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Comment expliquer les équations différentielles ?
Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle. f est une solution de l'équation différentielle.Comment montrer qu'une équation différentielle est linéaire ?
Équation différentielle linéaire d'ordre 1, à coefficients constants. L'équation considérée est cette fois l'équation vectorielle y' = Ay + B, mais avec l'hypothèse que la matrice A est indépendante de x, d'où l'expression coefficients constants quand on considère le système associé.Comment résoudre une équation différentielle d'ordre 1 ?
Etapes pour résoudre ( E ) : ay ? + by = g ( t ) :
1écrire l'équation homogène ( E 0 ) associée : ay ? + by = 0.2résoudre ( E 0 ) : on appelle "solution générale" de ( E 0 ) l'ensemble de toutes les solutions de ( E 0 ) (dépendant d'une constante k )3déterminer une solution particulière de ( E )- Les équa diff linéaires d'ordre 1 sont de la forme y' + a(x)y = g(x), où a(x) est une fonction (éventuellement constante). Par exemple y' + 3y = 4x – 7.
DERNIÈRE IMPRESSION LE13 avril 2021 à 12:29
Équations différentielles
Table des matières
1 Équation différentielle linéaire du premier ordre2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Résolution de l"équation incomplète enx. . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Résolution de l"équation homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Résolution de l"équation linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Résolution de l"équation linéaire à coefficients constants. . . . . . . 5
1.6 Application à la physique : circuit RL et RC. . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Équations se ramenant ày"- ay = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Équation différentielle linéaire de second ordre7
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Résolution de l"équation homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Résolution de l"équation linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Application : isochronisme des petites oscillations. . . . . . . . . . 11
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1 Équation différentielle linéaire du premier ordre
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle équationdifférentielle linéaire du premier ordre (E) sur un intervalle I, une équation qui peut se mettre sous la forme : (E):y?+a(x)y=b(x) où l"inconnueyest une fonction dexdérivable que l"on cherche à déterminer et oùaetbsont deux fonctions continue sur un intervalle IExemples :
(E1) :y?+1xy=xéquation différentielle du premier ordre. (E2) :y?=b(x)équation différentielle du premier ordre incomplète eny. (E3) :y?-2y=0 équation différentielle du premier ordre à coefficient constant sans second membre ou incomplète enx. (E4) :y?+xy=0 équation différentielle du premier ordre sans second membre ou homogène.1.2 Résolution de l"équation incomplète enx
Théorème 1 :Les solutions de l"équation différentielley?=b(x)incomplète enysur I sont toutes les fonctionsy:x?→B(x)oùBest une primitive de la fonctionbsur I. Remarque :La résolution de ces équations revient à la recherche d"une primitive debsur I.Exemple :Les solutions de l"équationy?=1
x+1sur]-1 ;+∞[sont les fonctionsF:x?→ln(x+1) +koùk?R1.3 Résolution de l"équation homogène
Théorème 2 :Soita(x)une fonction continue sur un intervalle I. Les solutions de l"équation différentielle homogène :y?+a(x)y=0, sont toutes les fonctionsy:x?→ke-A(x), avecAune primitive deasur I etk?RDémonstration :Par double implications
Montrons que les fonctions de la formey(x) =ke-A(x)sont solutions de l"équation homogène. y ?(x) +a(x)y(x) =-kA?(x)e-A(x)+a(x)ke-A(x)A?=a=0.PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1.4 RÉSOLUTION DE L"ÉQUATION LINÉAIRE
Réciproquement, soityune solution de l"équation homogène. Soit la fonctionzdéfinie sur I par :z(x) =y(x)eA(x). On dérive la fonction z: z ?(x) =y?(x)eA(x)+y(x)A?(x)eA(x)A?=a=y?(x)eA(x)+y(x)a(x)eA(x) =eA(x)?y?(x) +a(x)y(x)?y?+a(x)y=0=0 La fonctionzest constante et l"on posez(x) =k, d"oùy(x) =z(x) eA(x)= ke -A(x).Exemples :
Les solutions de l"équation 2y?+3y=0?y?+32y=0, sont les fonctionsy(x) =ke-3 2x Les solutions sur]-1 ;+∞[de l"équation(x+1)y?+y=0?y?+ 1 x+1y=0, sont les fonctionsy(x) =ke-ln(x+1)=kx+11.4 Résolution de l"équation linéaire
Théorème 3 :Problème de Cauchy
Soitaetbdeux fonctions continue sur un intervalle I. Soitx0ety0deux réels.Le système?y?+a(x)y=b(x)
y0=y(x0)condition initiale
admet une unique fonction solutionysur I Démonstration :SoitAune primitive de la fonctionasur I. Les solutions de l"équation homogène sont les fonctionsx?→ke-A(x),kétant une constante. La méthode de résolution du problème de Cauchy consiste à faire "varier» la constantek. Cette contradiction apparente constitue "l"astuce» de la démonstra- tion. On pose alors :y(x) =k(x)e-A(x). L"équationy+a(x)y=b(x)devient alors : k k k ?(x)e-A(x)=b(x)?k?(x) =b(x)eA(x) kest donc une primitive de la fonctionbeA. Cette primitive existe bien car la fonctionbeAest une fonction continue sur I comme produit et composée de fonc- tions continue sur I. La condition initiale :y0=y(x0)?y0=k(x0)e-A(x0)?k(x0) =y0eA(x0) Le système admet donc une unique solutiony=ke-Atelle quekest la primi- tive debeAqui vérifiek(x0) =y0eA(x0)PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
1.4 RÉSOLUTION DE L"ÉQUATION LINÉAIRE
Théorème 4 :Linéarité
Soitaetbdeux fonctions continues sur un intervalle I. SoitAune primitive de la fonctiona. Les solutions de l"équation différentielle (E) :y?+a(x)y=b(x)sont les fonc- tionsytels que :y=ypart+ke-A, oùypartest une solution particulière de l"équation (E) etkun réel. Remarque :Pour trouver toutes les solutions de l"équation (E), il suffit de trou- ver une solution particulière et de lui ajouter la solution générale de l"équation homogène. Pour trouver cette solution particulière on utilisera la méthode de la "variation» de la constante. Exemple :Déterminer sur I=]-1 ;+∞[, la solution de l"équation différentielle (E) :(x+1)y?+y=6x(x+1)qui s"annule en 1. Solution générale de l"équation homogène. On met l"équation homogène sous la forme standard :y?+1 x+1y=0Un primitive sur I dea(x) =1
x+1estA(x) =ln(x+1) La solution générale de l"équation homogène est :y(x) =ke-ln(x+1)= k x+1Solution particulière.
On met (E) sous la forme standard :y?+1
x+1y=6x À l"aide de la variation de la constante, on a : k ?(x) =b(x)eA(x)=6x eln(x+1)=6x(x+1) =6x2+6x On peut alors choisir pour la fonctionk:k(x) =2x3+3x2 Une solution particulière de (E) est doncypart= (2x3+3x2)e-ln(x+1)=2x3+3x2
x+1 L"ensemble des solutionsyde l"équation (E) sur I est donc : y(x) =2x3+3x2 x+1+kx+1=2x3+3x2+kx+1La solution qui s"annule en 1 est telle que :
y(1) =0?2+3+k x+1=0?k=-5 La solution de l"équation (E) qui s"annule en 1 est telle que :y(x) =2x3+3x2-5
x+1PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
1.5 RÉSOLUTION DE L"ÉQUATION LINÉAIRE À COEFFICIENTS CONSTANTS
1.5 Résolution de l"équation linéaire à coefficients constants
Théorème 5 :Soitaetbdeux réels.
Les solutions de l"équation différentielle :y?+ay=bsont les fonctionyde la forme : y(x) =ke-ax+b aDémonstration :
La primitiveAd"une constanteaest définie parA(x) =ax. y part=b acary?part+aypart=0+a×ba=b Les solutions de l"équation sont :y(x) =ke-A(x)+ypart=ke-ax+ba Exemple :Déterminer la fonctiony, solution de l"équationy?+0,5y=1 et telle que :y(0) =3. Les solutions sont donc de la forme :y(x) =ke-0,5x+2 Si l"on cherche la solution particulière qui correspond ày(0) =3, on obtient alors k=1, la solution est doncy(x) =e-0,5x+2 Si l"on veut visualiser l"ensemble des solutions ainsi que la solution particulière, on obtient :1 2 3 4-1-2-3-4-50
-11 2345O1.6 Application à la physique : circuit RL et RC
Le circuit ci-contre comprend une bo-
bine d"inductionL, une résistanceR.L"originedutemps estàlafermeture du
circuit. R LEPAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
1.7 ÉQUATIONS SE RAMENANT Ày"- ay = b
On suppose que pourt=0 l"intensitéIest nulle. La f.e.m. aux bornes du circuit est constante et égale àE(en volt). Dès que l"interrupteur est fermé, un courant croissanti(t)commence à circuler, il est contrarié par la f.e.m. auto-induite par la bobine et s"établit progressivement. D"après la loi des mailles, nous avons à tout instantt(t>0) : (Eq):Li?+Ri=E a) Résoudre cette équation différentielle. Trouver la fonctionitelle quei(0) =0. b) Donner l"allure de cette fonctioniet préciser les régimes transitoire et établi. a) (Eq)estuneéquationdifférentiellelinéairedu1erordreàcoefficientsconstants.On met (Eq) sous la forme standard :i?+RLi=EL
Les solutionside (Eq) sont de la forme, aveca=RLetb=EL: i(t) =keat+b a=ke-RLt+ER.
Condition initiale :i(0) =0?k+ER=0?k=-ER
Le courantien fonction du temps est donc :i(t) =E
R(1-e-R
Lt) b) La fonctionicroît puis se stabilise àE ROn peut définir :
le régime transitoire entre les ins-tantst=0 ett=5L Rle régime établi au delà det=5LR
La bobine retarde l"établissement du
courant.1.7 Équations se ramenant ày"- ay = b
On considère les équations différentielles suivantes : (E1):y?-2y=1-6xet(E2):y?=y(5-y)1) Montrer que (E
1) admet une solution affine puis résoudre (E1).
2) Déterminer les solutions strictement positives de (E
2) en posantz=1
y.1) On poseypartune fonction affine qui vérifie l"équation (E1) :ypart(x) =ax+b.
Comme la fonctionypartdoit vérifier (E1), on a : y ?part(x)-2ypart(x) =1-6x?a-2ax-2b=1-6x?PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
-2ax+ (a-2b) =-6x+1En identifiant, on trouve alorsa=3 etb=1.
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