel de dimensionn. Considerons le polyn^omeP(X) =Xn+an1X++a0, parfois appele poly^ome caracteristique associe a l'equation dierentielle ( 6.2

6.1.Proposition.SiPest scinde et avec des racines distinctesr1;:::;rp, d'ordre

de multiplicite1;:::;p, alors les solutions de l'equation dierentielle(6.2)sont les fonctions de la forme x(t) =pX i=1Q i(t)eritouQi2R[X]est de degre< i.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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