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Comment utiliser MATLAB ?
- L’utilisation de variables avec matlab ne nécessite pas de déclaration de type ou de dimension. Le type et la dimension d’une variable sont déterminés de manière auto- matique à partir de l’expression mathématique ou de la valeur a?ectée à la variable.
Qu'est-ce que Matlab ?
- Ce document est un guide d’initiation à matlab. matlab est un programme interac- tif de calcul scienti?que utilisable pour la résolution numérique de nombreux problèmes mathématiques ou appliqués. En outre, matlab dispose de potentialités graphiques im- portantes.
Comment sauvegarder une session MATLAB dans un fichier ?
- Il est possible de sauvegarder une session matlab matlab dans un ?chier pour une utilisation ultérieure. L’instruction save nom-fic enregistre toutes les variables de l’espace de travail dans le ?chier nom-fic.mat. Si aucun nom de ?chier n’est précisé, le ?chier par défaut est matlab.mat.
Universit
´e de l"Anonyme XXII - Pr´eparation`a l"´epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2004.Page n◦1.Feuille de TP n
◦1 - Initiation `a MatlabCe TP porte sur les entr´ees et sorties, les fonctions et les outils graphiques dont vous disposez sous
Matlab.
1 Entr´ees et sorties
La commandeinputpermet de demander `a l"utilisateur Matlab d"entrer les valeurs de variables `autiliser. La commandepausepermet de stopper l"ex´ecution Matlab. Vous pouvez pr´eciser le nombre
de secondes de pose ou revenir `a Matlab en appuyant sur n"importe quelle touche. La commandesavepermet de sauvegarder dans un fichier, dont le nom par d´efaut estmatlab.mat, le contenu de certaines
variables dont vous souhaitez garder une trace. Ce fichier peut ˆetre appel´e par la commandeloadqui
restaure toutes les variables que vous avez sauvegard´ees.?? n=input("Entrezlavaleurden:") ;%Affectezunevaleur`an. a=input("Precisezlavaleurdea:") ;%Affectezunevaleur`aa. v=a .ˆ[0: n ] ; A=toeplitz(v ) ; d=det(A) ;%Cr´eationdelamatricedeToeplitzA saverestoep n a A d ;%Sauvegardeden,a,A,ddansrestoep.mat who%V´erification.??2 Fonctions
Un ensemble de commandes Matlab peut ˆetre consid´er´e comme une fonction. On peut voir une fonction
comme un sous-programme Matlab dont les param`etres ´eventuels sont les arguments de la fonction et
dont les r´esultats sont les images de cette fonction. Beaucoup de fonctions Matlab, comme par exemple
mean, sont d´ej`a ´ecrites en Matlab et le code Matlab correspondant est stock´e dans un fichier dont le nom
se termine par.m. Pourmean, il s"agit demean.m. Ajouter de nouvelles fonctions `a Matlab revient donc `a
´ecrire de nouveaux fichiers de ce type. Il est d"usage d"appeler une fonction du mˆeme nom que le fichier
correspondant.Simulation de lois discr`etes.Dans votre r´epertoire personnel, ´editer le fichierprobadis.msuivant
dont le code Matlab g´en`ere une r´ealisation al´eatoire d"une loi discr`ete `a support fini.??
functionres = probadis (x ,p)%res=PROBADIS(x,p) %i.e.non-negativerealnumberssuchthatsum(p) == 1 %p(1),...,p(n)wheren==length(x) ==length(p)14 f´evrier 2004. Copyright
c?A. Gr´egatif agreg@labo.univ.fr. GNU FDL Copyleft.Page n◦1.Universit
´e de l"Anonyme XXII - Pr´eparation`a l"´epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2004.Page n◦2.%lar´ealisationd"uneloiuniformeobtenueparunappel`arand.Lesvaleurs
%pascontr^ol´eesparcettefonction: %SeealsoRDISCR. %###Copyright(C)D.Chafa¨ı, 2003-12-06. %INDICES=find(cumsum(p) >=rand); %res=x(INDICES(1)); %return; %Exercice! n =length(x ) ;%lenombred"atomes. r =rand;%uner´ealisationdeloiuniformesur[0,1]. a = 0; b = p (1);%[a,b] =sous-intervalledeprobap(i)pourl"uniforme. fori = 1:n-1%parcoursdetouslessous-intervallesjuxtapos´es. if(( r>= a) & ( rUniversit
´e de l"Anonyme XXII - Pr´eparation`a l"´epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2004.Page n◦3.ligne constituera l"aide affich´e lorsque l"utilisateur taperahelp probadis. Finalement, la commandewhat
liste les fichiers Matlab du r´epertoire courant.Voici une autre fonction de simulation de loi discr`ete, qui peut renvoyer une matrice de r´ealisations.??
functionX = rdiscr (num,x ,p)%X=RDISCR(num,x,p) %xvectorofrealnumbers(supportpointsinIR) %i.e.non-negativerealnumberssuchthatsum(p) == 1 %wheren==length(x) ==length(p) %pascontr^ol´eesparcettefonction: %SeealsoPROBADIS. %###Copyright(C)D.Chafa¨ı, 2003-12-06. %Faire"typeprobadis"pourcela. %avecdesr´ealisationsdeBernoullii.i.d. (obtenuesfacilementavecrand) %pourchoisirl"intervalle: %Laprobabilit´ed"^etre<=x(1)estp(1)14 f´evrier 2004. Copyright
c?A. Gr´egatif agreg@labo.univ.fr. GNU FDL Copyleft.Page n◦3.Universit
´e de l"Anonyme XXII - Pr´eparation`a l"´epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2004.Page n◦4.if length(num) == 1num = [num 1 ] ;
else num =reshape(num,1 ,2);end n =length(x ) ;%lenombred"atomes. U =rand(num) ;%r´ealisationsdeloiuniformesur[0,1]. X = repmat(x(n) ,num(1) ,num(2));%pard´efaut,lavaleurestlaplusgrande forl = 1:num(1)%lignes forc = 1:num(2)%colonnes a = 0; b = p (1);%[a,b] =sous-inter.deprobap(i)pourl"uniforme. fori = 1:n-1%parcoursdetouslessous-intervallesjuxtapos´es. if((U( l , c)>= a) & (U( l , c)contenantNr´ealisations i.i.d. de loi binomialeB(n,p) o`u les valeursN,n?1 et 0< p <1 sont affect´ees
par l"utilisateur. PourNassez grand, v´erifier la LGN sur les moyennes empiriques successives deX. Voici
un exemple de programme qui fait l"affaire, et donc la sortie graphique se trouve en page6. %###Copyright(C)D.Chafa¨ı, 2003-12-06. %Touslesvecteurssontdesvecteursligne. clearr n p q P Q C B Xclf r =input("Nombremaximalder´ealisations?="); n =input("TaillendelaloibinomialeB(n,p) ,quian+1atomes?="); p =input("Valeurduparam`etrepdelaloibinomialeB(n,p)?=");14 f´evrier 2004. Copyright
c?A. Gr´egatif agreg@labo.univ.fr. GNU FDL Copyleft.Page n◦4.Universit
´e de l"Anonyme XXII - Pr´eparation`a l"´epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2004.Page n◦5.q = 1-p;P = [1 ,cumprod(p?ones (1 ,n ) ) ] ;%puissancescroissantesdep
Q = [fliplr(cumprod(q?ones (1 ,n ) ) ) , 1 ] ;%puissancesd´ecroissantesdeq C = [1 ,cumprod([ n:-1:1]) ./cumprod([1: n ] ) ] ;%coef.dubin^omedei= 1`anB = C .?P .?Q;%vecteurdespoidsdeB(n,p)
disp(sprintf("G´en´erational´eatoirede%dr´ealisationsdeB(%d,%f)",r ,n,p)) X = rdiscr ([1 , r ] , [ 0 : n] ,B) ;%´echantillonnage %alternative: %X=[] %fori=1:r %X= [Xprobadis([0:n],B)]; %end disp(sprintf("Trac´edesgraphique.")) plot(cumsum(X) . / [ 1 :length(X)] ,"b")%trac´edesmoyennesempiriques title("LoidesGrandsNombres") xlabel("Nombrederealisations") ylabel("Moyennesempiriques") holdonplot(n?p?ones (1 , r ) ,"r--")%trac´edelamoyenneth´eorique legend("Empirique","Theorique") holdoff%Exercice 2.2.Soit (Xn)n?Nune suite de variables al´eatoires i.i.d. de loi exponentielleE(λ) avecλ >0.
SiSn=?n
k=1Xk,N0= 0 et pour toutt >0,Nt=?∞ n=1I{Sn?t}, (Nt)t?0est un processus de Poissond"intensit´eλ. Montrer que, pour toutt >0,Ntsuit la loi de PoissonP(λt). En d´eduire un code Matlab
permettant de g´en´erer un vecteur al´eatoireYcontenantNr´ealisations i.i.d. de loiP(λ) o`u les valeurs
N?1 etλ >0 sont affect´ees par l"utilisateur. PourNassez grand, v´erifier la LGN sur les moyennes
empiriques successives deY.Exercice 2.3.PourN,N1etn?1 avecN1,n?N, la loi hyperg´eom´etriqueH(N,N1,n) est donn´ee,
pour toutk?Navec 0?k?n, parP(X=k) =CkN 1Cn-kN-N1/CnN. Cr´eer un code Matlab permettant de
g´en´erer un vecteur al´eatoireZcontenantMr´ealisations i.i.d. de loiH(N,N1,n) o`u les valeursM,N?1
etN1,n?Nsont affect´ees par l"utilisateur.1.SiNtend vers l"infini et le rapportN1/Ntend verspavec 0< p <1, montrer queXconverge
en loi vers la loi BinomialeB(n,p). PourM,Nassez grand etN1=pNavec 0< p <1, tracerl"histogramme deZet comparer le `a la loiB(n,p).2.SiN,N1etntendent vers l"infini et le produitnN1/Ntend versλ >0, montrer queXconverge en
loi vers la loi de PoissonP(λ). PourM,Nassez grand,N1=λ⎷Netn=⎷N, tracer l"histogramme
deZet comparer le `a la loiP(λ).3 Repr´esentations graphiques14 f´evrier 2004. Copyright
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´e de l"Anonyme XXII - Pr´eparation`a l"´epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2004.Page n◦6.??
{Illustration de la LGN pour la loi exponentielle}clear; n=1000; lambda=0.5; X=-log(rand(n,1))/ lambda ;figure;%Cr´eationd"unenouvellefen^etregraphique.
plot(cumsum(X) "./[1:length(X)] ,"b")%Tracelesmoy.emp.successivesdeX. holdon%Gardelafen^etregraphique. plot(1/lambda?ones (n,1) ,"r--") ;%Tracelalimiteth´eorique. legend("Empirique","Theorique") ;%L´egende.??Exercice 3.1.Ajouter `a vos codes Matlab les repr´esentations graphiques rencontr´ees ci-dessus. 0.8
1 1.2 1.4 1.6 1.8 20 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Moyennes empiriques
Nombre de realisationsLoi des Grands Nombres
EmpiriqueTheoriqueFig.1 - Sortie graphique du programme25.Voici une fonction Matlab qui permet de simuler la loi uniforme discr`ete finie de fa¸con rapide et simple.
functionX = rint (num, k );%X=RINT(num,k) %kpositiveinteger14 f´evrier 2004. Copyright
c?A. Gr´egatif agreg@labo.univ.fr. GNU FDL Copyleft.Page n◦6.Universit
´e de l"Anonyme XXII - Pr´eparation`a l"´epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2004.Page n◦7.%chosenfromuniformdistributionon{1,...,k}
%entiersnonnuls{1,...,k}. %###Copyright(C)D.Chafa¨ı, 2003-12-06. if length(num) == 1num = [num 1 ] ; endX =ceil(k?rand(num));return;??
R´ef´erences[BL98]Ph. Barbe and M. Ledoux,Probabilit´es, De la licence `a l"agr´egation, Belin, 1998.[Bou86]N. Bouleau,Probabilit´es de l"ing´enieur, variables al´eatoires et simulation, Hermann, 1986.[DCD82]D. Dacunha-Castelle and M. Duflo,Probabilit´es et statistiques. Tome 1, Masson, Paris, 1982,
Probl`emes `a temps fixe.[Yca02]B. Ycart,Mod`eles et Algorithmes Markoviens, Math´ematiques et Applications, vol. 39, Springer,
2002.14 f´evrier 2004. Copyright
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